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# 9.8: Distribución de muestreo de p

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Objetivos de aprendizaje

• Anotar la relación entre la distribución muestral de p y la distribución normal

Supongamos que en una carrera electoral entre$$\text{Candidate A}$$ y$$\text{Candidate B}$$,$$0.60$$ de los electores prefieren$$\text{Candidate A}$$. Si se encuestara a una muestra aleatoria de$$10$$ votantes, es poco probable que exactamente$$60\%$$ de ellos ($$6$$) prefiriera$$\text{Candidate A}$$. Por casualidad la proporción en la muestra preferida$$\text{Candidate A}$$ podría ser fácilmente un poco menor$$0.60$$ o un poco mayor que$$0.60$$. La distribución muestral de$$p$$ es la distribución que resultaría si muestreara repetidamente a$$10$$ los votantes y determinara la proporción ($$p$$) que favoreció$$\text{Candidate A}$$.

La distribución muestral de$$p$$ es un caso especial de la distribución muestral de la media. En la tabla se$$\PageIndex{1}$$ muestra una hipotética muestra aleatoria de$$10$$ votantes. A los que prefieren$$\text{Candidate A}$$ se les dan puntuaciones de$$1$$ y a los que prefieren$$\text{Candidate B}$$ se les dan puntuaciones de$$0$$. Tenga en cuenta que siete de los electores prefieren$$\text{Candidate A}$$ por lo que la proporción muestral ($$p$$) es

$p = \frac{7}{10} = 0.70$

Como puede ver,$$p$$ es la media de los puntajes de$$10$$ preferencia.

Tabla$$\PageIndex{1}$$: Muestra de electores
Votante Preferencia
1 1
2 0
3 1
4 1
5 1
6 0
7 1
8 0
9 1
10 1

La distribución de$$p$$ está estrechamente relacionada con la distribución binomial. La distribución binomial es la distribución del número total de éxitos (favoreciendo$$\text{Candidate A}$$, por ejemplo) mientras que la distribución de$$p$$ es la distribución del número medio de éxitos. La media, por supuesto, es el total dividido por el tamaño de la muestra,$$N$$. Por lo tanto, la distribución muestral$$p$$ y la distribución binomial difieren en que$$p$$ es la media de las puntuaciones ($$0.70$$) y la distribución binomial está tratando con el número total de éxitos ($$7$$).

La distribución binomial tiene una media de

$\mu =N\pi$

Dividiendo por$$N$$ para ajustar por el hecho de que la distribución muestral de$$p$$ trata de medias en lugar de totales, encontramos que la media de la distribución muestral de$$p$$ es:

$\mu _p=\pi$

La desviación estándar de la distribución binomial es:

$\sqrt{N\pi(1-\pi )}$

Dividiendo por$$N$$ porque$$p$$ es una media no un total, encontramos el error estándar de$$p$$:

$\sigma _p=\frac{\sqrt{N\pi(1-\pi )}}{N}=\sqrt{\frac{\pi(1-\pi )}{N}}$

Volviendo al ejemplo elector,$$\pi =0.60$$ y$$N = 10$$. (No confundir$$\pi =0.60$$, la proporción poblacional y$$p = 0.70$$, la proporción muestral.) Por lo tanto, la media de la distribución muestral de$$p$$ es$$0.60$$. El error estándar es

$\sigma _p=\sqrt{\frac{0.60(1-0.60)}{10}}=0.155$

La distribución de muestreo de$$p$$ es una distribución discreta en lugar de una distribución continua. Por ejemplo, con un$$N$$ de$$10$$, es posible tener un$$p$$ de$$0.50$$ o un$$p$$ de$$0.60$$ pero no un$$p$$ de$$0.55$$.

La distribución de muestreo de$$p$$ se distribuye aproximadamente normalmente si$$N$$ es bastante grande y no$$\pi$$ está cerca de$$0$$ o$$1$$. Una regla general es que la aproximación es buena si ambas$$N\pi$$ y$$N(1-\pi )$$ son mayores que$$10$$. La distribución muestral para el ejemplo elector se muestra en la Figura$$\PageIndex{1}$$. Tenga en cuenta que aunque$$N(1-\pi )$$ sea solo$$4$$, la aproximación es bastante buena.

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