Resolver ecuaciones con raíces
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Resultados de aprendizaje
- Resuelve ecuaciones que incluyen raíces cuadradas.
Las raíces cuadradas ocurren con frecuencia en un curso de estadística, especialmente cuando se trata de desviaciones estándar y tamaños de muestra. En esta sección vamos a aprender a resolver para una variable cuando esa variable se encuentra bajo el signo de raíz cuadrada. Lo clave para recordar es que el cuadrado de una raíz cuadrada es lo que hay dentro. En otras palabras, al cuadrar una raíz cuadrada se cancela la raíz cuadrada.
Ejemplo\(\PageIndex{1}\)
Resuelve la siguiente ecuación para\(x\).
\[2+\sqrt{x-3}\:=\:6 \nonumber \]
Solución
Lo que hace que esto sea un reto es la raíz cuadrada. La estrategia para resolver es aislar la raíz cuadrada en el lado izquierdo de la ecuación y luego cuadrar ambos lados. Primero resta 2 de ambos lados:
\[\sqrt{x-3}=4 \nonumber \]
Ahora que la raíz cuadrada está aislada, podemos cuadrar ambos lados de la ecuación:
\[\left(\sqrt{x-3}\right)^2=4^2 \nonumber \]
Dado que el cuadrado y la raíz cuadrada cancelan obtenemos:
\[x-3=16 \nonumber \]
Finalmente agrega 3 a ambos lados para llegar a:
\[x=19 \nonumber \]
Siempre es una buena idea revisar tu trabajo. Hacemos esto volviendo a enchufar la respuesta y ver si funciona. Nos enchufamos\(x=19\) para obtener
\[ \begin{align*}2+\sqrt{19-3} &=2+\sqrt{16} \\[4pt] &=2+4 \\[4pt] &= 6 \end{align*}\]
Sí, la solución es correcta.
Ejemplo\(\PageIndex{2}\)
La desviación estándar,\(\sigma_\hat p\), de la distribución muestral para una proporción sigue la fórmula:
\[\sigma_\hat p=\sqrt{\frac{p\left(1-p\right)}{n}} \nonumber \]
Dónde\(p\) está la proporción poblacional y\(n\) es el tamaño de la muestra. Si la proporción poblacional es 0.24 y necesitas que la desviación estándar de la distribución muestral sea 0.03, ¿qué tan grande necesitas una muestra?
Solución
Se nos da eso\(p=0.24\) y\(\sigma_{\hat p } = 0.03 \)
Enchufe para obtener:
\[0.03=\sqrt{\frac{0.24\left(1-0.24\right)}{n}} \nonumber \]
Queremos resolver para\(n\), entonces queremos\(n\) en el lado izquierdo de la ecuación. Simplemente cambie para obtener:
\[\sqrt{\frac{0.24\left(1-0.24\right)}{n}}\:=\:0.03 \nonumber \]
A continuación, restamos:
\[1-0.24\:=\:0.76 \nonumber \]
Y ellos se multiplican:
\[0.24\left(0.76\right)=0.1824 \nonumber \]
Esto nos da
\[\sqrt{\frac{0.1824}{n}}\:=\:0.03 \nonumber \]
Para deshacerse de la raíz cuadrada, cuadrar ambos lados:
\[\left(\sqrt{\frac{0.1824}{n}}\right)^2\:=\:0.03^2 \nonumber \]
El cuadrado cancela la raíz cuadrada, y al cuadrar el lado derecho da:
\[\frac{0.1824}{n}\:=\:0.0009 \nonumber \]
Podemos escribir:
\[\frac{0.1824}{n}\:=\frac{\:0.0009}{1} \nonumber \]
Cruza multiplicar para obtener:
\[0.0009\:n\:=\:0.1824 \nonumber \]
Finalmente, divida ambos lados por 0.0009:
\[n\:=\frac{\:0.1824}{0.0009}=202.66667 \nonumber \]
Redondear y podemos concluir que necesitamos un tamaño de muestra de 203 para obtener un error estándar que es 0.03. Podemos verificar si esto es razonable enchufándonos de\(n = 203\) nuevo a la ecuación. Utilizamos una calculadora para obtener:
\[\sqrt{\frac{0.24\left(1-0.24\right)}{203}}\:=\:0.029975 \nonumber \]
Dado que esto es muy cercano al 0.03, la respuesta es razonable.
Ejercicio
La desviación estándar,\(\sigma_\bar x\), de la distribución muestral para una media sigue la fórmula:
\[\sigma_\bar x=\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \nonumber \]
Dónde\(\sigma \) está la desviación estándar de la población y\(n\) es el tamaño de la muestra. Si la desviación estándar poblacional es 3.8 y necesitas que la desviación estándar de la distribución muestral sea 0.5, ¿qué tan grande necesitas una muestra?