Evaluar expresiones algebraicas
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Resultados de aprendizaje
- Evaluar una expresión algebraica dados valores para las variables.
- Reconocer valores dados en un problema de palabras y evaluar una expresión usando estos valores.
Hay muchas fórmulas que se encuentran en una clase de estadística y se darán los valores de cada variable. Será su tarea evaluar cuidadosamente la expresión después de enchufar cada uno de los valores dados a la fórmula. Para tener éxito no debes apresurarte por el proceso y debes estar al tanto del orden de las operaciones y usar paréntesis cuando sea necesario.
Ejemplo\(\PageIndex{1}\)
Supongamos que la ecuación de la línea de regresión para el número de días a la semana\(x\),, una persona ejerce y el número de días,\(\hat y\), un año que una persona está enferma es:
\[\hat y=12.5\:-\:1.6x\nonumber \]
Usamos\(\hat y\) en lugar de\(y\) ya que esta es una predicción en lugar de una coordenada y de un valor de datos real. Usa esta línea de regresión para predecir el número de veces que una persona que hace ejercicio 4 días a la semana estará enferma este año.
Solución
El primer paso es siempre identificar la variable o variables que se dan. En este caso, tenemos 4 días de ejercicio a la semana, por lo que:
\[x=4\nonumber \]
A continuación, conectamos para obtener:
\[\hat y=12.5\:-\:1.6(4) = 6.1\nonumber \]
Ya que estamos prediciendo el número de días al año estando enfermos, es una buena idea redondear al número entero más cercano. Obtenemos que la mejor predicción para el número de días de enfermedad para una persona que hace ejercicio 4 días a la semana es que estará enferma 6 días este año.
Ejemplo\(\PageIndex{2}\)
Para una pregunta de sí/no, un tamaño de muestra se considera lo suficientemente grande como para usar una distribución Normal si
\(np>5\)y\(nq\:>5\)
donde\(n\) está el tamaño de la muestra,\(p\) es la proporción de respuestas Sí, y\(q\) es la proporción de No respuestas. Se realizó una encuesta a 59 adultos estadounidenses preguntándoles si hoy en día eran inseguros alimentarios. El 6.8% de ellos dijo que hoy en día son inseguros alimentarios. ¿El tamaño de la muestra fue lo suficientemente grande como para utilizar la distribución Normal?
Solución
Nuestra primera tarea es enumerar cada una de las variables necesarias. Empecemos con\(n\), el tamaño de la muestra. Se nos da que se encuestó a 59 estadounidenses. Así
\[n=59\nonumber \]
A continuación, encontraremos\(p\), la proporción de respuestas Sí. Se nos da que 6.8% dijo Sí. Dado que esto es un porcentaje y no una proporción, debemos convertir el porcentaje a una proporción moviendo el decimal dos lugares a la derecha. Ayuda a colocar un 0 a la izquierda del 6, para que el punto decimal tenga un lugar al que ir. Un error común es apresurarse a través de esto y anotar erróneamente 0.68. En cambio, la proporción es:
\[p=0.068\nonumber \]
Nuestra siguiente tarea es encontrar\(q\), la proporción de Sin respuestas. Para una pregunta de Sí/No, la proporción de respuestas Sí y la proporción de No respuestas siempre deben sumar 1. Así:
\[q=1-0.068\:=\:0.932\nonumber \]
Ahora estamos listos para enchufar las dos desigualdades:
\[np=59\times0.068=4.012\nonumber \]
y
\[nq=59\times0.932=54.988\nonumber \]
Aunque\(nq\:=\:54.988>5\), tenemos\(np\:=\:4.012<5\), por lo que el tamaño de la muestra no fue lo suficientemente grande como para usar la distribución Normal.
Ejemplo\(\PageIndex{3}\)
Para un estudio cuantitativo, el tamaño de la muestra\(n\),, necesario para producir un intervalo de confianza con un margen de error no superior a\(\pm E\), es
\[n=\left(\frac{z\sigma}{E}\right)^2\nonumber \]
donde\(z\) es un valor que se determina a partir del nivel de confianza y\(\sigma\) es la desviación estándar de la población. Quieres realizar una encuesta para estimar la población cantidad media de años que lleva a los psicólogos llegar a la universidad y requieres un margen de error de no más de\(\pm0.1\) años. Supongamos que sabe que la desviación estándar poblacional es de 1.3 años. Si quieres un intervalo de confianza del 95% que venga con un\(z = 1.96\), al menos ¿a cuántos psicólogos debes encuestar? Redondee su respuesta.
Solución
Comenzamos identificando los valores dados para cada variable. Como queremos un margen de error de no más de\(\pm0.1\), tenemos:
\[E\:=\:0.1\nonumber \]
Nos dicen que el estándar poblacional es 1.3, por lo que:
\[\sigma=1.3\nonumber \]
También se nos da el valor de\(z\):
\[z=1.96\nonumber \]
Ahora pon esto en la fórmula para obtener:
\[n=\left(\frac{1.96\times1.3}{0.1}\right)^2\nonumber \]
Ponemos esto en una calculadora o computadora para obtener:
\[\left(1.96\times1.3\div0.1\right)^2=649.2304\nonumber \]
Redondeamos y podemos concluir que necesitamos encuestar a 650 psicólogos.
Ejemplo\(\PageIndex{4}\)
Con base en el Teorema del Límite Central, la desviación estándar de la distribución muestral cuando\(n\) se toman muestras de tamaño de una población con desviación estándar\(\sigma\),, viene dada por:
\[\sigma_\bar x=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\nonumber \]
Si la desviación estándar poblacional para el número de clientes que ingresan a un restaurante de comida rápida es de 12, ¿cuál es la desviación estándar de la distribución de muestreo para muestras de talla 35? Redondee su respuesta a dos decimales.
Solución
Primero identificamos cada una de las variables dadas. Dado que la desviación estándar poblacional fue de 12, tenemos:
\[\sigma=12\nonumber \]
Se nos dice que el tamaño de la muestra es 35, por lo que:
\[n=35\nonumber \]
Ahora ponemos estos números en la fórmula para la desviación estándar de la distribución de muestreo para obtener:
\[\sigma_\bar x=\frac{12}{\sqrt{35}}\nonumber \]
Ya estamos listos para poner esto en nuestra calculadora o computadora. Ponemos en:
\[\sigma_x=\frac{12}{\sqrt{35}}=12\div(35^\wedge 0.5) = 2.02837\nonumber \]
Redondeado a dos decimales, podemos decir que la desviación estándar de la distribución muestral es 2.03.
Ejemplo\(\PageIndex{5}\): Z score
La puntuación z para una media de muestra dada\(\bar x\) para una distribución muestral con media poblacional\(\mu \)\(\sigma \), desviación estándar poblacional y tamaño de la muestra\(n\) viene dada por:
\[z=\frac{\bar x-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\nonumber \]
Un científico ambiental recopiló datos sobre la cantidad de refugio glaciar. Ella midió 45 glaciares. El retroceso medio poblacional es de 22 metros y la desviación estándar de la población es de 16 metros. La media muestral para sus datos fue de 27 metros y la desviación estándar de la muestra para sus datos fue de 18 metros. ¿Cuál fue el puntaje z?
Solución
Primero identificamos cada una de las variables dadas. Dado que la media muestral fue de 27, tenemos:
\[\bar x = 27\nonumber \]
Nos dicen que la media poblacional es de 22 metros, por lo que:
\[\mu=22\nonumber \]
También se nos da que la desviación estándar poblacional es de 16 metros, de ahí:
\[\sigma=16\nonumber \]
Por último, como ella midió 45 glaciares, tenemos:
\[n=45\nonumber \]
Ahora ponemos los números en la fórmula para que el puntaje z obtenga:
\[z=\frac{27-22}{\frac{16}{\sqrt{45}}}\nonumber \]
Ya estamos listos para poner esto en nuestra calculadora o computadora. Debemos prestar atención al orden de las operaciones y poner paréntesis alrededor del numerador, ya que la resta ocurre para esta expresión antes de la división. También hay que poner paréntesis alrededor del denominador. Ponemos en:
\[z=\left(27-22\right)\div\left(16\div\sqrt{45}\right)=2.0963\nonumber \]
Ejercicio
Quieres llegar a un intervalo de confianza del 90% para la proporción de personas en tu comunidad que son obesas y requieren un margen de error de no más de\(\pm3\%\). Según el Journal of the American Medical Association (JAMA) 34% de todos los estadounidenses son obesos. La ecuación para encontrar el tamaño de la muestra\(n\),, necesario para llegar a un intervalo de confianza es:
\(n=p\left(1-p\right)\left(\frac{z}{E}\right)^2\)
donde\(p\) se encuentra la estimación preliminar para la proporción poblacional. Con base en cálculos,\(z=1.645\). ¿A cuántas personas en tu comunidad debes encuestar?