Realizar Aritmética de Números Firmados
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Resultados de aprendizaje
- Agregar números firmados.
- Restar números firmados.
- Multiplicar números firmados.
- Dividir números firmados.
A pesar de que los números negativos no parecen tan comunes en el mundo real, sí surgen a menudo al hacer comparaciones. Por ejemplo, una pregunta común es cuánto más grande es un número que otro, lo que implica restar. En estadística no conocemos los medios hasta que recogemos los datos y hacemos los cálculos. Esto a menudo resulta en restar un número mayor de un número menor, lo que arroja un número negativo. Debido a esto y por muchas otras razones, necesitamos poder realizar aritmética tanto en números positivos como negativos.
Adición de números firmados
Supondremos que está muy familiarizado con sumar números positivos, pero cuando hay números negativos involucrados, hay algunas reglas a seguir:
- Al sumar dos números negativos, ignore los signos negativos, agregue los números positivos y luego haga que el resultado sea negativo.
- Al sumar dos números de tal manera que uno sea positivo y el otro negativo, ignore el signo, restar el menor del mayor. Si el mayor de los números positivos fue originalmente negativo, entonces haga que el resultado sea negativo. De lo contrario mantener el resultado positivo.
Ejemplo\(\PageIndex{1}\)
Agregar:\[-4+\left(-3\right) \nonumber \]
Solución
Primero ignoramos los signos y sumamos los números positivos.
\[4+3=7 \nonumber \]
A continuación hacemos que el resultado sea negativo.
\[-4+\left(-3\right)=-7 \nonumber \]
Ejemplo\(\PageIndex{2}\)
Agregar:\[-2+5 \nonumber \]
Solución
Como uno de los números es positivo y el otro negativo, restamos:
\[5-2=3 \nonumber \]
De los dos números, 2 y 5, 5 es el mayor y comenzó positivo. De ahí que mantengamos el resultado positivo:
\[-2+5=3 \nonumber \]
Restar números
La resta aparece a menudo cuando queremos encontrar el ancho de un intervalo en las estadísticas. Aquí están los casos para restar\(a-b\):
- Si\(a\ge b\ge0\), entonces esto es solo una resta ordinaria.
- Si\(b\ge a\ge0\), entonces encuentra\(b-a\) y haz que el resultado sea negativo.
- Si\(a<0,\:b\ge0\), entonces hacer ambos positivos, sumar los dos números positivos y hacer que el resultado sea negativo.
- Si\(b<0\) entonces usas la regla de que restar un número negativo es lo mismo que sumar el número positivo.
Ejemplo\(\PageIndex{3}\)
Evaluar\(5-9\)
Solución
Dado que 9 es mayor que 5, restamos:
\[9-5\:=\:4 \nonumber \]
A continuación, hacemos que el resultado sea negativo para obtener:
\[5-9=-4 \nonumber \]
Ejemplo\(\PageIndex{4}\)
Evaluar\(-9-4\)
Solución
Estamos en el caso\(a<0,\:b\ge0\). Por lo tanto, primero hacemos ambos positivos y sumamos los números positivos.
\[9+4\:=\:13 \nonumber \]
El paso final es hacer que la respuesta sea negativa para obtener
\[-9-4=-13 \nonumber \]
Ejemplo\(\PageIndex{5}\): Uniform distributions
En estadística, llamamos a una distribución Uniforme si un evento es tan probable que esté en un intervalo dado dentro de los límites como cualquier otro intervalo dentro de los límites siempre que los intervalos sean ambos del mismo ancho. Encontrar el ancho de un intervalo dado suele ser el primer paso para resolver una pregunta que involucra distribuciones uniformes. Supongamos que la temperatura en un día de invierno tiene una distribución uniforme en [-8,4]. Encuentra el ancho de este intervalo
Solución
Para encontrar el ancho de un intervalo, restamos el punto final izquierdo del extremo derecho:
\[4\:-\:\left(-8\right) \nonumber \]
Como estamos restando un número negativo, los signos “-” se convierten en suma:
\[4-\left(-8\right)\:=\:4+8=12 \nonumber \]
Por lo tanto, el ancho del intervalo es 12.
Multiplicar y dividir números firmados
Cuando tenemos un problema de multiplicación o división, solo recordamos que dos negativos hacen un positivo. Entonces, si hay un número par de números negativos que se multiplican o dividen, el resultado es negativo. Si hay un número impar de números negativos que se multiplican o dividen, el resultado es positivo.
Ejemplo\(\PageIndex{6}\)
Realizar la aritmética:
\[\frac{\left(-6\right)\left(-10\right)}{\left(-4\right)\left(-5\right)} \nonumber \]
Solución
Primero, simplemente ignore todos los signos negativos y multiplique el numerador y el denominador por separado:
\[\frac{\left(6\right)\left(10\right)}{\left(4\right)\left(5\right)}=\frac{60}{20} \nonumber \]
Ahora divide:
\[\frac{60}{20}=\frac{6}{2}=3 \nonumber \]
Por último, observe que hay cuatro números negativos en el problema original de multiplicación y división. Cuatro es un número par, por lo que la respuesta es positiva:
\[\frac{\left(-6\right)\left(-10\right)}{\left(-4\right)\left(-5\right)}=3 \nonumber \]
Ejemplo\(\PageIndex{7}\)
Se encontró que un intervalo de confianza para la diferencia media poblacional en libros leídos por año por hombres y mujeres fue de [-4,1]. Encuentra el punto medio de este intervalo.
Solución
Primero recordamos que para encontrar el punto medio de dos números, añadimos luego y luego dividimos por 2. De ahí que nuestro primer paso sea sumar -4 y 1. Como 1 es positivo y -4 es negativo, primero restamos los dos números:
\[4-1=3 \nonumber \]
De los dos números, 4 y 1, 4 es el mayor y comenzó negativo. De ahí que cambiemos el signo a negativo:
\[-4+1=-3 \nonumber \]
El paso final para encontrar el punto medio es dividir por 2. Primero los dividimos como números positivos:
\[\dfrac{3}{2}=1.5 \nonumber \]
Dado que el cociente original tiene un solo número negativo (un número impar de números negativos), la respuesta es negativa. Así el punto medio de -4 y 1 es -1.5.
Ejercicio
La diferencia entre el valor observado y el valor esperado en regresión lineal se denomina residual. Supongamos que los tres valores observados son: -4, 2 y 5. Los valores esperados son -3, 7 y -1. Primero encuentra los residuos y luego encuentra la suma de los residuos.