11.4: Prueba de Independencia

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Las pruebas de independencia implican el uso de una tabla de contingencia de valores observados (datos). El estadístico de prueba para una prueba de independencia es similar al de una prueba de bondad de ajuste:

\[\sum_{(i \cdot j)} \frac{(O-E)^{2}}{E}\nonumber\]

donde:

\(O\)= valores observados
\(E\)= valores esperados
\(i\)= el número de filas en la tabla
\(j\)= el número de columnas en la tabla

Hay\(i \cdot j\) términos de la forma\(\frac{(O-E)^{2}}{E}\).

Una prueba de independencia determina si dos factores son independientes o no. Se encontró por primera vez con el término independencia en la Tabla 3.1 anterior. Como revisión, considere el siguiente ejemplo.

Nota

El valor esperado dentro de cada celda debe ser de al menos cinco para que puedas usar esta prueba.

Ejemplo 11.8

Supongamos\(A\) = una violación por exceso de velocidad en el último año y\(B\) = un usuario de celular mientras conduce. Si\(A\) y\(B\) son independientes entonces\(P(A \cap B)=P(A) P(B) . A \cap B\) es el evento de que un conductor recibió una infracción por exceso de velocidad el año pasado y también usó un celular mientras conducía. Supongamos, en un estudio de conductores que recibieron infracciones por exceso de velocidad en el último año, y que usaron celular mientras conducían, que se encuestó a 755 personas. De los 755, 70 presentaron una infracción por exceso de velocidad y 685 no; 305 usaron celulares mientras conducían y 450 no.

Dejar y = número esperado de conductores que usaron un celular mientras conducían y recibieron infracciones por exceso de velocidad.

Si\(A\) y\(B\) son independientes, entonces\(P(A \cap B)=P(A) P(B)\). Por sustitución,

\[\frac{y}{755}=\left(\frac{70}{755}\right)\left(\frac{305}{755}\right)\nonumber\]

Resolver para\(y\):\(y=\frac{(70)(305)}{755}=28.3\)

Se espera que alrededor de 28 personas de la muestra usen teléfonos celulares mientras conducen y reciban infracciones por exceso de velocidad.

En una prueba de independencia, declaramos las hipótesis nulas y alternativas en palabras. Dado que la tabla de contingencia consta de dos factores, la hipótesis nula establece que los factores son independientes y la hipótesis alternativa establece que no son independientes (dependientes). Si hacemos una prueba de independencia usando el ejemplo, entonces la hipótesis nula es:

\(H_0\): Ser usuario de celular mientras conduce y recibe una infracción por exceso de velocidad son eventos independientes; en otras palabras, no tienen ningún efecto el uno en el otro.

Si la hipótesis nula fuera cierta, esperaríamos que alrededor de 28 personas usaran celulares mientras conducían y recibieran una infracción por exceso de velocidad.

La prueba de independencia siempre es de cola derecha debido al cálculo del estadístico de prueba. Si los valores esperados y observados no están muy juntos, entonces el estadístico de prueba es muy grande y sale en la cola derecha de la curva de chi-cuadrado, ya que está en una bondad de ajuste.

El número de grados de libertad para la prueba de independencia es:

\(d f=(\text { number of columns }-1)(\text { number of rows }-1)\)

La siguiente fórmula calcula el número esperado (E):

\[E=\frac{(\text { row total })(\text { column total })}{\text { total number surveyed }}\nonumber\]

Ejercicio 11.8

Se toma una muestra de 300 alumnos. De los estudiantes encuestados, 50 eran estudiantes de música, mientras que 250 no. Noventa y siete de los 300 encuestados estaban en la lista de honor, mientras que 203 no. Si asumimos que ser estudiante de música y estar en el cuadro de honor son eventos independientes, ¿cuál es el número esperado de estudiantes de música que también están en el cuadro de honor?

Ejemplo 11.9

Un grupo de voluntarios, brinda de una a nueve horas semanales con personas mayores discapacitadas. El programa recluta entre estudiantes de colegios comunitarios, estudiantes universitarios de cuatro años y no estudiantes. En el Cuadro 11.14 se encuentra una muestra de los voluntarios adultos y el número de horas que realizan voluntariado a la semana.

La tabla contiene los valores **observados (O)** (datos).
Tipo de voluntario	1—3 Horas	4—6 Horas	7—9 Horas	Total de fila
Estudiantes de colegios comunitarios	111	96	48	255
Estudiantes universitarios de cuatro años	96	133	61	290
No estudiantes	91	150	53	294
Total de columnas	298	379	162	839

¿El número de horas voluntarias es independiente del tipo de voluntario?

Contestar

Solución 11.9

La mesa observada y la pregunta al final del problema, “¿El número de horas voluntarias es independiente del tipo de voluntario?” te digo que esta es una prueba de independencia. Los dos factores son el número de horas de voluntariado y el tipo de voluntario. Esta prueba siempre es de cola derecha.

\(H_0\): El número de horas voluntarias es independiente del tipo de voluntario.

\(H_a\): El número de horas voluntarias depende del tipo de voluntario.

El resultado esperado se encuentra en el Cuadro 11.15.

La tabla contiene valores **esperados** (E) (datos).
Tipo de voluntario	1-3 Horas	4-6 Horas	7-9 Horas
Estudiantes de colegios comunitarios	90.57	115.19	49.24
Estudiantes universitarios de cuatro años	103.00	131.00	56.00
No estudiantes	104.42	132.81	56.77

Por ejemplo, el cálculo de la frecuencia esperada para la celda superior izquierda es

\[E=\frac{(\text { row total })(\text { column total })}{\text { total number surveyed }}=\frac{(255)(298)}{839}=90.57\nonumber\]

Calcular el estadístico de prueba:\(\chi^2 = 12.99\) (calculadora o computadora)

Distribución para la prueba:\(\chi_4^2\)

\(d f=(3 \text { columns }-1)(3 \text { rows }-1)=(2)(2)=4\)

Gráfica:

Curva chi-cuadrada no simétrica con valores de 0 y 12.99 en el eje x que representan el estadístico de prueba del número de horas trabajadas por voluntarios de diferentes tipos. Una línea vertical ascendente se extiende desde 12.99 hasta la curva y el área a la derecha de ésta es igual al valor p.

La gráfica del Chi-cuadrado muestra la distribución y marca el valor crítico con cuatro grados de libertad a un nivel de confianza del 95%,\(\alpha = 0.05\), 9.488. La gráfica también marca el estadístico\(\chi_{c}^{2}\) de prueba calculado de 12.99. Comparando el estadístico de prueba con el valor crítico, como lo hemos hecho con todas las demás pruebas de hipótesis, llegamos a la conclusión.

Tomar una decisión: Debido a que el estadístico de prueba calculado está en la cola no podemos aceptar H ₀. Esto quiere decir que los factores no son independientes.

Conclusión: A un nivel de significancia del 5%, a partir de los datos, hay evidencia suficiente para concluir que el número de horas voluntarias y el tipo de voluntario son dependientes entre sí.

Para el ejemplo de la Tabla 11.15, si hubiera habido otro tipo de voluntario, adolescentes, ¿cuáles serían los grados de libertad?

Ejercicio 11.9

El Bureau of Labor Statistics recopila datos sobre el empleo en Estados Unidos. Se toma una muestra para calcular el número de ciudadanos estadounidenses que trabajan en uno de varios sectores de la industria a lo largo del tiempo. La Tabla 11.16 muestra los resultados:

Cuadro 11.16
Sector de la industria	2000	2010	2020	Total
Salario y salario no agrícola	13,243	13,044	15.018	41,305
Producción de bienes, excluida la agricultura	2,457	1,771	1,950	6,178
Prestación de servicios	10,786	11,273	13,068	35,127
Agricultura, silvicultura, pesca y caza	240	214	201	655
Trabajador autónomo no agrícola y familiar no remunerado	931	894	972	2,797
Trabajos secundarios salariales y salariales en agricultura e industrias domésticas privadas	14	11	11	36
Trabajos secundarios como trabajador autónomo o familiar no remunerado	196	144	152	492
Total	27,867	27,351	31,372	86,590

Queremos saber si el cambio en el número de empleos es independiente del cambio en años. Declarar las hipótesis nulas y alternativas y los grados de libertad.

Ejemplo 11.10

De Anza College está interesado en la relación entre el nivel de ansiedad y la necesidad de tener éxito en la escuela. Una muestra aleatoria de 400 alumnos realizó una prueba que midió el nivel de ansiedad y la necesidad de tener éxito en la escuela. En el Cuadro 11.17 se muestran los resultados. De Anza College quiere saber si el nivel de ansiedad y la necesidad de triunfar en la escuela son eventos independientes.

Cuadro 11.17 Necesidad de triunfar en la escuela vs. nivel de ansiedad
Necesidad de triunfar en la escuela	Ansiedad alta	Ansiedad alta	Ansiedad media	Ansiedad media-baja	Baja ansiedad	Total de fila
Alta necesidad	35	42	53	15	10	155
Necesidad media	18	48	63	33	31	193
Baja necesidad	4	5	11	15	17	52
Total de columnas	57	95	127	63	58	400

a. ¿Cuántos estudiantes de alto nivel de ansiedad se espera que tengan una alta necesidad de tener éxito en la escuela?

Contestar

Solución 11.10

a. El total de la columna para un alto nivel de ansiedad es 57. El total de fila por alta necesidad para triunfar en la escuela es de 155. El tamaño muestral o total encuestado es de 400.

\[E=\frac{(\text { row total })(\text { column total })}{\text { total surveyed }}=\frac{155 \cdot 57}{400}=22.09\nonumber\]

El número esperado de estudiantes que tienen un alto nivel de ansiedad y una alta necesidad de tener éxito en la escuela es de alrededor de 22.

b. Si las dos variables son independientes, ¿cuántos estudiantes espera que tengan una baja necesidad de triunfar en la escuela y un nivel medio-bajo de ansiedad?

Contestar

Solución 11.10

b. El total de la columna para un nivel medio-bajo de ansiedad es 63. El total de fila para una baja necesidad de tener éxito en la escuela es de 52. El tamaño muestral o total encuestado es de 400.

c.\(E=\frac{(\text { row total })(\text { column total })}{\text { total surveyed }}=\) ________

Contestar

Solución 11.10

c.\(E=\frac{(\text { row total })(\text { column total })}{\text { total surveyed }}=8.19\)

d. El número esperado de estudiantes que tienen un nivel de ansiedad media-bajo y una baja necesidad de tener éxito en la escuela es de aproximadamente ________.

Contestar

Solución 11.10

d. 8