El complemento de un conjunto
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Resultados de aprendizaje
- Determinar el complemento de un conjunto.
- Escribe el complemento de un conjunto usando notación de conjunto.
Vimos en la sección “Representar una desigualdad como intervalo en una línea numérica” cómo graficar el complemento para un conjunto definido por una desigualdad. Los complementos aparecen muy a menudo en las estadísticas, por lo que vale la pena volver a visitarlo, pero en lugar de gráficamente nos centraremos en la notación de conjuntos. Recordemos que el complemento de un conjunto es todo lo que no está en ese conjunto. A veces es mucho más fácil encontrar la probabilidad de un complemento que del conjunto original, y existe una relación fácil entre la probabilidad de que ocurra un evento y la probabilidad de que ocurra el complemento de ese evento.
\[P\left(A\right)=1-P\left(not\:A\right) \nonumber \]
Ejemplo\(\PageIndex{1}\)
Encuentra el complemento del conjunto:
\[A=\left\{x\mid x<4\right\} \nonumber \]
Solución
El complemento del conjunto de todos los números que son menores a 4 es el conjunto de todos los números que son al menos tan grandes como 4. Observe que el número 4 no está en el conjunto A, ya que la desigualdad es estricta (no tiene un “=”). Por lo tanto el número 4 está en el complemento del conjunto A. En notación de conjuntos:
\[A^c=\left\{x\mid x\ge4\right\} \nonumber \]
Ejemplo\(\PageIndex{2}\)
A la hora de calcular probabilidades el complemento es a veces mucho más fácil que el conjunto original. Por ejemplo supongamos que rozas un dado 6 veces y quieres encontrar la probabilidad de que el número 3 aparezca al menos una vez. Encuentra el complemento de este evento.
Solución
Primero tenga en cuenta que el evento de al menos una vez significa que podría haber uno 3, dos 3's, tres 3's, cuatro 3's, cinco 3's, o seis 3's Resulta que esto sería una carga lidiar con cada una de estas posibilidades. Sin embargo el complemento es bastante fácil. El complemento de conseguir al menos un 3 es que vayas no 3's.
Ejemplo\(\PageIndex{3}\)
Supongamos que queremos encontrar la probabilidad de que al menos 20 personas de la clase hayan hecho su tarea. Encuentra el complemento de este evento.
Solución
A veces es más fácil enumerar los resultados cercanos y luego determinar los resultados que satisfacen el evento. Por último, para encontrar el complemento, seleccionas el resto. Números de la primera lista cerca de 20:
\[...,\:17,\:18,\:19,\:20,\:21,\:22,\:... \nonumber \]
Ahora bien, los que son al menos 20 son todos los que incluyen 20 y a la derecha de 20:
\[20,\:21,\:22,\:... \nonumber \]
Estos son los grandes números. El complemento incluye todos los números pequeños.
\[...,\:17,\:18,\:19 \nonumber \]
Podemos escribir esto en notación de conjunto como:
\[\left\{x\mid x\le19\right\} \nonumber \]o equivalentemente\[\left\{x\mid x < 20\right\} \nonumber \]
Ejemplo\(\PageIndex{4}\)
Supongamos que un número es escogido al azar de los números enteros del 1 al 10. Que A sea el evento de que un número sea a la vez par y menor que 8. Encuentra el complemento de A.
Solución
En primer lugar, el conjunto de números que son a la vez pares y menores de 8 es:
\[A\:=\:\left\{2,\:4,\:6\right\} \nonumber \]
El complemento de este conjunto son todos los números del 1 al 10 que no están en A:
\[A^c=\left\{1,\:3,\:5,\:7,\:8,\:9,\:10\right\} \nonumber \]
Ejercicio
Supongamos que se rodan dos dados de seis caras. Que la A sea el evento de que o bien el primer dado sea par o la suma de los dados sea mayor a 5 o ambos hayan ocurrido. Encuentra el complemento de A.