6.1: La distribución normal estándar

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La distribución normal estándar es una distribución normal de valores estandarizados llamada z-scores. Se mide una puntuación z en unidades de la desviación estándar.

La media para la distribución normal estándar es cero, y la desviación estándar es uno. Lo que esto hace es simplificar drásticamente el cálculo matemático de las probabilidades. Tómate un momento y sustituye cero y uno en los lugares apropiados en la fórmula anterior y podrás ver que la ecuación colapsa en una que se puede resolver mucho más fácilmente usando cálculo integral. La transformación\(z=\frac{x-\mu}{\sigma}\) produce la distribución\(Z \sim N(0, 1)\). El valor\(x\) en la ecuación dada proviene de una distribución normal conocida con media conocida\(\mu\) y desviación estándar conocida\(\sigma\). La puntuación z indica cuántas desviaciones estándar\(x\) está lejos de la media un particular.

Puntajes Z

Si\(X\) es una variable aleatoria normalmente distribuida y\(X \sim N(\mu, \sigma)\), entonces la puntuación z para un particular\(x\) es:

\[z=\frac{x-\mu}{\sigma}\nonumber\]

La puntuación z te indica cuántas desviaciones estándar\(\bf{x}\) está el valor por encima (a la derecha de) o por debajo (a la izquierda de) la media,\(\bf{\mu}\). Los valores de\(x\) eso son mayores que la media tienen puntuaciones z positivas, y los valores de\(x\) que son menores que la media tienen puntuaciones z negativas. Si x es igual a la media, entonces x tiene una puntuación z de cero.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Supongamos\(X \sim N(5, 6)\). Esto dice que\(X\) es una variable aleatoria normalmente distribuida con media\(\mu = 5\) y desviación estándar\(\sigma = 6\). Supongamos\(x = 17\). Entonces:

\[z=\frac{x-\mu}{\sigma}=\frac{17-5}{6}=2\nonumber\]

Esto significa que\(x = 17\) hay dos desviaciones estándar\((2\sigma)\) por encima o a la derecha de la media\(\mu = 5\).

Ahora supongamos\(x = 1\). Luego:\(z=\frac{x-\mu}{\sigma}=\frac{1-5}{6}=-0.67\) (redondeado a dos decimales)

Esto significa que\(\bf{x = 1}\) está 0.67 desviaciones estándar\(\bf{(–0.67\sigma)}\) por debajo o a la izquierda de la media\(\bf{\mu = 5}\).

La regla empírica

Si\(X\) es una variable aleatoria y tiene una distribución normal con media\(\mu\) y desviación estándar\(\sigma\), entonces la Regla Empírica establece lo siguiente:

Alrededor del 68% de los\(x\) valores se encuentran entre\(–1\sigma\) y\(+1\sigma\) de la media\(\mu\) (dentro de una desviación estándar de la media).
Alrededor del 95% de los\(x\) valores se encuentran entre\(–2\sigma\) y\(+2\sigma\) de la media\(\mu\) (dentro de dos desviaciones estándar de la media).
Alrededor del 99.7% de los\(x\) valores se encuentran entre\(–3\sigma\) y\(+3\sigma\) de la media\(\mu\) (dentro de tres desviaciones estándar de la media). Observe que casi todos los valores x se encuentran dentro de tres desviaciones estándar de la media.
Las puntuaciones z para\(+1\sigma\) y\(–1\sigma\) son\(+1\) y\(–1\), respectivamente.
Las puntuaciones z para\(+2\sigma\) y\(–2\sigma\) son\(+2\) y\(–2\), respectivamente.
Las puntuaciones z para\(+3\sigma\) y\(–3\sigma\) son\(+3\) y\(–3\) respectivamente.

Esta curva de frecuencia ilustra la regla empírica. La curva normal se muestra sobre un eje horizontal. El eje está etiquetado con los puntos -3s, -2s, -1s, m, 1s, 2s, 3s. Las líneas verticales conectan el eje a la curva en cada punto etiquetado. El pico de la curva se alinea con el punto m.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Supongamos que\(x\) tiene una distribución normal con media 50 y desviación estándar 6.

Alrededor del 68% de los\(x\) valores se encuentran dentro de una desviación estándar de la media. Por lo tanto, alrededor del 68% de los\(x\) valores se encuentran entre\(–1\sigma = (–1)(6) = –6\) y\(1\sigma = (1)(6) = 6\) de la media 50. Los valores\(50 – 6 = 44\) y\(50 + 6 = 56\) están dentro de una desviación estándar de la media 50. Las puntuaciones z son —1 y +1 para 44 y 56, respectivamente.
Alrededor del 95% de los\(x\) valores se encuentran dentro de dos desviaciones estándar de la media. Por lo tanto, alrededor del 95% de los\(x\) valores se encuentran entre\(–2\sigma = (–2)(6) = –12\) y\(2\sigma = (2)(6) = 12\). Los valores\(50 – 12 = 38\) y\(50 + 12 = 62\) están dentro de dos desviaciones estándar de la media 50. Las puntuaciones z son —2 y +2 para 38 y 62, respectivamente.
Alrededor del 99.7% de los\(x\) valores se encuentran dentro de tres desviaciones estándar de la media. Por lo tanto, alrededor del 99.7% de los\(x\) valores se encuentran entre\(–3\sigma = (–3)(6) = –18\) y\(3\sigma = (3)(6) = 18\) de la media 50. Los valores\(50 – 18 = 32\) y\(50 + 18 = 68\) están dentro de tres desviaciones estándar de la media 50. Las puntuaciones z son —3 y +3 para 32 y 68, respectivamente.