11.2: Prueba de una varianza única

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Hasta el momento nuestro interés ha estado exclusivamente en el parámetro poblacional\(μ\) o su contraparte en el binomio,\(p\). Seguramente la media de una población es la información más crítica que se puede tener, pero en algunos casos nos interesa la variabilidad de los resultados de alguna distribución. En casi todos los procesos de producción la calidad se mide no sólo por lo cerca que la máquina coincide con el objetivo, sino también por la variabilidad del proceso. Si uno estuviera llenando bolsas con papas fritas no sólo habría interés en el peso promedio de la bolsa, sino también cuánta variación hubo en los pesos. Nadie quiere estar seguro de que el peso promedio es exacto cuando su bolsa no tiene astillas. El voltaje eléctrico puede alcanzar algún nivel promedio, pero una gran variabilidad, picos, puede causar graves daños a las máquinas eléctricas, especialmente a las computadoras. No sólo me gustaría tener una nota media alta en mis clases, sino también baja variación sobre esta media. En definitiva, las pruebas estadísticas relativas a la varianza de una distribución tienen gran valor y muchas aplicaciones.

Una prueba de una sola varianza supone que la distribución subyacente es normal. Las hipótesis nulas y alternativas se establecen en términos de varianza poblacional. El estadístico de prueba es:

\[\chi_{c}^{2}=\frac{(n-1) s^{2}}{\sigma_{0}^{2}}\nonumber\]

donde:

\(n\)= el número total de observaciones en los datos de la muestra
\(s^2\)= varianza muestral
\(\sigma_{0}^{2}\)= Valor hipotético de la varianza poblacional
\(H_{0} : \sigma^{2}=\sigma_{0}^{2}\)
\(H_{a} : \sigma^{2} \neq \sigma_{0}^{2}\)

Puedes pensar en s como la variable aleatoria en esta prueba. El número de grados de libertad es\(df = n - 1\). Una prueba de una sola varianza puede ser de cola derecha, de cola izquierda o de dos colas. Ejemplo te\(\PageIndex{1}\) mostrará cómo configurar las hipótesis nulas y alternativas. Las hipótesis nulas y alternativas contienen declaraciones sobre la varianza poblacional.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Los instructores de matemáticas no solo están interesados en cómo les va a sus alumnos en los exámenes, en promedio, sino en cómo varían los puntajes de los exámenes. Para muchos instructores, la varianza (o desviación estándar) puede ser más importante que el promedio.

Supongamos que un instructor de matemáticas cree que la desviación estándar para su examen final es de cinco puntos. Uno de sus mejores alumnos piensa lo contrario. El alumno afirma que la desviación estándar es de más de cinco puntos. Si el alumno realizara una prueba de hipótesis, ¿cuáles serían las hipótesis nulas y alternativas?

Contestar

A pesar de que se nos da la desviación estándar poblacional, podemos configurar la prueba utilizando la varianza poblacional de la siguiente manera.

\(H_{0} : \sigma^{2} \leq 5^{2}\)
\(H_{a} : \sigma^{2}>5^{2}\)

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Un instructor de SCUBA quiere registrar las profundidades colectivas de cada una de las inmersiones de sus alumnos durante su checkout. Le interesa cómo varían las profundidades, aunque todos deberían haber estado a la misma profundidad. Cree que la desviación estándar es de tres pies. Su asistente piensa que la desviación estándar es de menos de tres pies. Si el instructor realizara una prueba, ¿cuáles serían las hipótesis nulas y alternativas?

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Con líneas individuales en sus diversas ventanas, una oficina de correos encuentra que la desviación estándar para los tiempos de espera para los clientes el viernes por la tarde es de 7.2 minutos. La oficina de correos experimenta con una sola línea de espera principal y encuentra que para una muestra aleatoria de 25 clientes, los tiempos de espera para los clientes tienen una desviación estándar de 3.5 minutos un viernes por la tarde.

Con un nivel de significancia del 5%, pruebe la afirmación de que una sola línea causa una menor variación entre los tiempos de espera para los clientes.

Contestar

Dado que la afirmación es que una sola línea causa menos variación, esta es una prueba de una sola varianza. El parámetro es la varianza poblacional,\(\sigma^2\).

Variable aleatoria: La desviación estándar de la muestra\(s\),, es la variable aleatoria. Let\(s\) = desviación estándar para los tiempos de espera.

\(H_{0} : \sigma^{2} \geq 7.2^{2}\)
\(H_{a} : \sigma^{2}<7.2^{2}\)

Distribución para la prueba:\(\chi_{24}^{2}\), donde:

\(n\)= el número de clientes muestreados
\(df = n – 1 = 25 – 1 = 24\)

Calcular el estadístico de prueba:

\(\chi_{c}^{2}=\frac{(n-1) s^{2}}{\sigma^{2}}=\frac{(25-1)(3.5)^{2}}{7.2^{2}}=5.67\)

dónde\(n = 25\),\(s = 3.5\), y\(\sigma = 7.2\).

Se trata de una curva chi-cuadrada asimétrica con valores de 0 y 5.67 etiquetados en el eje horizontal. El punto 5.67 se encuentra a la izquierda del pico de la curva. Una línea vertical ascendente se extiende desde 5.67 hasta la curva y la región a la izquierda de esta línea está sombreada. El área sombreada es igual al valor p.

La gráfica del Chi-cuadrado muestra la distribución y marca el valor crítico con 24 grados de libertad a un nivel de confianza del 95%,\(\alpha = 0.05\), 13.85. El valor crítico de 13.85 provino de la tabla Chi cuadrada que se lee de manera muy parecida a la tabla t de estudiantes. La diferencia es que la distribución t de los estudiantes es simétrica y la distribución Chi cuadrada no lo es. En la parte superior de la tabla Chi cuadrada vemos no sólo los familiares 0.05, 0.10, etc. sino también 0.95, 0.975, etc. Estas son las columnas utilizadas para encontrar el valor crítico de la izquierda. La gráfica también marca el estadístico\(\chi^2\) de prueba calculado de 5.67. Comparando el estadístico de prueba con el valor crítico, como lo hemos hecho con todas las demás pruebas de hipótesis, llegamos a la conclusión.

La palabra “menos” te dice que esta es una prueba de cola izquierda.

Tomar una decisión: Debido a que el estadístico de prueba calculado está en la cola no podemos aceptar\(H_0\). Esto significa que rechazas\(\sigma^2 \geq 7.2^2\). En otras palabras, no crees que la variación en los tiempos de espera sea de 7.2 minutos o más; piensas que la variación en los tiempos de espera es menor.

Conclusión: A un nivel de significancia del 5%, a partir de los datos, hay evidencia suficiente para concluir que una sola línea provoca una menor variación entre los tiempos de espera o con una sola línea, los tiempos de espera del cliente varían menos de 7.2 minutos.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

El profesor Hadley tiene debilidad por las donas rellenas de crema, pero cree que algunas panaderías no están llenando adecuadamente las donas. Una muestra de 24 donas revela una cantidad media de relleno igual a 0.04 tazas, y la desviación estándar de la muestra es 0.11 tazas. El profesor Hadley tiene interés en la cantidad promedio de llenado, por supuesto, pero está particularmente angustiado si una rosquilla es radicalmente diferente de otra. Al profesor Hadley no le gustan las sorpresas.

Pruebe al 95% la hipótesis nula de que la varianza poblacional del llenado de donas es significativamente diferente de la cantidad promedio de llenado.

Contestar

Esto es claramente un problema al tratar las varianzas. En este caso estamos probando una sola muestra en lugar de comparar dos muestras de diferentes poblaciones. Las hipótesis nulas y alternativas son así:

\[H_{0} : \sigma^{2}=0.04\nonumber\]

\[H_{0} : \sigma^{2} \neq 0.04\nonumber\]

La prueba se configura como una prueba de dos colas porque el profesor Hadley ha mostrado preocupación por demasiada variación en el llenado así como por muy poca: su aversión a una sorpresa es cualquier nivel de llenado fuera del promedio esperado de 0.04 tazas. El estadístico de prueba se calcula para ser:

\[\chi_{c}^{2}=\frac{(n-1) s^{2}}{\sigma_{o}^{2}}=\frac{(24-1) 0 \cdot 11^{2}}{0.04^{2}}=6.9575\nonumber\]

El estadístico de\(\chi^2\) prueba calculado, 6.96, está en la cola por lo tanto a un nivel de significancia 0.05, no podemos aceptar la hipótesis nula de que la varianza en el relleno de donas es igual a 0.04 tazas. Parece que el profesor Hadley está destinado a encontrarse con la decepción con cada bit.

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

La FCC realiza pruebas de velocidad de banda ancha para medir la cantidad de datos por segundo que pasan entre la computadora de un consumidor e Internet. A agosto de 2012, la desviación estándar de las velocidades de Internet entre los Proveedores de Servicios de Internet (ISP) era de 12.2 por ciento. Supongamos que se toma una muestra de 15 ISP, y la desviación estándar es 13.2. Un analista afirma que la desviación estándar de velocidades es más de lo que se reportó. Indicar las hipótesis nulas y alternativas, computar los grados de libertad, el estadístico de prueba, esbozar la gráfica de la distribución y marcar el área asociada al nivel de confianza, y sacar una conclusión. Prueba al nivel de significancia del 1%.