9.6:2x2 ANOVA ENTRE SUJETOS

Debes estar preguntándote cómo calcular un ANOVA de 2x2. Aún no lo hemos discutido. Solo te hemos demostrado que no tienes que hacerlo cuando el diseño es un diseño de medidas repetidas 2x2 (ten en cuenta que este es un estuche especial).

Ahora vamos a trabajar a través de algunos ejemplos de cálculo de la tabla ANOVA para diseños 2x2. Comenzaremos con el ANOVA entre sujetos para diseños de 2x2. Hacemos esencialmente lo mismo que hacíamos antes (en los otros ANOVA), y lo único nuevo es mostrar cómo calcular el efecto de interacción.

Recuerde que la lógica del ANOVA es dividir la varianza en diferentes partes. La fórmula SS para el ANOVA 2x2 entre sujetos se ve así:

\[SS_\text{Total} = SS_\text{Effect IV1} + SS_\text{Effect IV2} + SS_\text{Effect IV1xIV2} + SS_\text{Error} \nonumber \]

En las siguientes secciones utilizamos tablas para mostrar el cálculo de cada SS. Usamos el mismo ejemplo que antes con la excepción de que estamos convirtiendo esto en un diseño entre sujetos. En la actualidad hay 5 asignaturas diferentes en cada condición, para un total de 20 asignaturas. Como resultado, eliminamos la columna de temas.

 

SS Total

Calculamos la gran media (media de toda la puntuación). Después, calculamos las diferencias entre cada puntaje y la gran media. Cuadramos los puntajes de diferencia, y los resumimos. Es decir\(SS_\text{Total}\), reportada en la fila amarilla inferior.

 

Distracción SS

Necesitamos calcular el SS para el efecto principal de distracción. Calculamos la gran media (media de todas las puntuaciones). Luego, calculamos las medias para las dos condiciones de distracción. Entonces tratamos cada puntaje como si fuera la media para su respectiva condición de distracción. Encontramos las diferencias entre cada media de condición de distracción y la gran media. Entonces cuadramos las diferencias y las resumimos. Es decir\(SS_\text{Distraction}\), reportada en la fila amarilla inferior.

¡Estas mesas son mucho para mirar! Observe aquí, que primero encontramos la gran media (8.95). Después encontramos la media para todas las puntuaciones en la condición de no distracción (columnas A y C), que fue de 11.1. Todas las puntuaciones de diferencia para la condición sin distracción son 11.1-8.95 = 2.15. También encontramos la media para las puntuaciones en la condición de distracción (columnas B y D), que fue de 6.8. Entonces, todas las puntuaciones de diferencia son 6.8-8.95 = -2.15. Recuerde, las medias son el punto de equilibrio en los datos, es por ello que las puntuaciones de diferencia son +2.15 y -2.15. La gran media 8.95 está entre las dos medias de condición (11.1 y 6.8), por una diferencia de 2.15.

 

Recompensa SS

Tenemos que computar el SS para el efecto principal de recompensa. Calculamos la gran media (media de todas las puntuaciones). Después, calculamos las medias para las dos condiciones de recompensa. Entonces tratamos cada puntaje como si fuera la media para su respectiva condición de recompensa. Encontramos las diferencias entre cada media de condición de recompensa y la gran media. Entonces cuadramos las diferencias y las resumimos. Es decir\(SS_\text{Reward}\), reportada en la fila amarilla inferior.

Ahora tratamos cada puntaje sin recompensa como la media para la condición sin recompensa (6.6), y la restamos de la gran media (8.95), para obtener -2.35. Entonces, tratamos cada puntaje de recompensa como la media de la condición de recompensa (11.3), y la restamos de la gran media (8.95), para obtener +2.35. Entonces cuadramos las diferencias y las resumimos.

 

Distracción SS por recompensa

Necesitamos calcular el SS para el efecto de interacción entre distracción y recompensa. Esto es lo nuevo que hacemos en un ANOVA con más de una IV. ¿Cómo calculamos la variación explicada por la interacción?

El corazón de la pregunta es algo así. ¿Las medias individuales para cada una de las cuatro condiciones hacen algo un poco diferente a las medias grupales para ambas variables independientes?

Por ejemplo, consideremos la media general para todos los puntajes en el grupo sin recompensa, encontramos que para ser 6.6 Ahora, ¿la media para cada grupo sin recompensa en todo el diseño era un 6.6? Por ejemplo, en el grupo sin distracción, ¿la media para la columna A (la condición de no recompensa en ese grupo) también fue 6.6? La respuesta es no, fue 9.6. ¿Qué tal el grupo de distracción? ¿La media para la condición de recompensa en el grupo de distracción (columna B) fue 6.6? No, era 3.6. La media de 9.6 y 3.6 es 6.6. Si no hubiera indicios de interacción, esperaríamos que los medios para la condición de recompensa en ambos niveles del grupo de distracción fueran los mismos, ambos serían 6.6. Sin embargo, cuando hay una interacción, los medios para el grupo de recompensa dependerán de los niveles del grupo de otro IV. En este caso, parece que hay una interacción porque los medios son diferentes de 6.6, son 9.6 y 3.6 para las condiciones de no distracción y distracción. Se trata de una extra-varianza que no se explica por la media de la condición de recompensa. Queremos capturar esta varianza extra y resumirla. Entonces tendremos medida de la porción de la varianza que se debe a la interacción entre las condiciones de recompensa y distracción.

Lo que vamos a hacer es esto. Encontraremos los cuatro medios de condición. Entonces veremos cuánta variación adicional explican más allá del grupo significa para recompensa y distracción. Para ello tratamos cada puntaje como la condición media para esa puntuación. Entonces restamos la media para el grupo de distracción, y la media para el grupo de recompensa, y luego agregamos la gran media. Esto nos da la variación única que se debe a la interacción. También podríamos decir que estamos restando cada media de condición de la gran media, y luego volviendo a sumar la media de distracción y la media de recompensa, eso equivaldría a lo mismo, y tal vez tendría más sentido.

Aquí hay una fórmula para describir el proceso para cada puntaje:

\[\bar{X}_\text{condition} -\bar{X}_\text{IV1} - \bar{X}_\text{IV2} + \bar{X}_\text{Grand Mean} \nonumber \]

O podríamos escribirlo de esta manera:

\[\bar{X}_\text{condition} - \bar{X}_\text{Grand Mean} + \bar{X}_\text{IV1} + \bar{X}_\text{IV2} \nonumber \]

Al mirar la siguiente tabla, aplicamos esta fórmula al cálculo de cada una de las puntuaciones de diferencias. Después cuadramos los puntajes de diferencia, y los sumamos para obtener\(SS_\text{Interaction}\), lo que se reporta en la fila amarilla inferior.

 

Error SS

Lo último que tenemos que encontrar es el Error SS. Podemos resolver para eso porque encontramos todo lo demás en esta fórmula:

\[SS_\text{Total} = SS_\text{Effect IV1} + SS_\text{Effect IV2} + SS_\text{Effect IV1xIV2} + SS_\text{Error} \nonumber \]

A pesar de que este libro de texto pretendía explicar las cosas paso a paso, suponemos que estás cansado de vernos elaborar el ANOVA 2x2 a mano. Tú y yo los dos, hacer estas mesas fue mucho trabajo. Ya te hemos mostrado como computar el SS por error antes, por lo que no haremos el ejemplo completo aquí. En cambio, resolvemos para SS Error usando los números que ya hemos obtenido.

\[ \begin{align*} SS_\text{Error} &= SS_\text{Total} - SS_\text{Effect IV1} - SS_\text{Effect IV2} - SS_\text{Effect IV1xIV2} \\[4pt] & = 242.95 - 92.45 - 110.45 - 14.45 \\[4pt] &= 25.6 \end{align*}\]

 

Revisa tu trabajo

Vamos a saltarnos la parte donde dividimos los SSE por sus dfs para encontrar los MSE para que podamos calcular los tres\(F\) -valores. En cambio, si hemos hecho los cálculos de las\(SS\) es correctamente, deberían ser los mismos que los que obtendríamos si usáramos R para calcular las\(SS\) es. Hagamos que R haga el trabajo, y luego comparemos para verificar nuestro trabajo.

library(xtable)
A <- c(10,8,11,9,10)  #nD_nR
B  <- c(5,4,3,4,2)  #D_nR
C <- c(12,13,14,11,13)  #nD_R
D  <- c(9,8,10,11,12)  #D_R
Number_spotted <- c(A, B, C, D)
Distraction    <- rep(rep(c("No Distraction", "Distraction"), each=5),2)
Reward         <- rep(c("No Reward","Reward"),each=10)
Distraction <- as.factor(Distraction)
Reward      <- as.factor(Reward)
all_df <- data.frame(Distraction, Reward, Number_spotted)
aov_summary <- summary(aov(Number_spotted~Distraction*Reward, all_df))
knitr::kable(xtable(aov_summary))

	Df	Suma Cuadrados	Cuadrados medios	Valor F	Pr (>F)
Distracción	1	92.45	92.45	57.78125	F)" style="vertical-align:middle;">0.0000011
Recompensa	1	110.45	110.45	69.03125	F)" style="vertical-align:middle;">0.0000003
Distracción: Recompensa	1	14.45	14.45	9.03125	F)" style="vertical-align:middle;">0.0083879
Residuales	16	25.60	1.60	NA	F)" style="vertical-align:middle;">NA

Un rápido vistazo a la columna Sum Sq muestra que hicimos nuestro trabajo a mano correctamente. ¡Felicidades a nosotros! Tenga en cuenta que estos no son los mismos resultados que tuvimos antes con el ANOVA de medidas repetidas. Se realizó un diseño entre sujetos, por lo que no llegamos a dividir más el error SS en una parte debido a la variación del sujeto y una parte sobrante. También ganamos grados de libertad en el término de error. Resulta que con este conjunto específico de datos, encontramos valores p menores de 0.05 para todos los efectos (efectos principales y la interacción, que no fue menor a 0.05 usando los mismos datos, pero tratándolo como un diseño de medidas repetidas)