11.5: Prueba de homogeneidad

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La prueba de bondad de ajuste puede utilizarse para decidir si una población se ajusta a una distribución determinada, pero no bastará con decidir si dos poblaciones siguen la misma distribución desconocida. Una prueba diferente, llamada prueba de homogeneidad, se puede utilizar para sacar una conclusión sobre si dos poblaciones tienen la misma distribución. Para calcular el estadístico de prueba para una prueba de homogeneidad, siga el mismo procedimiento que con la prueba de independencia.

NOTA

El valor esperado dentro de cada celda debe ser de al menos cinco para que puedas usar esta prueba.

Hipótesis

\(H_0\): Las distribuciones de las dos poblaciones son las mismas.
\(H_a\): Las distribuciones de las dos poblaciones no son las mismas.

Estadística de prueba

Utilice un estadístico de\(\chi^2\) prueba. Se calcula de la misma manera que la prueba de independencia.

Grados de Libertad (\(\bf{df}\))

\(df = \text{ number of columns }- 1\)

Requerimientos

Todos los valores de la tabla deben ser mayores o iguales a cinco.

Usos Comunes

Comparando dos poblaciones. Por ejemplo: hombres vs. mujeres, antes vs después, oriente vs oeste. La variable es categórica con más de dos posibles valores de respuesta.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

¿Los estudiantes universitarios masculinos y femeninos tienen la misma distribución de arreglos de vivienda? Utilizar un nivel de significancia de 0.05. Supongamos que a 250 estudiantes universitarios varones seleccionados al azar y a 300 estudiantes universitarias elegidas al azar se les preguntó sobre sus arreglos de vivienda: dormitorio, departamento, con padres, otros. Los resultados se muestran en la Tabla\(\PageIndex{18}\). ¿Los estudiantes universitarios masculinos y femeninos tienen la misma distribución de arreglos de vivienda?

\ (\ PageIndex {18}\) Distribución de viviendas para varones universitarios y mujeres universitarias “>

Tabla\(\PageIndex{18}\) Distribución de los arragamientos de vida para varones universitarios y mujeres universitarias
	Dormitorio	Departamento	Con los padres	Otros
Machos	72	84	49	45
Hembras	91	86	88	35

Contestar

Solución 11.11

\(H_0\): La distribución de los arreglos de vivienda para los estudiantes universitarios varones es la misma que la distribución de los arreglos de vivienda para las estudiantes universitarias femeninas.

\(H_a\): La distribución de los arreglos de vivienda para los estudiantes universitarios masculinos no es lo mismo que la distribución de los arreglos de vivienda para estudiantes universitarias femeninas.

Grados de Libertad (\(\bf{df}\)):
\(df =\text{ number of columns }– 1 = 4 – 1 = 3\)

Distribución para la prueba:\(\chi_3^2\)

Calcular la prueba estadística:\(\chi_c^2 = 10.129\)

La gráfica del Chi-cuadrado muestra la distribución y marca el valor crítico con tres grados de libertad a un nivel de confianza del 95%,\(\alpha = 0.05\), 7.815. La gráfica también marca el estadístico\(\chi^2\) de prueba calculado de 10.129. Comparando el estadístico de prueba con el valor crítico, como lo hemos hecho con todas las demás pruebas de hipótesis, llegamos a la conclusión.

Tomar una decisión: Debido a que el estadístico de prueba calculado está en la cola no podemos aceptar\(H_0\). Esto quiere decir que las distribuciones no son las mismas.

Conclusión: A un nivel de significancia del 5%, a partir de los datos, hay evidencia suficiente para concluir que las distribuciones de los arreglos de vivienda para estudiantes universitarios masculinos y femeninos no son las mismas.

Observe que la conclusión es sólo que las distribuciones no son las mismas. No podemos usar la prueba de homogeneidad para sacar conclusiones sobre cómo difieren.

Ejercicio\(\PageIndex{1A}\)

¿Las familias y los solteros tienen la misma distribución de autos? Utilizar un nivel de significancia de 0.05. Supongamos que a 100 familias seleccionadas al azar y a 200 singles seleccionados al azar se les preguntó qué tipo de automóvil conducían: sport, sedán, hatchback, camioneta, furgoneta/SUV. Los resultados se muestran en la Tabla\(\PageIndex{19}\). ¿Las familias y los solteros tienen la misma distribución de autos? Prueba a un nivel de significancia de 0.05.

\ (\ PageIndex {19}\) “>

Mesa\(\PageIndex{19}\)
	Deporte	Sedán	Hatchback	Camioneta	Van/SUV
Familia	5	15	35	17	28
Individual	45	65	37	46	7

Ejercicio\(\PageIndex{1B}\)

Las escuelas de la Ivy League reciben muchas solicitudes, pero solo algunas pueden ser aceptadas. En las escuelas listadas en la Tabla\(\PageIndex{20}\), se aceptan dos tipos de solicitudes: decisión regular y temprana.

\ (\ PageIndex {20}\) “>

Mesa\(\PageIndex{20}\)
Tipo de solicitud aceptada	Marrón	Columbia	Cornell	Dartmouth	Penn	Yale
Regular	2,115	1,792	5,306	1,734	2,685	1,245
Decisión anticipada	577	627	1,228	444	1,195	761

Queremos saber si el número de solicitudes regulares aceptadas sigue la misma distribución que el número de solicitudes anticipadas aceptadas. Indicar las hipótesis nulas y alternativas, los grados de libertad y el estadístico de prueba, esbozar la gráfica de la\(\chi^2\) distribución y mostrar el valor crítico y el valor calculado del estadístico de prueba, y sacar una conclusión sobre la prueba de homogeneidad.