6.7: Distribución geométrica

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Considere estas dos variables aleatorias, que ambas comienzan con ensayos repetidos de Bernoulli:

Voltear una moneda justa 10 veces. Let\(X\) = el número de cabezas.
Voltear una moneda justa repetidamente hasta obtener una cabeza. Let\(X\) = el número de volteretas totales.

La primera variable aleatoria es una variable aleatoria binomial donde\(n =10\) y\(p=0.5\). Los valores posibles de\(X\) son {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}

La segunda variable aleatoria es inusual ya que hay un número infinito de posibilidades para\(X\). El número posible de volteretas hasta obtener una cabeza son {1, 2, 3,...}. A esto se le llama la distribución geométrica y sus características se muestran en la caja.

Distribución geométrica de probabilidad (parámetro=\(p\))

Dos posibles resultados (Éxito/Fracaso) o (Sí/No)

\(p = P\)(sí/éxito) en un solo juicio

\(q = 1‐p = P\)(no/fracaso) en un solo juicio

\(X\)= Número de ensayos independientes hasta el primer éxito. (1, 2, 3,...)

\(\mu=\dfrac{1}{p}\)

\(\sigma^{2}=\dfrac{1-p}{p^{2}}\)

\(\sigma=\sqrt{\dfrac{1-p}{p^{2}}}\)

\(P(x)=p(1-p)^{x-1}\)

Ejemplo: Tiro libre

Volvamos de nuevo al ejemplo de Draymond Green, un tirador de tiros libres del 70%. Ahora vamos\(X\) = el número de tiros libres que lleva Draymond hasta que hace un remate. \(X\)sigue una distribución geométrica.

Solución

El número esperado de disparos:\(\mu=\dfrac{1}{p}=1.43\) disparos

La varianza:\(\sigma^{2}=\dfrac{1-0.7}{0.7^{2}}=0.612\)

La probabilidad de que Draymond Green haga exactamente 3 tiros para hacer un tiro libre:

\(P(X=3)=0.7(0.3)^{2}=0.063\)

La probabilidad de que Draymond Green realice 3 o más tiros para hacer un tiro libre:

Ya que\(P(X \geq 3)=P(3)+P(4)+\ldots\) es una suma infinita, es mejor usar Regla de Complemento.

\(P(X \geq 3)=1-P(1)-P(2)=(0.7)(0.3)^{0}+(0.7)(0.3)^{1}=1-0.91=0.09\)