7.1: Modelos heoréticos
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Los modelos, como se discutió anteriormente, son un componente esencial en la construcción de la teoría. Simplifican los conceptos teóricos, proporcionan una manera precisa de evaluar las relaciones entre variables y sirven como vehículo para la prueba de hipótesis. Como se discute en el Capítulo 1, una de las características centrales de un modelo teórico es la presunción de causalidad, y la causalidad se basa en tres factores: ordenamiento del tiempo (observacional o teórico), covariación y no espuriedad. De estos tres supuestos, la covariación es la analizada mediante OLS. El adagio a menudo repetido, la correlación no es causalidad” es clave. La causalidad está impulsada por la teoría, pero la covariación es una parte crítica de las pruebas empíricas de hipótesis.
Al describir las relaciones, es importante distinguir entre aquellas que son deterministas versus estocásticas. Las relaciones deterministas están “completamente determinadas” de tal manera que, conociendo los valores de la variable independiente, se puede explicar (o predecir) perfectamente el valor de la variable dependiente. Philosophers of Old (como Kant) imaginaban que el universo era como un reloj masivo y complejo que, una vez terminado y puesto tictac, permitiría una predicción perfecta del futuro si tuvieras toda la información sobre las condiciones de partida. No hay “error” en la predicción. Las relaciones estocásticas, por otro lado, incluyen un componente aleatorio irreducible, tal que las variables independientes permiten sólo una predicción parcial de la variable dependiente. Pero ese componente estocástico (o aleatorio) de la variación en la variable dependiente tiene una distribución de probabilidad que se puede analizar estadísticamente.
7.1.1 Modelo Lineal Determinístico
El modelo lineal determinista sirve de base para evaluar modelos teóricos. Se expresa como:
YI=α+βXI (7.1) (7.1) YI=α+βXI
Un modelo determinista es sistemático y no contiene error, por lo que YY es perfectamente predicho por XX. Esto se ilustra en la Figura\(\PageIndex{1}\). αα y ββ son los parámetros del modelo y son términos constantes. ββ es la pendiente o el cambio en YY sobre el cambio en XX. αα es la intercepción, o el valor de YY cuando XX es cero.
Dado que en las ciencias sociales rara vez trabajamos con modelos deterministas, casi todos los modelos contienen un componente estocástico o aleatorio.
7.1.2 Modelo lineal estocástico
El estocástico, o estadístico, el modelo lineal contiene un componente sistemático, y=α+βY=α+β, y un componente estocástico llamado término de error. El término de error es la diferencia entre el valor esperado de YiYi y el valor observado de YiYi; YI−μYI−μ. Este modelo se expresa como:
YI=α+βXi+i (7.2) (7.2) YI=α+βXI+I
donde ii es el término de error. En el modelo determinista, cada valor de YY se ajusta a lo largo de la línea de regresión, sin embargo en un modelo estocástico, el valor esperado de YY está condicionado por los valores de XX. Esto se ilustra en la Figura\(\PageIndex{2}\).
La figura\(\PageIndex{2}\) muestra las distribuciones poblacionales condicionales de YY para varios valores de X, p (Y|X) X, p (Y|X). Las medias condicionales de YY dado XX se denotan μμ.
μIº E (Yi) =E (Y|Xi) =α+βXi (7.3) (7.3) μIº E (Yi) =E (Y|Xi) =α+βXi
donde - α=E (Y) º μα=E (Y) º μ cuando X=0X=0 - Cada aumento de 1 unidad en XX aumenta E (Y) E (Y) en ββ
Sin embargo, en el modelo lineal estocástico la variación en YY es causada por más de XX, también es causada por el término de error. El término de error se expresa como:
i=YI−E (Yi) =Yi− (α+βXI) =YI−α−βXii=YI−e (Yi) =Yi− (α+βXI) =YI−α−βXIPor lo tanto; Yi=E (Yi) +=α+βXi+Iyi=E (Yi) +=α+βXi+I
Hacemos varias suposiciones importantes sobre el término de error que se discuten en la siguiente sección.
7.1.3 Supuestos sobre el término de error
Hay tres supuestos clave sobre el término de error; a) los errores tienen distribuciones idénticas, b) los errores son independientes y c) los errores se distribuyen normalmente. 14
Supuestos de error
- Los errores tienen distribuciones idénticas
E (2i) =σ2E (i2) =σ2
- Los errores son independientes de XX y otros ii
E (i) =E (|xi) =0E (i) =E (|xi) =0
y
E (i) E (j) E (i) E (j) para i≠ ji≠ j
- Los errores se distribuyen normalmente
i∼n (0, σ2) i∼n (0, σ2)
Tomados en conjunto, estos supuestos significan que el término de error tiene una distribución normal, independiente e idéntica (i.i.d. normal). No obstante, no sabemos si, en algún caso particular, se cumplen estos supuestos. Por lo tanto, debemos estimar un modelo lineal.