5.12: Tarifas Base

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Objetivos de aprendizaje

Calcular la probabilidad de una condición a partir de aciertos, falsas alarmas y tasas base usando un diagrama de árbol
Calcular la probabilidad de una condición a partir de aciertos, falsas alarmas y tasas base usando el Teorema de Bayes

Supongamos que en su examen físico regular da positivo en la prueba de Enfermedad\(X\). Aunque la enfermedad solo\(X\) tiene síntomas leves, te preocupa y pregúntale a tu médico sobre la precisión de la prueba. Resulta que la prueba es\(95\%\) precisa. Parecería que la probabilidad de que tengas Enfermedad\(X\) es por lo tanto\(0.95\). No obstante, la situación no es tan sencilla.

Por un lado, se necesita más información sobre la precisión de la prueba porque hay dos tipos de errores que la prueba puede cometer: errores y falsos positivos. Si realmente tienes Enfermedad\(X\) y la prueba no la detectó, eso sería una falta. Si no tuviste Enfermedad\(X\) y la prueba indicó que sí, eso sería un falso positivo. Las tasas de faltas y falsos positivos no son necesariamente las mismas. Por ejemplo, supongamos que la prueba indica con precisión la enfermedad en\(99\%\) de las personas que la padecen y con precisión indica ninguna enfermedad en\(91\%\) de las personas que no la tienen. En otras palabras, la prueba tiene una tasa de faltas de\(0.01\) y una tasa de falsos positivos de\(0.09\). Esto podría llevarte a revisar tu juicio y concluir que tu probabilidad de tener la enfermedad es\(0.91\). Esto no sería correcto ya que la probabilidad depende de la proporción de personas que tienen la enfermedad. Esta proporción se llama la tasa base.

Supongamos que la Enfermedad\(X\) es una enfermedad rara, y solo\(2\%\) de las personas en tu situación la tienen. ¿Cómo afecta eso a la probabilidad de que la tengas? O, de manera más general, ¿cuál es la probabilidad de que alguien que da positivo tenga realmente la enfermedad? Consideremos qué pasaría si se hicieran pruebas a un millón de personas. De estos un millón de personas,\(2\%\) o la\(20,000\) gente tendría la enfermedad. De estos\(20,000\) con la enfermedad, la prueba la detectaría con precisión en\(99\%\) de ellos. Esto significa que\(19,800\) los casos serían identificados con precisión. Ahora consideremos el\(98\%\) de un millón de personas (\(980,000\)) que no tienen la enfermedad. Dado que la tasa de falsos positivos es\(0.09\),\(9\%\) de estas\(980,000\) personas darán positivo por la enfermedad. Se trata de un total de\(88,200\) personas diagnosticadas incorrectamente.

En resumen,\(19,800\) las personas que dieron positivo en realidad tendrían la enfermedad y\(88,200\) las personas que dieron positivo no tendrían la enfermedad. Esto quiere decir que de todos los que dieron positivo, solo

\[\dfrac{19,800}{19,800 + 88,200} = 0.1833\]

de ellos en realidad tendrían la enfermedad. Entonces la probabilidad de que tengas la enfermedad no es\(0.95\), o\(0.91\), sino solo\(0.1833\).

Estos resultados se resumen en la Tabla\(\PageIndex{1}\). El número de personas diagnosticadas con la enfermedad se muestra en rojo. De las un millón de personas evaluadas, la prueba fue correcta para\(891,800\) de aquellos sin la enfermedad y para\(19,800\) con la enfermedad; la prueba fue correcta\(91\%\) de la época. Sin embargo, si miras solo a las personas que dan positivo (se muestra en rojo), solo\(19,800 (0.1833)\) de las\(88,200 + 19,800 = 108,000\) pruebas positivas realmente tienen la enfermedad.

Tabla\(\PageIndex{1}\): Diagnóstico de la enfermedad\(X\)
Condición Verdadera
Sin enfermedad 980,000		Enfermedad 20,000
Resultado de la prueba		Resultado de la prueba
Positivo 88,200	Negativo 891,800	Positivo 19,800	Negativo 200

Teorema de Bayes

Este mismo resultado se puede obtener utilizando el teorema de Bayes. El teorema de Bayes considera tanto la probabilidad previa de un evento como el valor diagnóstico de una prueba para determinar la probabilidad posterior del evento. Para el ejemplo actual, el evento es que tienes Enfermedad\(X\). Llamemos a este Evento\(D\). Dado que solo\(2\%\) de las personas en tu situación tienen Enfermedad\(X\), la probabilidad previa de Evento\(D\) es\(0.02\). O, de manera más formal,\(P(D) = 0.02\). Si\(P(D')\) representa la probabilidad de que Evento\(D\) sea falso, entonces\(P(D') = 1 - P(D) = 0.98\).

Para definir el valor diagnóstico de la prueba, necesitamos definir otro evento: que dé positivo para Enfermedad\(X\). Llamemos a este Evento\(T\). El valor diagnóstico de la prueba depende de la probabilidad de que dé positivo dado que realmente tiene la enfermedad, escrita como\(P(T|D)\), y la probabilidad de que dé positivo dado que no tiene la enfermedad, escrito como\(P(T|D')\). El teorema de Bayes que se muestra a continuación le permite calcular\(P(D|T)\), la probabilidad de que tenga la enfermedad dado que da positivo para ella.

\[P(D|T)=\frac{P(T|D)P(D)}{P(T|D)P(D)+P(T|D')P(D')}\]

Los diversos términos son:

\(P(T|D) = 0.99\)
\(P(T|D') = 0.09\)
\(P(D) = 0.02\)
\(P(D') = 0.98\)

Por lo tanto,

\[P(D|T)=\frac{(0.99)(0.02)}{(0.99)(0.02)+(0.09)(0.98)}=0.1833\]

que es el mismo valor calculado anteriormente.