6.3: Estimación del Binomio con la Distribución Normal

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Anteriormente encontramos que varias funciones de densidad de probabilidad son las distribuciones limitantes de otras; así, podemos estimar una con otra bajo ciertas circunstancias. Encontraremos aquí que la distribución normal puede ser utilizada para estimar un proceso binomial. El Poisson se utilizó para estimar el binomio previamente, y el binomio se utilizó para estimar la distribución hipergeométrica.

En el caso de la relación entre la distribución hipergeométrica y el binomio, hubo que reconocer que un proceso binomial supone que la probabilidad de éxito permanece constante de un juicio a otro: una cabeza en el último giro no puede tener un efecto sobre la probabilidad de una cabeza en el siguiente giro. En la distribución hipergeométrica esta es la esencia de la pregunta porque el experimento asume que cualquier “sorteo” es sin reemplazo. Si uno dibuja sin reemplazo, entonces todos los “sorteos” posteriores son probabilidades condicionales. Encontramos que si el experimento hipergeométrico dibuja solo un pequeño porcentaje del total de objetos, entonces podemos ignorar el impacto en la probabilidad de dibujar a dibujar.

Imagina que hay 312 cartas en una baraja compuesta por 6 mazos normales. Si el experimento requirió dibujar solo 10 cartas, menos del 5% del total, entonces aceptaremos la estimación binomial de la probabilidad, aunque en realidad se trata de una distribución hipergeométrica porque las cartas presumiblemente se sortean sin reemplazo.

Asimismo, el Poisson se consideró una estimación apropiada del binomio bajo ciertas circunstancias. En la Figura se\(\PageIndex{11}\) muestra una distribución normal simétrica transpuesta en una gráfica de una distribución binomial donde\(p = 0.2\) y\(n = 5\). La discrepancia entre la probabilidad estimada usando una distribución normal y la probabilidad de la distribución binomial original es aparente. Los criterios para utilizar una distribución normal para estimar un binomio abordan así este problema al requerir AMBOS\(np\) Y\(n(1 − p)\) son mayores a cinco. Nuevamente, esta es una regla general, pero es efectiva y da como resultado estimaciones aceptables de la probabilidad binomial.

\(1-[p(X=0)+p(X=1)+p(X=2)+\ldots+p(X=16)]=p(X>16)=p(Z>2)=0.0228\)