6.2: Uso de la distribución normal

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El área sombreada en la siguiente gráfica indica el área a la derecha de\(x\). Esta área está representada por la probabilidad\(P(X > x)\). Las tablas normales proporcionan la probabilidad entre la media, cero para la distribución normal estándar, y un valor específico como\(x_1\). Esta es la parte no sombreada de la gráfica de la media a\(x_1\).

Esta es una curva de distribución normal. Un valor, x, se etiqueta en el eje horizontal, X. Una línea vertical se extiende desde el punto x hasta la curva, y el área debajo de la curva a la izquierda de x está sombreada. El área de esta sección sombreada representa la probabilidad de que un valor de la variable sea menor que x.

Debido a que la distribución normal es simétrica, si\(x_1\) fuera la misma distancia a la izquierda de la media el área, la probabilidad, en la cola izquierda, sería la misma que el área sombreada en la cola derecha. También, hay que tener en cuenta que debido a la simetría de esta distribución, la mitad de la probabilidad está a la derecha de la media y la mitad está a la izquierda de la media.

Cálculos de Probabilidades

Para encontrar la probabilidad de funciones de densidad de probabilidad con una variable aleatoria continua necesitamos calcular el área bajo la función a través de los valores\(X\) que nos interesan. Para la distribución normal esta parece una tarea difícil dada la complejidad de la fórmula. Hay, sin embargo, una manera sencilla de conseguir lo que queremos. Aquí de nuevo está la fórmula para la distribución normal:

\[f(x)=\frac{1}{\sigma \cdot \sqrt{2 \cdot \pi}} \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2} \cdot\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^{2}}\nonumber\]

Mirando la fórmula para la distribución normal no está claro cómo vamos a resolver para la probabilidad haciéndolo de la misma manera que lo hicimos con las funciones de probabilidad anteriores. Ahí pusimos los datos en la fórmula e hicimos los cálculos.

Para resolver este acertijo empezamos a saber que el área bajo una función de densidad de probabilidad es la probabilidad.

Esto demuestra que el área entre\(X_1\) y\(X_2\) es la probabilidad como se indica en la fórmula:\(P (X_1 \leq X \leq X_2)\)

La herramienta matemática necesaria para encontrar el área bajo una curva es el cálculo integral. La integral de la función de densidad de probabilidad normal entre los dos puntos x ₁ y x ₂ es el área bajo la curva entre estos dos puntos y es la probabilidad entre estos dos puntos.

Hacer estas integrales no es divertido y puede llevar mucho tiempo. Pero ahora, recordando que hay un número infinito de distribuciones normales por ahí, podemos considerar la que tiene una media de cero y una desviación estándar de 1. A esta distribución normal particular se le da el nombre de Distribución Normal Estándar. Al poner estos valores en la fórmula se reduce a una ecuación muy simple. Ahora podemos calcular con bastante facilidad todas las probabilidades para cualquier valor de x, para esta distribución normal particular, que tiene una media de cero y una desviación estándar de 1. Estos han sido producidos y están disponibles aquí en el apéndice del texto o en todas partes de la web. Se presentan de diversas maneras. La tabla en este texto es la presentación más común y se configura con probabilidades de que la mitad de la distribución comience con cero, la media y se mueva hacia afuera. El área sombreada en la gráfica en la parte superior de la tabla en Tablas Estadísticas representa la probabilidad de cero al\(Z\) valor específico anotado en el eje horizontal,\(Z\).

El único problema es que incluso con esta tabla, sería una ridícula coincidencia que nuestros datos tuvieran una media de cero y una desviación estándar de uno. La solución es convertir la distribución que tenemos con su media y desviación estándar a esta nueva Distribución Normal Estándar. La Normal Estándar tiene una variable aleatoria llamada\(Z\).

Usando la tabla normal estándar, típicamente llamada tabla normal, para encontrar la probabilidad de una desviación estándar, vaya a la\(Z\) columna, leyendo hasta 1.0 y luego lea en la columna 0. Ese número,\(0.3413\) es la probabilidad de cero a 1 desviación estándar. En la parte superior de la tabla se encuentra el área sombreada en la distribución que es la probabilidad de una desviación estándar. La mesa ha resuelto nuestro problema de cálculo integral. Pero sólo si nuestros datos tienen una media de cero y una desviación estándar de 1.

Sin embargo, el punto esencial aquí es que la probabilidad de una desviación estándar en una distribución normal es la misma en cada distribución normal. Si el conjunto de datos poblacionales tiene una media de 10 y una desviación estándar de 5 entonces la probabilidad de 10 a 15, una desviación estándar, es la misma que de cero a 1, una desviación estándar en la distribución normal estándar. Para calcular probabilidades, áreas, para cualquier distribución normal, solo necesitamos convertir la distribución normal particular a la distribución normal estándar y buscar la respuesta en las tablas. Como revisión, aquí nuevamente está la fórmula estandarizadora:

\[Z=\frac{x-\mu}{\sigma}\nonumber\]

donde\(Z\) es el valor en la distribución normal estándar,\(X\) es el valor de una distribución normal que se desea convertir a la normal estándar,\(\mu\) y\(\sigma\) son, respectivamente, la media y desviación estándar de esa población. Obsérvese que la ecuación utiliza\(\mu\) y\(\sigma\) que denota parámetros poblacionales. Esto todavía se trata de probabilidad por lo que siempre estamos tratando con la población, con valores de parámetros conocidos y una distribución conocida. También es importante señalar que debido a que la distribución normal es simétrica no importa si la puntuación z es positiva o negativa a la hora de calcular una probabilidad. Una desviación estándar hacia la izquierda (puntuación Z negativa) cubre la misma área que una desviación estándar a la derecha (puntuación Z positiva). Este hecho es por lo que las tablas Normal Estándar no proporcionan áreas para el lado izquierdo de la distribución. Debido a esta simetría, la fórmula de puntuación Z a veces se escribe como:

\[Z=\frac{|x-\mu|}{\sigma}\nonumber\]

Donde las líneas verticales en la ecuación significan el valor absoluto del número.

Lo que realmente está haciendo la fórmula estandarizadora es computar el número de desviaciones estándar\(X\) es de la media de su propia distribución. La fórmula estandarizadora y el concepto de contar las desviaciones estándar de la media es el secreto de todo lo que haremos en esta clase de estadística. La razón por la que esto es cierto es que todas las estadísticas se reduce a la variación, y el recuento de las desviaciones estándar es una medida de variación.

Esta fórmula, en muchos disfraces, reaparecerá una y otra vez a lo largo de este curso.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Las puntuaciones finales de los exámenes en una clase de estadística se distribuyeron normalmente con una media de 63 y una desviación estándar de cinco.

a. encontrar la probabilidad de que un estudiante seleccionado al azar obtuvo más de 65 en el examen.
b. Encontrar la probabilidad de que un estudiante seleccionado aleatoriamente tenga una puntuación menor a 85.

Contestar a

Let\(X\) = una puntuación en el examen final. \(X \sim N(63, 5)\), donde\(\mu = 63\) y\(\sigma = 5\).

Dibuja una gráfica.

Entonces, encuentra\(P(x > 65)\).

\(P(x > 65) = 0.3446\)

Esta es una curva de distribución normal. El pico de la curva coincide con el punto 63 en el eje horizontal. También se etiqueta el punto 65. Una línea vertical se extiende desde el punto 65 hasta la curva. El área de probabilidad a la derecha de 65 está sombreada; es igual a 0.3446.

\[Z_{1}=\frac{x_{1}-\mu}{\sigma}=\frac{65-63}{5}=0.4\nonumber\]

\(P\left(x \geq x_{1}\right)=P\left(Z \geq Z_{1}\right)=0.3446\)

La probabilidad de que cualquier estudiante seleccionado al azar puntajes superiores a 65 es de 0.3446. Así es como encontramos esta respuesta.

Respuesta b

La tabla normal proporciona probabilidades desde cero hasta el valor\(Z_1\). Para este problema la pregunta se puede escribir como:\(P(X \geq 65) = P(Z \geq Z1)\), que es el área en la cola. Para encontrar esta zona la fórmula sería\(0.5 – P(X \leq 65)\). La mitad de la probabilidad está por encima del valor medio porque se trata de una distribución simétrica. El gráfico muestra cómo encontrar el área en la cola restando esa porción de la media, cero, al\(Z_1\) valor. La respuesta final es:\(P(X \geq 63) = P(Z \geq 0.4) = 0.3446\)

\(z=\frac{65-63}{5}=0.4\)

Área a la izquierda de\(Z_1\) a la media de cero es\(0.1554\)

\(P(x > 65) = P(z > 0.4) = 0.5 – 0.1554 = 0.3446\)

\(Z=\frac{x-\mu}{\sigma}=\frac{85-63}{5}=4.4\)que es mayor que el valor máximo en la Tabla Normal Estándar. Por lo tanto, la probabilidad de que un estudiante tenga una puntuación inferior a 85 es aproximadamente de uno o 100%.

Una puntuación de 85 es 4.4 desviaciones estándar de la media de 63 que está más allá del rango de la tabla normal estándar. Por lo tanto, la probabilidad de que un estudiante puntúa menos de 85 es aproximadamente uno (o 100%).

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Los puntajes de golf para un equipo escolar se distribuyeron normalmente con una media de 68 y una desviación estándar de tres. Encuentra la probabilidad de que un golfista seleccionado al azar haya anotado menos de 65.

Ejemplo\(\PageIndex{2A}\)

Una computadora personal se utiliza para el trabajo de oficina en el hogar, investigación, comunicación, finanzas personales, educación, entretenimiento, redes sociales y muchas otras cosas. Supongamos que el promedio de horas que se utiliza una computadora personal doméstica para el entretenimiento es de dos horas diarias. Supongamos que los horarios para el entretenimiento se distribuyen normalmente y la desviación estándar para los tiempos es de media hora.

a. Encontrar la probabilidad de que una computadora personal doméstica se utilice para entretenimiento entre 1.8 y 2.75 horas diarias.

Responder

a. Let\(X\) = la cantidad de tiempo (en horas) que se utiliza una computadora personal doméstica para el entretenimiento. \(X \sim N(2, 0.5)\)dónde\(\mu= 2\) y\(\sigma = 0.5\).

Encontrar\(P(1.8 < X < 2.75)\).

La probabilidad por la que estás buscando es el área entre\(X = 1.8\) y\(X = 2.75\). \(P(1.8 < X < 2.75) = 0.5886\)

Esta es una curva de distribución normal. El pico de la curva coincide con el punto 2 en el eje horizontal. Los valores 1.8 y 2.75 también están etiquetados en el eje x. Las líneas verticales se extienden desde 1.8 y 2.75 hasta la curva. El área entre las líneas está sombreada.

\(P(1.8 \leq X \leq 2.75) = P(Z_1 \leq Z \leq Z_2)\)

La probabilidad de que una computadora personal doméstica se utilice entre 1.8 y 2.75 horas diarias para el entretenimiento es de 0.5886.

Ejemplo\(\PageIndex{2B}\)

b. Encontrar el número máximo de horas diarias que el cuartil inferior de los hogares utiliza una computadora personal para el entretenimiento.

Responder

Solución 6.4

b. para encontrar el número máximo de horas diarias que el cuartil inferior de los hogares utiliza una computadora personal para el entretenimiento, encuentra el ^percentil 25,\(k\), donde\(P(x < k) = 0.25\).

Esta es una curva de distribución normal. El área bajo la cola izquierda de la curva está sombreada. El área sombreada muestra que la probabilidad de que x sea menor que k es 0.25. De ello se deduce que k = 1.67. — Figura\(\PageIndex{5}\)

\(f(Z)=0.5-0.25=0.25, \text { therefore } Z \approx-0.675(\text { or just } 0.67 \text { using the table) } Z=\frac{x-\mu}{\sigma}=\frac{x-2}{0.5}=-0.675 , \text {therefore } x=-0.675 * 0.5+2=1.66\)

El número máximo de horas diarias que el cuartil inferior de los hogares utiliza una computadora personal para el entretenimiento es de 1.66 horas.

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Los puntajes de golf para un equipo escolar se distribuyeron normalmente con una media de 68 y una desviación estándar de tres. Encuentra la probabilidad de que un golfista anote entre 66 y 70.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

En Estados Unidos las edades de 13 a 55+ de los usuarios de teléfonos inteligentes siguen aproximadamente una distribución normal con media aproximada y desviación estándar de 36.9 años y 13.9 años, respectivamente.

a. Determinar la probabilidad de que un usuario aleatorio de teléfonos inteligentes en el rango de edad de 13 a 55+ tenga entre 23 y 64.7 años.

Responder

Responder: a. 0.8186; b. 0.8413

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Un agricultor de cítricos que cultiva mandarinas encuentra que los diámetros de las mandarinas cosechadas en su granja siguen una distribución normal con un diámetro medio de 5.85 cm y una desviación estándar de 0.24 cm.

a. Encuentra la probabilidad de que una mandarina seleccionada al azar de esta finca tenga un diámetro mayor a 6.0 cm. Dibuja la gráfica.

Responder

\[Z_{1}=\frac{6-5.85}{.24}=.625\nonumber\]

\(P(x \geq 6) = P(z \geq 0.625) = 0.2670\)

b. El 20% medio de las mandarinas de esta finca tienen diámetros entre ______ y ______.

\(f(Z)=\frac{0.20}{2}=0.10, \text { therefore } Z \approx \pm 0.25\)

\(Z=\frac{x-\mu}{\sigma}=\frac{x-5.85}{0.24}=\pm 0.25 \rightarrow \pm 0.25 \cdot 0.24+5.85=(5.79,5.91)\)