4.1: Encontrar probabilidades

Hay dos formas básicas de encontrar probabilidades simples. Una forma de encontrar una probabilidad es a priori o usando la lógica sin ninguna evidencia o experiencia del mundo real. Si sabemos que un dado no está cargado, sabemos que la probabilidad de rodar un dos es 1 de 6 o .167. Las probabilidades son fáciles de encontrar si cada resultado posible tiene la misma probabilidad de ocurrir. Si ese es el caso, la probabilidad es la cantidad de formas en que se puede lograr su resultado sobre todos los resultados posibles.

El segundo método para determinar una probabilidad se llama posterior, que utiliza la experiencia y evidencia que se ha acumulado a lo largo del tiempo para determinar la probabilidad de un evento. Si no sabemos que la probabilidad de salir adelante es la misma que la probabilidad de obtener una cola cuando volteamos una moneda (y, por lo tanto, no podemos usar una metodología a priori), podemos voltear la moneda repetidamente. Después de voltear la moneda, digamos, 6000 veces, si obtenemos 3000 cabezas se puede concluir que la probabilidad de salir adelante es .5, es decir, 3000 dividido por 6000.

A veces queremos mirar las probabilidades de una manera más compleja. Supongamos que queremos saber cómo le va a Martínez frente a lanzadores diestros. Ese tipo de probabilidad es referida como probabilidad condicional. La forma formal de que podríamos decir ese interés es: ¿cuál es la probabilidad de Martínez de conseguir un hit dado que el lanzador es diestro? Estamos estableciendo una condición (lanzador diestro) y sólo nos interesan los casos que satisfagan la condición. El cálculo es lo mismo que una probabilidad simple, pero elimina sus turnos al bate contra zurdos y sólo considera esos turnos al bate contra lanzadores diestros. En este caso, tiene 23 hits en 56 turnos al bate (contra lanzadores diestros) por lo que su probabilidad de obtener un hit contra un lanzador diestro es 23/5623/56 o .411. (Este ejemplo usa el método posterior para encontrar la probabilidad, por cierto.) Una probabilidad condicional se simboliza como P (A|B) P (A|B) donde A está recibiendo un hit y B es el lanzador es diestro. Se lee como la probabilidad de A dada B o la probabilidad de que Martínez obtenga un hit dado que el lanzador es diestro.

Otro tipo de probabilidad que muchas veces queremos es una probabilidad conjunta. Una probabilidad conjunta indica la probabilidad de que ocurran dos (o más) eventos. Supongamos que quieres saber la probabilidad de que te guste este curso y que obtengas una A en él, simultáneamente —el mejor de todos los mundos posibles. La fórmula para encontrar una probabilidad conjunta es:

P (AB) =P (A) * P (B|A) o P (B) * P (A|B) (4.1) (4.1) P (AB) =P (A) * P (B|A) o (B) * P (A|B)

La probabilidad de que dos eventos ocurran al mismo tiempo es la probabilidad de que el primero ocurra veces la probabilidad de que ocurra el segundo dado que el primero ha ocurrido.

Si los eventos son independientes el cálculo es aún más fácil. Los eventos son independientes si la ocurrencia o no ocurrencia de uno no afecta si ocurre el otro. Supongamos que quieres saber la probabilidad de que te guste este curso y no necesites obtener gasolina en el camino a casa (tu definición de un día perfecto). Esos eventos son presumiblemente independientes por lo que el P (B|A) =P (B) P (B|A) =P (B) y la fórmula conjunta para eventos independientes se convierten en:

P (AB) =P (A) * P (B) (4.2) (4.2) P (AB) =P (A) * P (B)

El tipo final de probabilidad es la unión de dos probabilidades. La unión de dos probabilidades es la probabilidad de que se produzca o bien un evento o el otro, o bien, no importa cuál. Podrías ir a una clase de estadística con algo de pavor y podrías decir una pequeña oración a ti mismo: Por favor, déjeme que me guste esta clase o consiga una A. No me importa cuál, pero por favor dame al menos una de ellas”. La fórmula y los símbolos para ese tipo de probabilidad son:

P (AB) =P (A) +P (B) −P (AB) (4.3) (4.3) P (AB) =P (A) +P (B) −P (AB)

Es fácil entender por qué solo sumamos la P (A) P (A) y la P (B) P (B) pero puede ser menos claro por qué restamos la probabilidad conjunta. La respuesta es simple - porque contamos donde se superponen dos veces (esas instancias tanto en A como en B) así que tenemos que restar una instancia.

Si, sin embargo, los eventos son mutuamente excluyentes, no necesitamos restar la superposición. Los eventos mutuamente excluyentes son eventos que no pueden ocurrir al mismo tiempo, por lo que no hay superposición. Supongamos que eres de Chicago y serás feliz si ya sea los Cachorros o los Medias Blancas ganan la Serie Mundial. Esos eventos son mutuamente excluyentes ya que solo un equipo puede ganar la Serie Mundial así que para encontrar la unión de esas probabilidades simplemente tenemos que sumar la probabilidad de que los Cachorros ganen a la probabilidad de que ganen los Medias Blancas.