5.10: Distribución Multinomial

Última actualización
Guardar como PDF

Page ID: 152448

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

Objetivos de aprendizaje

Definir resultados multinomiales
Computar probabilidades usando la distribución multinomial

La distribución binomial permite calcular la probabilidad de obtener un número dado de resultados binarios. Por ejemplo, se puede utilizar para calcular la probabilidad de sacar\(6\) cabezas de los\(10\) volteos de monedas. El volteo de una moneda es un resultado binario porque solo tiene dos resultados posibles: cabeza y cola. La distribución multinomial puede ser utilizada para calcular las probabilidades en situaciones en las que hay más de dos posibles resultados.

Por ejemplo, supongamos que dos ajedrecistas habían jugado numerosas partidas y se determinó que la probabilidad de que el Jugador\(A\) ganara es\(0.40\), la probabilidad de que el Jugador\(B\) gane es\(0.35\), y la probabilidad de que el juego termine en empate es\(0.25\). La distribución multinomial se puede utilizar para responder preguntas como: “Si estos dos ajedrecistas\(A\) jugaran\(12\) partidas, ¿cuál es la probabilidad de que el Jugador gane\(7\) juegos, el Jugador\(B\) ganaría\(2\) juegos y los\(3\) juegos restantes serían sorteados?” La siguiente fórmula da la probabilidad de obtener un conjunto específico de resultados cuando hay tres posibles resultados para cada evento:

\[ p =\dfrac{n!}{n_1!n_2!n_3!} p_1^{n_1}p_2^{n_2}p_3^{n_3}\]

donde

\(p\)es la probabilidad,
\(n\)es el número total de eventos
\(n_1\)es el número de veces que\(1\) se produce el resultado,
\(n_2\)es el número de veces que\(2\) se produce el resultado,
\(n_3\)es el número de veces que\(3\) se produce el resultado,
\(p_1\)es la probabilidad de Resultado\(1\)
\(p_2\)es la probabilidad de resultado\(2\), y
\(p_3\)es la probabilidad de Resultado\(3\).

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Chess

Para el ejemplo de ajedrez discutido anteriormente:

\(n\)=\(12\) (se juegan\(12\) juegos),
\(n_1\)=\(7\) (número ganado por el Jugador\(A\)),
\(n_2\)=\(2\) (número ganado por el Jugador\(B\)),
\(n_3\)=\(3\) (el número dibujado),
\(p_1\)=\(0.40\) (probabilidad El jugador\(A\) gana)
\(p_2\)=\(0.35\) (probabilidad El jugador\(B\) gana)
\(p_3\)=\(0.25\) (probabilidad de empate)

\[ P= \dfrac{12!}{7!2!3!}\times 40^7\times 35^2 \times 25^3 = 0.0248\]

La fórmula para\(k\) los resultados es

\[ p =\dfrac{n!}{n_1!n_2!n_3!} p_1^{n_1}p_2^{n_2} \ldots p_k^{n_k}\]

Nótese que la distribución binomial es un caso especial de la distribución multinomial cuando\(k = 2\).