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16.9: La cadena Bernoulli-Laplace

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    Teoría Básica

    Introducción

    La cadena Bernoulli-Laplace, llamada así por Jacob Bernoulli y Pierre Simon Laplace, es un modelo discreto simple para la difusión de dos gases incompresibles entre dos contenedores. Al igual que la cadena Ehrenfest, también se puede formular como un sencillo modelo de bola y urna. Así, supongamos que tenemos dos urnas, etiquetadas como 0 y 1. La urna 0 contiene\( j \) bolas y la urna 1 contiene\( k \) bolas, donde\( j, \, k \in \N_+ \). De las\( j + k \) bolas,\( r \) son rojas y las restantes\( j + k - r \) son verdes. Así\( r \in \N_+ \) y\( 0 \lt r \lt j + k \). En cada momento discreto, independientemente del pasado, se selecciona una bola al azar de cada urna y luego se cambian las dos bolas. Las bolas de diferentes colores corresponden a moléculas de diferentes tipos, y las urnas son los contenedores. La propiedad incompresible se refleja en el hecho de que el número de bolas en cada urna se mantiene constante a lo largo del tiempo.

    Imagen del modelo Bernoulli-Laplace
    Figura\(\PageIndex{1}\): El modelo Bernoulli-Laplace

    Dejar\( X_n \) denotar el número de bolas rojas en la urna 1 a la vez\( n \in \N \). Entonces

    1. \( k - X_n \)es el número de bolas verdes en la urna 1 a la vez\( n \).
    2. \( r - X_n \)es el número de bolas rojas en la urna 0 a la vez\( n \).
    3. \( j - r + X_n \)es el número de bolas verdes en la urna 0 a la vez\( n \).

    \( \bs{X} = (X_0, X_1, X_2, \ldots) \)es una cadena de Markov de tiempo discreto con espacio de estado\( S = \{\max\{0, r - j\}, \ldots, \min\{k,r\}\} \) y con matriz de transición\( P \) dada por\[ P(x, x - 1) = \frac{(j - r + x) x}{j k}, \; P(x, x) = \frac{(r - x) x + (j - r + x)(k - x)}{j k}, \; P(x, x + 1) = \frac{(r - x)(k - x)}{j k}; \quad x \in S \]

    Prueba

    Para el espacio estatal, anote del resultado anterior que el número de bolas rojas\( x \) en la urna 1 debe satisfacer las desigualdades\( x \ge 0 \),\( x \le k \),\( x \le r \), y\( x \ge r - j \). La propiedad de Markov queda clara a partir del modelo. Para las probabilidades de transición, tenga en cuenta que para ir de estado\( x \) a estado\(x - 1 \) debemos seleccionar una bola verde de la urna 0 y una bola roja de la urna 1. Las probabilidades de estos eventos son\( (j - r + x) / j \) y\( x / k \) para\( x \) y\( x - 1 \) en\( S \), y los eventos son independientes. De igual manera, para ir de estado\( x \) a estado\( x + 1 \) debemos seleccionar una bola roja de la urna 0 y una bola verde de la urna 1. Las probabilidades de estos eventos son\( (r - x) / j \) y\( (k - x) / k \) para\( x \) y\( x + 1 \) en\( S \), y los eventos son independientes. Por último, para pasar de estado\( x \) atrás a estado\( x \), debemos seleccionar una bola roja de ambas urnas o una bola verde de ambas urnas. Por supuesto también,\( P(x, x) = 1 - P(x, x - 1) - P(x, x + 1) \).

    Este es un modelo bastante complicado, simplemente por el número de parámetros. Casos especiales interesantes ocurren cuando algunos de los parámetros son los mismos.

    Considera el caso especial\( j = k \), para que cada urna tenga el mismo número de bolas. El espacio de estado es\( S = \{\max\{0, r - k\}, \ldots, \min\{k,r\}\} \) y la matriz de probabilidad de transición es\[ P(x, x - 1) = \frac{(k - r + x) x}{k^2}, \; P(x, x) = \frac{(r - x) x + (k - r + x)(k - x)}{k^2}, \; P(x, x + 1) = \frac{(r - x)(k - x)}{k^2}; \quad x \in S \]

    Considera el caso especial\( r = j \), para que el número de bolas rojas sea el mismo que el número de bolas en la urna 0. El espacio de estado es\( S = \{0, \ldots, \min\{j, k\}\} \) y la matriz de probabilidad de transición es\[ P(x, x - 1) = \frac{x^2}{j k}, \; P(x, x) = \frac{x (j + k - 2 x)}{j k}, \; P(x, x + 1) = \frac{(j - x)(k - x)}{j k}; \quad x \in S \]

    Considera el caso especial\( r = k \), para que el número de bolas rojas sea el mismo que el número de bolas en la urna 1. El espacio de estado es\( S = \{\max\{0, k - j\}, \ldots, k\} \) y la matriz de probabilidad de transición es\[ P(x, x - 1) = \frac{(j - k + x) x}{j k}, \; P(x, x) = \frac{(k - x)(j - k + 2 x)}{j k}, \; P(x, x + 1) = \frac{(k - x)^2}{j k}; \quad x \in S \]

    Considera el caso especial\( j = k = r \), para que cada urna tenga el mismo número de bolas, y este es también el número de bolas rojas. El espacio de estado es\( S = \{0, 1, \ldots, k\} \) y la matriz de probabilidad de transición es\[ P(x, x - 1) = \frac{x^2}{k^2}, \; P(x, x) = \frac{2 x (k - x)}{k^2}, \; P(x, x + 1) = \frac{(k - x)^2}{k^2}; \quad x \in S \]

    Ejecute la simulación del experimento Bernoulli-Laplace para 10000 pasos y para varios valores de los parámetros. Tenga en cuenta el comportamiento limitante de la proporción de tiempo empleado en cada estado.

    Distribuciones invariantes y limitantes

    La cadena Bernoulli-Laplace es irreducible.

    Prueba

    Tenga en cuenta que\( P(x, x - 1) \gt 0 \) cuando\( x, \, x - 1 \in S \), y\( P(x, x + 1) \gt 0 \) cuando sea\( x, \, x + 1 \in S \). De ahí que cada estado lleve a cada otro estado por lo que la cadena es irreducible.

    Salvo en el caso trivial\( j = k = r = 1 \), la cadena Bernoulli-Laplace aperiódica.

    Prueba

    Consideración de las probabilidades estatales muestra que salvo cuando\( j = k = r = 1 \), la cadena tiene un estado\( x \) con\( P(x, x) \gt 0 \), por lo que el estado\( x \) es aperiódico. Dado que la cadena es irreducible por el resultado anterior, todos los estados son aperiódicos.

    La distribución invariante es la distribución hipergeométrica con parámetro de población\( j + k \)\( k \), parámetro de muestra y parámetro de tipo\( r \). La función de densidad de probabilidad es\[ f(x) = \frac{\binom{r}{x} \binom{j + k - r}{k - x}}{\binom{j + k}{k}}, \quad x \in S \]

    Prueba

    Una prueba directa de que\( (f P)(x) = f(x) \) para todos\( x \in S \) es sencilla pero tediosa. Una mejor prueba se desprende de la condición de reversibilidad a continuación.

    Así, la distribución invariante corresponde a seleccionar una muestra de\( k \) bolas al azar y sin reemplazo de las\( j + k \) bolas y colocarlas en la urna 1. La media y varianza de la distribución invariante son\[ \mu = k \frac{r}{j + k}, \; \sigma^2 = k \frac{r}{j + k} \frac{j + k - r}{j + k} \frac{j}{j + k -1} \]

    El tiempo medio de retorno a cada estado\( x \in S \) es\[ \mu(x) = \frac{\binom{j + k}{k}}{\binom{r}{x} \binom{j + k - r}{k - x}} \]

    Prueba

    Esto se desprende de la teoría general y de la distribución invariante anterior.

    \( P^n(x, y) \to f(y) = \binom{r}{y} \binom{r + k - r}{k - y} \big/ \binom{j + k}{k} \)en\( n \to \infty \) cuanto a\( (x, y) \in S^2 \).

    Prueba

    Esto se desprende de la teoría general y de la distribución invariante anterior.

    En la simulación del experimento Bernoulli-Laplace, variar los parámetros y anotar la forma y ubicación de la distribución hipergeométrica limitante. Para valores seleccionados de los parámetros, ejecute la simulación por 10000 pasos y anote el comportamiento limitante de la proporción de tiempo empleado en cada estado.

    Reversibilidad

    La cadena Bernoulli-Laplace es reversible.

    Prueba

    Deja\[ g(x) = \binom{r}{x} \binom{j + k - r}{k - x}, \quad x \in S \] Basta con mostrar la condición de reversibilidad\( g(x) P(x, y) = g(y) P(y, x) \) para todos\( x, \, y \in S \). Se deduce entonces que\( \bs{X} \) es reversible y eso\( g \) es invariante para\( \bs{X} \). Para\( x \in S \) y\( y = x - 1 \in S \), los lados izquierdo y derecho de la condición de reversibilidad reducen a\[ \frac{1}{j k}\frac{r!}{(x - 1)! (r - x)!} \frac{(j + k - r)!}{(k - x)! (j - r + x - 1)!} \] For\( x \in S \) y\( y = x + 1 \in S \), los lados izquierdo y derecho de la condición de reversibilidad reducen a\[ \frac{1}{j k} \frac{r!}{x! (r - x - 1)!} \frac{(j + k - r)!}{(k - x - 1)! (j - r + x)!} \] Para todos los demás valores de\( x, \, y \in S \), la condición de reversibilidad se cumple trivialmente. El PDF hipergeométrico\( f \) anterior es simplemente\( g \) normalizado, por lo que esto demuestra que también\( f \) es invariante.

    Ejecutar la simulación del experimento Bernoulli-Laplace 10,000 pasos de tiempo para valores seleccionados de los parámetros, y con estado inicial 0. Tenga en cuenta que al principio, se puede ver la flecha del tiempo. Después de un largo periodo, sin embargo, la dirección del tiempo ya no es evidente.

    Ejercicios Computacionales

    Considere la cadena Bernoulli-Laplace con\( j = 10 \),\( k = 5 \), y\( r = 4 \). Supongamos que\( X_0 \) tiene la distribución uniforme encendida\( S \). Dé explícitamente a cada uno de los siguientes:

    1. El espacio estatal\( S \)
    2. La matriz de transición\( P \).
    3. La función de densidad de probabilidad, media y varianza de\( X_1 \).
    4. La función de densidad de probabilidad, media y varianza de\( X_2 \).
    5. La función de densidad de probabilidad, media y varianza de\( X_3 \).
    Contestar
    1. \( S = \{0, 1, 2, 3, 4\} \)
    2. \( P = \frac{1}{50} \left[ \begin{matrix} 30 & 20 & 0 & 0 & 0 \\ 7 & 31 & 12 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 28 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 27 & 21 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 40 & 10 \end{matrix} \right] \)
    3. \( f_1 = \frac{1}{250} (37, 67, 67, 67, 12), \mu_1 = \frac{9}{5}, \sigma_1^2 = \frac{32}{25} \)
    4. \( f_2 = \frac{1}{12\,500} (1579, 3889, 4489, 2289, 254), \mu_2 = \frac{83}{50}, \sigma_2^2 = \frac{2413}{2500} \)
    5. \( f_3 = \frac{1}{625\,000} (74\,593, 223\,963, 234\,163, 85\,163, 7118), \mu_3 = \frac{781}{500}, \sigma_3^2 = \frac{206\,427}{250\,000} \)

    Considera la cadena Bernoulli-Laplace con\( j = k = 10 \) y\( r = 6 \). Dar cada uno de los siguientes explícitamente:

    1. El espacio estatal\( S \)
    2. La matriz de transición\( P \)
    3. La función de densidad de probabilidad invariante.
    Contestar
    1. \( S = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\} \)
    2. \( P = \frac{1}{100} \left[ \begin{matrix} 40 & 60 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 5 & 50 & 45 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 12 & 56 & 32 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 21 & 58 & 21 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 32 & 56 & 12 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 45 & 50 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 60 & 40 \end{matrix} \right]\)
    3. \( f = \frac{1}{1292}(7, 84, 315, 480, 315, 84, 7) \)

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