6.1: Comprueba tu confianza en tu media

Hemos hablado de obtener una muestra de datos. Sabemos que podemos encontrar la media, sabemos que podemos encontrar la desviación estándar. Sabemos que podemos mirar los datos en un histograma. Todas estas son cosas útiles que hacer para que aprendamos algo sobre las propiedades de nuestros datos.

Podrías estar pensando en la media y la desviación estándar como cosas muy diferentes que no armaríamos. La media es sobre la tendencia central (donde están la mayoría de los datos), y la desviación estándar es sobre la varianza (donde la mayoría de los datos no lo son). Sí, son cosas diferentes, pero podemos usarlas juntas para crear nuevas cosas útiles.

Y si te dijera que mi media de muestra era 50, y no te dije nada más sobre mi muestra. ¿Estarías seguro de que la mayoría de los números estaban cerca de 50? ¿Se preguntaría si había mucha variabilidad en la muestra, y muchos de los números eran muy diferentes de 50. Deberías preguntarte todas esas cosas. La media sola, solo por sí misma, no te dice nada sobre bien la media representa todos los números en la muestra.

Podría ser un número representativo, cuando la desviación estándar es muy pequeña, y todos los números son cercanos a 50. Podría ser un número no representativo, cuando la desviación estándar es grande, y muchos de los números no están cerca de 50. Es necesario conocer la desviación estándar para tener confianza en qué tan bien representa la media los datos.

¿Cómo podemos juntar la media y la desviación estándar, para darnos un nuevo número que nos diga sobre la confianza en la media?

Podemos hacer esto usando una proporción:

\[\frac{mean}{\text{standard deviation}} \nonumber \]

Piensa en lo que pasa aquí. Estamos dividiendo un número por un número. Mira lo que sucede:

\[\frac{number}{\text{same number}} = 1 \nonumber \]

\[\frac{number}{\text{smaller number}} = \text{big number} \nonumber \]

en comparación con:

\[\frac{number}{\text{bigger number}} = \text{smaller number} \nonumber \]

Imagínese que tenemos una media de 50, y una desviación estándar verdaderamente pequeña de 1. ¿Qué obtenemos con nuestra fórmula?

\[\frac{50}{1} = 50 \nonumber \]

Imagínese que tenemos una media de 50, y una gran desviación estándar de 100. ¿Qué obtenemos con nuestra fórmula?

\[\frac{50}{100} = 0.5 \nonumber \]

Observe, cuando tenemos una media emparejada con una pequeña desviación estándar, nuestra fórmula nos da un número grande, como 50. Cuando tenemos una media emparejada con una gran desviación estándar, nuestra fórmula nos da un número pequeño, como 0.5. Estos números pueden decirnos algo sobre la confianza en nuestra media, de manera general. Podemos tener 50 confianza en nuestra media en el primer caso, y sólo 0.5 (no mucho) confiados en el segundo caso.

¿Qué hicimos aquí? Se creó un estadístico descriptivo dividiendo la media por la desviación estándar. Y, tenemos un sentido de cómo interpretar este número, cuando es grande estamos más seguros de que la media representa todos los números, cuando es pequeña tenemos menos confianza. Este es un tipo útil de número, una relación entre lo que pensamos de nuestra muestra (la media), y la variabilidad en nuestra muestra (la desviación estándar). Acostúmbrate a esta idea. Casi todo lo que sigue en este libro de texto se basa en este tipo de proporción. Veremos que nuestro ratio se convierte en diferentes tipos de “estadísticas”, y los ratios se verán así en general:

\[\text{name of statistic} = \frac{\text{measure of what we know}}{\text{measure of what we don't know}} \nonumber \]

o, para decirlo usando diferentes palabras:

\[\text{name of statistic} = \frac{\text{measure of effect}}{\text{measure of error}} \nonumber \]

De hecho, esta es la fórmula general para la prueba t. ¡Gran sorpresa!