Uso de la notación de suma
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Resultados de aprendizaje
- Evaluar una expresión que incluya notación de suma.
- Aplicar notación de suma para calcular estadísticas.
Esta notación se llama notación de suma y aparece como:
\[\sum_{i=1}^{n}a_i \nonumber \]
En esta notación, el\(a_i\) es una expresión que contiene el índice\(i\) y se enchufa 1 y luego 2 y luego 3 hasta el último número\(n\) y luego se suman todos los resultados.
Ejemplo\(\PageIndex{1}\)
Calcular
\[\sum_{i=1}^{4}3i\nonumber \]
Solución
Primero note que i = 1, luego 2, luego 3 y finalmente 4. Se supone que debemos multiplicar cada uno de estos por 3 y sumarlos:
\[ \begin{align*} \sum_{i=1}^{4}3i &= 3\left(1\right)+3\left(2\right)+3\left(3\right)+3\left(4\right) \\[4pt] &=3+6+9+12\:=\:30 \end{align*}\nonumber \]
Ejemplo\(\PageIndex{2}\)
La fórmula para la media de la muestra, a veces llamada promedio, es
\[\bar x\:=\:\frac{\sum_{i-1}^nx_i}{n}\nonumber \]
Se realizó una encuesta preguntando a 8 adultos mayores cuántas parejas sexuales han tenido en su vida. Sus respuestas fueron {4,12,1,3,4,9,24,7}. Usa la fórmula para encontrar la media de la muestra.
Solución
Observe que el numerador de la fórmula simplemente nos dice que sumemos los números. Calcular el numerador primero da:
\[\sum_{i=1}^8x_i=4+12+1+3+4+9+24+7\:=64\nonumber \]
Ahora que tenemos el numerador calculado, la fórmula nos dice que dividamos por n, que es apenas 8. Contamos con:
\[\bar x\:=\frac{\:64}{8}=8\nonumber \]
Así, el número medio muestral de parejas sexuales que este grupo tuvo en su vida es de 8.
Ejemplo\(\PageIndex{3}\)
El siguiente estadístico más importante es la desviación estándar. La fórmula para la desviación estándar de la muestra es:
\[s=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n\left(x_i-\bar x\right)^2}{n-1}}\nonumber \]
Consideremos los datos en el ejemplo anterior. Encuentra la desviación estándar.
Solución
La fórmula es bastante complicada, pero si la abordamos una pieza a la vez usando el orden de las operaciones correctamente, podemos tener éxito en encontrar la desviación estándar de la muestra para los datos. Observe que hay paréntesis, por lo que con base en el orden de las operaciones, debemos hacer primero la resta dentro de los paréntesis. Como todo esto es parte de la suma, tenemos ocho restas diferentes que hacer. De nuestros cálculos en el ejemplo anterior, la media muestral fue\(\bar x = 8\). Calculamos las 8 restaciones:
\[4-\:8\:=\:-4,\:\:12-8=4,\:1-8=-7,\:3-8=-5,\:\nonumber \]
\[\:4-8=-4,\:9-8=1,\:24-8=16,\:7-8=-1\nonumber \]
La siguiente aritmética a hacer es cuadrar cada una de las diferencias para obtener:
\[\left(-4\right)^2=16,\:\:\left(4\right)^2=16,\left(-7\right)^2=49,\:\left(-5\right)^2=25,\:\nonumber \]
\[\left(-4\right)^2=16,\:1^2=1,\:16^2=256,\:(-1)^2=1\nonumber \]
Ahora tenemos todas las entradas en la suma, así que las sumamos todas:
\[16+16+49+25+16+1+256+1=380\nonumber \]
Ahora podemos escribir
\[s=\sqrt{\frac{380}{8-1}}=\sqrt{\frac{380}{7}}\nonumber \]
Podemos poner esto en la calculadora o computadora para obtener:
\[s=\sqrt{\frac{380}{7}}=\:7.3679\nonumber \]
Ejercicio: valor esperado
El valor esperado, EV, se define por la fórmula
\[EV=\sum_{i=1}^nx_i\:P\left(x_i\right)\nonumber \]
Dónde\(x_i\) están los posibles resultados y\(P\left(x_i\right)\) son las probabilidades de que ocurran los resultados. Supongamos que la siguiente tabla muestra el número de huevos en una nidada de águila calva y las probabilidades de que ese número ocurra.
| x | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| P (x) | 0.2 | 0.4 | 0.3 | 0.1 |
Encuentra el valor esperado.