6.0: Introducción a la distribución normal

Última actualización
Guardar como PDF

Page ID: 150607

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

La función de densidad de probabilidad normal, una distribución continua, es la más importante de todas las distribuciones. Es ampliamente utilizado y aún más ampliamente abusado. Su gráfica tiene forma de campana. Se ve la curva de campana en casi todas las disciplinas. Algunos de ellos incluyen la psicología, los negocios, la economía, las ciencias, la enfermería y, por supuesto, las matemáticas. Algunos de sus instructores pueden usar la distribución normal para ayudar a determinar su calificación. La mayoría de las puntuaciones de CI se distribuyen normalmente. A menudo los precios inmobiliarios se ajustan a una distribución normal.

Esta foto muestra muchos pares diferentes de zapatos en varios colores. Los zapatos parecen estar colgados de una pared por cordones. — Figura\(\PageIndex{1}\) Si le preguntas a suficientes personas sobre su talla de zapatos, encontrará que sus datos graficados tienen forma de curva de campana y pueden describirse como distribuidos normalmente. (crédito: Ömer Ünl)

La distribución normal es sumamente importante, pero no se puede aplicar a todo en el mundo real. Recuerda aquí que todavía estamos hablando de la distribución de los datos de población. Esta es una discusión de probabilidad y así son los datos poblacionales los que normalmente se pueden distribuir, y si lo es, entonces así es como podemos encontrar probabilidades de eventos específicos tal como lo hicimos para datos poblacionales que pueden ser distribuidos binomialmente o distribuidos de Poisson. Esta precaución está aquí porque en el próximo capítulo veremos que la distribución normal describe algo muy diferente de los datos brutos y forma la base de las estadísticas inferenciales.

La distribución normal tiene dos parámetros (dos medidas descriptivas numéricas): la media (\(\mu\)) y la desviación estándar (\(\sigma\)). Si X es una cantidad a medir que tiene una distribución normal con media (\(\mu\)) y desviación estándar (\(\sigma\)), designamos esto escribiendo la siguiente fórmula de la función de densidad de probabilidad normal:

Esta es una curva de frecuencia para una distribución normal. Muestra un solo pico en el centro con la curva ahusada hacia abajo al eje horizontal en cada lado. La distribución es simétrica; representa la variable aleatoria X que tiene una distribución normal con una media, m, y desviación estándar, s.

La función de densidad de probabilidad es una función bastante complicada. No lo memorices. No es necesario.

\[f(x)=\frac{1}{\sigma \cdot \sqrt{2 \cdot \pi}} \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2} \cdot\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^{2}}\nonumber\]

La curva es simétrica alrededor de una línea vertical dibujada a través de la media,\(\mu\). La media es la misma que la mediana, que es la misma que la modalidad, porque la gráfica es simétrica aproximadamente\(\mu\). Como indica la notación, la distribución normal depende únicamente de la media y de la desviación estándar. Tenga en cuenta que esto es diferente a varias funciones de densidad de probabilidad que ya hemos estudiado, como la de Poisson, donde la media es igual a\(\mu\)\(\mu\) y la desviación estándar simplemente la raíz cuadrada de la media, o el binomio, donde se usa p para determinar tanto la media como la desviación estándar. Dado que el área bajo la curva debe ser igual a uno, un cambio en la desviación estándar,\(\sigma\), provoca un cambio en la forma de la curva normal; la curva se vuelve más gruesa y más ancha o más flaca y más alta dependiendo de\(\sigma\). Un cambio en\(\mu\) hace que la gráfica se desvíe hacia la izquierda o hacia la derecha. Esto significa que hay un número infinito de distribuciones de probabilidad normales. Uno de especial interés se llama la distribución normal estándar.