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Objetivos de aprendizaje

• Estimar la varianza a partir de una muestra de$$1$$ si se conoce la media poblacional
• Determinar por qué las desviaciones de la media de la muestra no son independientes
• Anotar la fórmula general para los grados de libertad en términos del número de valores y el número de parámetros estimados
• Calcular$$s^2$$

Algunas estimaciones se basan en más información que otras. Por ejemplo, una estimación de la varianza basada en un tamaño de muestra de$$100$$ se basa en más información que una estimación de la varianza basada en un tamaño de muestra de$$5$$. Los grados de libertad ($$df$$) de una estimación es el número de piezas de información independientes en las que se basa la estimación.

Como ejemplo, digamos que sabemos que la estatura media de los marcianos es$$6$$ y deseamos estimar la varianza de sus alturas. Tomamos muestras al azar de un marciano y encontramos que su altura es$$8$$. Recordemos que la varianza se define como la desviación cuadrática media de los valores de su media poblacional. Podemos calcular la desviación cuadrada de nuestro valor$$8$$ de la media poblacional de$$6$$ para encontrar una única desviación cuadrada de la media. Esta desviación cuadrada simple de la media,$$(8-6)^2 = 4$$, es una estimación de la desviación cuadrática media para todos los marcianos. Por lo tanto, con base en esta muestra de uno, estimaríamos que la varianza poblacional es$$4$$. Esta estimación se basa en una sola pieza de información y por lo tanto tiene$$1\; df$$. Si muestreamos otro marciano y obtuvimos una altura de$$5$$, entonces podríamos calcular una segunda estimación de la varianza,$$(5-6)^2 = 1$$. Entonces podríamos promediar nuestras dos estimaciones ($$4$$y$$1$$) para obtener una estimación de$$2.5$$. Dado que esta estimación se basa en dos piezas de información independientes, tiene dos grados de libertad. Las dos estimaciones son independientes porque se basan en dos marcianos seleccionados de manera independiente y aleatoria. Las estimaciones no serían independientes si después de muestrear a un marciano, decidimos elegir a su hermano como nuestro segundo marciano.

Como probablemente estés pensando, es bastante raro que sepamos la media poblacional cuando estamos estimando la varianza. En cambio, tenemos que estimar primero la media poblacional ($$\mu$$) con la media muestral ($$M$$). El proceso de estimación de la media afecta nuestros grados de libertad como se muestra a continuación.

Volviendo a nuestro problema de estimar la varianza en alturas marcianas, supongamos que no conocemos la media poblacional y por lo tanto tenemos que estimarla a partir de la muestra. Hemos muestreado a dos marcianos y encontramos que sus alturas son$$8$$ y$$5$$. Por lo tanto$$M$$, nuestra estimación de la media poblacional, es

$M = \frac{(8+5)}{2} = 6.5$

Ahora podemos calcular dos estimaciones de varianza:

• Estimar$$1 = (8-6.5)^2 = 2.25$$
• Estimar$$2 = (5-6.5)^2 = 2.25$$

Ahora para la pregunta clave: ¿Estas dos estimaciones son independientes? La respuesta es no porque cada altura contribuyó al cálculo de$$M$$. Desde la altura del primer marciano de$$8$$ influenciado$$M$$, también influyó en Estimar$$2$$. Si la primera altura hubiera sido, por ejemplo$$10$$, entonces$$M$$ habría sido$$7.5$$ y Estimar$$2$$ habría sido$$(5-7.5)^2 = 6.25$$ en lugar de$$2.25$$. El punto importante es que las dos estimaciones no son independientes y por lo tanto no tenemos dos grados de libertad. Otra forma de pensar sobre la no independencia es considerar que si supieras la media y una de las puntuaciones, conocerías la otra puntuación. Por ejemplo, si una puntuación es$$5$$ y la media es$$6.5$$, se puede calcular que el total de las dos puntuaciones es$$13$$ y por lo tanto que la otra puntuación debe ser$$13-5 = 8$$.

En general, los grados de libertad para una estimación son iguales al número de valores menos el número de parámetros estimados en ruta a la estimación en cuestión. En el ejemplo marciano, hay dos valores ($$8$$y$$5$$) y tuvimos que estimar un parámetro ($$\mu$$) en la forma de estimar el parámetro de interés ($$\sigma ^2$$). Por lo tanto, la estimación de varianza tiene$$2 - 1 = 1$$ grado de libertad. Si hubiéramos muestreado a$$12$$ marcianos, entonces nuestra estimación de varianza habría tenido$$11$$ grados de libertad. Por lo tanto, los grados de libertad de una estimación de varianza son iguales a$$N - 1$$, donde$$N$$ está el número de observaciones.

Recordemos de la sección sobre variabilidad que la fórmula para estimar la varianza en una muestra es:

$s^2 =\dfrac{\sum (X-M)^2}{N-1}$