11.2: Los fundamentos del álgebra matricial
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Una matriz es una matriz rectangular de números con filas y columnas. Como se señaló, las operaciones realizadas en matrices se realizan en todos los elementos de una matriz simultáneamente. En esta sección, proporcionamos la comprensión básica del álgebra matricial que es necesaria para dar sentido a la expresión de regresión múltiple en forma de matriz.
11.2.1 Fundamentos de Matriz
Los números individuales en una matriz se denominan “elementos”. Los elementos de una matriz pueden ser identificados por su ubicación en fila y columna, denotados como Ar, CaR, c. En el siguiente ejemplo, mm hará referencia a la fila de la matriz y nn hará referencia a la columna.
Am, n=a1,1a1,2a1, na2,1a2,2a2, nam,1am,2am, nam, n= [a1,1a1,2a1, na2,1a2,2a2, nam,1am,2am, n]
Por lo tanto, en la siguiente matriz;
A= [1058−1210] A= [1058−1210]
elemento a2,3=0a2,3=0 y a1,2=5a1,2=5.
11.2.2 Vectores
Un vector es una matriz con una sola columna o fila. Aquí hay algunos ejemplos:
A=6−1811A= [6−1811]
o
A= [1287] A= [1287]
11.2.3 Operaciones matriciales
Hay varias “operaciones” que se pueden realizar con y sobre matrices. La mayoría de estos se pueden calcular con R, por lo que usaremos R ejemplos a medida que avanzamos. Como siempre, comprenderás mejor las operaciones si trabajas los problemas en R a medida que avanzamos. No es necesario cargar un conjunto de datos esta vez — ingresaremos todos los datos que necesitamos en los ejemplos.
11.2.4 Transpone
Transponiendo, o tomando el “primo” de una matriz, cambia las filas y columnas. 21 La matriz
A= [1058−1210] A= [1058−1210]
Una vez transpuesto es:
A′=10−125180A′= [10−125180]
Tenga en cuenta que la operación “bisagras” en el elemento en la esquina superior derecha de AA, A1,1A1,1, por lo que la primera columna de AA se convierte en la primera fila en A′A′. Para transponer una matriz en R, cree un objeto de matriz y luego simplemente use el comando t.
A <- matrix(c(10,-12,5,1,8,0),2,3)
A## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 10 5 8
## [2,] -12 1 0t(A)## [,1] [,2]
## [1,] 10 -12
## [2,] 5 1
## [3,] 8 011.2.5 Adición de Matrices
Para sumar matrices, deben tener las mismas dimensiones, es decir, que las matrices deben tener el mismo número de filas y columnas. Entonces, simplemente agrega cada elemento a su contraparte por fila y columna. Por ejemplo:
A= [4−320] +B= [814−5] =A+B= [4+8−3+12+40+ (−5)] = [12−26−5] A= [4−320] +B= [814−5] =A+B= [4+8−3+12+40+ (−5)] = [12−26−5]
Para sumar matrices juntas en R, simplemente cree dos objetos de matriz y sumételos juntos.
A <- matrix(c(4,2,-3,0),2,2)
A## [,1] [,2]
## [1,] 4 -3
## [2,] 2 0B <- matrix(c(8,4,1,-5),2,2)
B## [,1] [,2]
## [1,] 8 1
## [2,] 4 -5A + B## [,1] [,2]
## [1,] 12 -2
## [2,] 6 -5Ver — ¿qué tan fácil es eso? ¡No hay que tener miedo de un poco de álgebra matricial!
11.2.6 Multiplicación de Matrices
Para multiplicar matrices deben ser conformables, lo que significa que el número de columnas en la primera matriz debe coincidir con el número de filas de la segunda matriz.
arxq*bqxC=CRXCarxQ*bqxC=CRxC
Luego, multiplique los elementos de columna por los elementos de fila, como se muestra aquí:
A=25106−2B= [421572] =AXB=( 2X4) + (5X5) (2X2) + (5X7) (2X1) + (5X2) (1X4) + (0X5) (1X2) + (0X7) (1X1) + (0X2) (6X4) + (−2X5) (6X2) (6X2)) + (−2X7) (6X1) + (−2X2) =33391242114−22A= [25106−2] ∗B= [421572] =AXB= [(2X4) + (5X5) (2X2) + (5X7) (2X1) + (5X2) (1X4) + (0X5) (1X2) + (0X7) (1X1) + (0X2) (6X4) + (−2X5) (6X2) + (−2X7) (6X1) + (−2X2)] = [33391242114-22]
Para multiplicar matrices en R, cree dos objetos de matriz y multiplíquelos usando el comando\ %*\%.
A <- matrix(c(2,1,6,5,0,-2),3,2)
A## [,1] [,2]
## [1,] 2 5
## [2,] 1 0
## [3,] 6 -2B <- matrix(c(4,5,2,7,1,2),2,3)
B## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 4 2 1
## [2,] 5 7 2A %*% B## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 33 39 12
## [2,] 4 2 1
## [3,] 14 -2 211.2.7 Matrices de Identidad
La matriz de identidad es una matriz cuadrada con 1 en la diagonal y 0 en otra parte. Para una matriz de 4 x 4, se ve así:
I=1000010000100001I= [1000010000100001]
Actúa como un 1 en álgebra; una matriz (AA) multiplicada por la matriz de identidad (II) es AA. Esto se puede demostrar en R.
A <- matrix(c(5,3,2,4),2,2)
A## [,1] [,2]
## [1,] 5 2
## [2,] 3 4I <- matrix(c(1,0,0,1),2,2)
I## [,1] [,2]
## [1,] 1 0
## [2,] 0 1A %*% I## [,1] [,2]
## [1,] 5 2
## [2,] 3 4Tenga en cuenta que, si desea cuadrar una matriz de columna (es decir, multiplicarla por sí misma), simplemente puede tomar la transposición de la columna (convirtiéndola así en una matriz de filas) y multiplicarla. El cuadrado de la matriz de columna AA es A′AA′A.
11.2.8 Inversión Matricial
La operación de inversión matricial es un poco como dividir cualquier número por sí mismo en álgebra. Una inversa de la matriz AA se denota A−1A-1. Cualquier matriz multiplicada por su inversa es igual a la matriz de identidad:
AA−1=A−1A=IAA−1=A−1A=I
Por ejemplo,
A= [1−1−1−1] y A−1= [0.5−0.5−0.50.5] por lo tanto A*A−1= [1001] A= [1−1−1−1] y A−1= [0.5−0.5−0.50.5] por lo tanto A*A−1= [1001]
Sin embargo, la inversión matricial solo es aplicable a una matriz cuadrada (es decir, el número de filas es igual al número de columnas); solo una matriz cuadrada puede tener una inversa.
Encontrar el inverso de una matriz
Para encontrar la inversa de una matriz, los valores que producirán la matriz de identidad, crearán una segunda matriz de variables y resolverán para II.
A= [3124] X [abcd] = [3a+b3c+d2a+4b2c+4d] = [1001] A= [3124] X [abcd] = [3a+b3c+d2a+4b2c+4d] = [1001]
Set 3a+b=13a+b=1 y 2a+4b=02a+4b=0 y resuelve para aa y bb. En este caso a=25a=25 y b=−15b=−15. Asimismo, el conjunto 3c+d=03c+d=0 y 2c+4d=12c+4d=1; resolviendo para cc y dd produce c=−110c=−110 y d=310d=310. Por lo tanto,
A−1= [25−110−15310] A−1= [25−110−15310]
Encontrar la matriz inversa también se puede hacer en R usando el comando solve.
A <- matrix(c(3,2,1,4),2,2)
A## [,1] [,2]
## [1,] 3 1
## [2,] 2 4A.inverse <- solve(A)
A.inverse## [,1] [,2]
## [1,] 0.4 -0.1
## [2,] -0.2 0.3A %*% A.inverse## [,1] [,2]
## [1,] 1 0
## [2,] 0 1OK — ahora tenemos todas las piezas que necesitamos para aplicar álgebra matricial a regresión múltiple.