Saltar al contenido principal

6.3: La Proporción de la Muestra

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$

$$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$

$$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$

$$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$$

$$\newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}}$$

$$\newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}}$$

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$$ $$\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$$ $$\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$$ $$\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$$ $$\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$$ $$\newcommand{\evec}{\mathbf e}$$ $$\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$$ $$\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$$ $$\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$$ $$\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$$ $$\newcommand{\svec}{\mathbf s}$$ $$\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$$ $$\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$$ $$\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$$ $$\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$$ $$\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$$ $$\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$$ $$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$$ $$\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$$ $$\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$$ $$\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$$ $$\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$$ $$\newcommand{\real}{\mathbb R}$$ $$\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$$ $$\newcommand{\bcal}{\cal B}$$ $$\newcommand{\ccal}{\cal C}$$ $$\newcommand{\scal}{\cal S}$$ $$\newcommand{\wcal}{\cal W}$$ $$\newcommand{\ecal}{\cal E}$$ $$\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$$ $$\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$$ $$\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$$ $$\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$$ $$\newcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\col}{\text{Col}}$$ $$\renewcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$$ $$\newcommand{\var}{\text{Var}}$$ $$\newcommand{\corr}{\text{corr}}$$ $$\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$$ $$\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$$ $$\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$$ $$\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$$ $$\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$$ $$\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$$ $$\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$$ $$\newcommand{\lt}{<}$$ $$\newcommand{\gt}{>}$$ $$\newcommand{\amp}{&}$$ $$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$$

Objetivos de aprendizaje

• Reconocer que la proporción muestral$$\hat{p}$$ es una variable aleatoria.
• Comprender el significado de las fórmulas para la media y desviación estándar de la proporción muestral.
• Conocer cuál$$\hat{p}$$ es la distribución muestral cuando el tamaño de la muestra es grande.

A menudo, el muestreo se realiza con el fin de estimar la proporción de una población que tiene una característica específica, como la proporción de todos los artículos que salen de una línea de montaje que están defectuosos o la proporción de todas las personas que ingresan a una tienda minorista que realizan una compra antes de salir. Se denota la proporción poblacional$$p$$ y se denota la proporción muestral$$\hat{p}$$. Así, si en realidad$$43\%$$ las personas que ingresan a una tienda hacen una compra antes de salir,

$p = 0.43 \nonumber$

si en una muestra de$$200$$ personas que ingresan a la tienda,$$78$$ realizar una compra,

$\hat{p}=\dfrac{78}{200}=0.39. \nonumber$

La proporción muestral es una variable aleatoria: varía de una muestra a otra de una manera que no se puede predecir con certeza. Visto como una variable aleatoria se escribirá$$\hat{P}$$. Tiene una media$$μ_{\hat{P}}$$ y una desviación estándar$$σ_{\hat{P}}$$. Aquí hay fórmulas para sus valores.

media y desviación estándar de la proporción muestral

Supongamos que$$n$$ se extraen muestras aleatorias de tamaño de una población en la que se encuentra la proporción con una característica de interés$$p$$. La media$$μ_{\hat{P}}$$ y desviación estándar$$σ_{\hat{P}}$$ de la proporción muestral$$\hat{P}$$ satisfacen

$μ_{\hat{P}}=p$

y

$σ_{\hat{P}}= \sqrt{\dfrac{pq}{n}}$

donde$$q=1−p$$.

El Teorema del Límite Central tiene un análogo para la proporción poblacional$$\hat{p}$$. Para ver cómo, imagina que cada elemento de la población que tiene la característica de interés está etiquetado con a$$1$$, y que todo elemento que no lo tiene está etiquetado con a$$0$$. Esto da una población numérica compuesta enteramente por ceros y unos. Claramente la proporción de la población con la característica especial es la proporción de la población numérica que son unos; en símbolos,

$p=\dfrac{\text{number of 1s}}{N}$

Pero claro que la suma de todos los ceros y unos es simplemente el número de unos, por lo que la media$$μ$$ de la población numérica es

$μ=\dfrac{ \sum x}{N}= \dfrac{\text{number of 1s}}{N}$

Así, la proporción poblacional$$p$$ es la misma que la media$$μ$$ de la población correspondiente de ceros y unos. De la misma manera la proporción muestral$$\hat{p}$$ es la misma que la media muestral$$\bar{x}$$. Así se aplica el Teorema del Límite Central a$$\hat{p}$$. Sin embargo, la condición de que la muestra sea grande es un poco más complicada que solo ser de tamaño al menos$$30$$.

La distribución muestral de la proporción muestral

Para muestras grandes, la proporción muestral se distribuye aproximadamente normalmente, con media$$μ_{\hat{P}}=p$$ y desviación estándar$$\sigma _{\hat{P}}=\sqrt{\frac{pq}{n}}$$.

Una muestra es grande si el intervalo$$\left [ p-3\sigma _{\hat{p}},\, p+3\sigma _{\hat{p}} \right ]$$ se encuentra completamente dentro del intervalo$$[0,1]$$.

En la práctica real no$$p$$ se conoce, de ahí que tampoco lo sea$$σ_{\hat{P}}$$. En ese caso para comprobar que la muestra es suficientemente grande sustituimos la cantidad conocida$$\hat{p}$$ por$$p$$. Esto significa verificar que el intervalo

$\left [ \hat{p}-3\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}},\, \hat{p}+3\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \right ]$

yace completamente dentro del intervalo$$[0,1]$$. Esto se ilustra en los ejemplos.

La figura$$\PageIndex{1}$$ muestra que cuando$$p = 0.1$$, una muestra de tamaño$$15$$ es demasiado pequeña pero una muestra de tamaño$$100$$ es aceptable.

La figura$$\PageIndex{2}$$ muestra que cuando$$p=0.5$$ una muestra de tamaño$$15$$ es aceptable.

Ejemplo$$\PageIndex{1}$$

Supongamos que en una población de electores de una determinada región$$38\%$$ están a favor de emisión particular de bonos. Se pregunta a novecientos votantes seleccionados al azar si favorecen la emisión de bonos.

1. Verificar que la proporción muestral$$\hat{p}$$ calculada a partir de muestras de tamaño$$900$$ cumpla con la condición de que su distribución muestral sea aproximadamente normal.
2. Encontrar la probabilidad de que la proporción muestral calculada a partir de una muestra de tamaño$$900$$ esté dentro de los puntos$$5$$ porcentuales de la verdadera proporción poblacional.

Solución:

1. La información que se da es esa$$p=0.38$$, de ahí$$q=1-p=0.62$$. Primero usamos las fórmulas para calcular la media y desviación estándar de$$\hat{p}$$:

$\mu _{\hat{p}}=p=0.38\; \text{and}\; \sigma _{\hat{P}}=\sqrt{\frac{pq}{n}}=\sqrt{\frac{(0.38)(0.62)}{900}}=0.01618 \nonumber$

Entonces$$3\sigma _{\hat{P}}=3(0.01618)=0.04854\approx 0.05$$ así

$\left [ \hat{p} - 3\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}},\, \hat{p}+3\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \right ]=[0.38-0.05,0.38+0.05]=[0.33,0.43] \nonumber$

que se encuentra totalmente dentro del intervalo$$[0,1]$$, por lo que es seguro asumir que$$\hat{p}$$ se distribuye aproximadamente normalmente.

1. Estar dentro de los puntos$$5$$ porcentuales de la verdadera proporción poblacional$$0.38$$ significa estar entre$$0.38-0.05=0.33$$ y$$0.38+0.05=0.43$$. Así

\begin{align*} P(0.33<\hat{P}<0.43) &= P\left ( \frac{0.33-\mu _{\hat{P}}}{\sigma _{\hat{P}}} <Z< \frac{0.43-\mu _{\hat{P}}}{\sigma _{\hat{P}}} \right )\\[4pt] &= P\left ( \frac{0.33-0.38}{0.01618} <Z< \frac{0.43-0.38}{0.01618}\right )\\[4pt] &= P(-3.09<Z<3.09)\\[4pt] &= P(3.09)-P(-3.09)\\[4pt] &= 0.9990-0.0010\\[4pt] &= 0.9980 \end{align*}

Ejemplo$$\PageIndex{2}$$

Un minorista en línea afirma que$$90\%$$ de todos los pedidos se envían dentro de$$12$$ las horas posteriores a su recepción. Un grupo de consumidores$$121$$ realizó pedidos de diferentes tamaños y a diferentes horas del día;$$102$$ los pedidos se enviaron en$$12$$ horas.

1. Compute la proporción de muestra de artículos enviados en cuestión de$$12$$ horas.
2. Confirmar que la muestra es lo suficientemente grande como para suponer que la proporción de la muestra se distribuye normalmente. Uso$$p=0.90$$, correspondiente a la suposición de que la reclamación del minorista es válida.
3. Suponiendo que la afirmación del minorista es cierta, encuentre la probabilidad de que una muestra de tamaño$$121$$ produzca una proporción de muestra tan baja como se observó en esta muestra.
4. Con base en la respuesta a la parte (c), sacar una conclusión sobre el reclamo del minorista.

Solución:

1. La proporción de muestra es el número$$x$$ de pedidos que se envían en$$12$$ horas dividido por el número$$n$$ de pedidos en la muestra:

$\hat{p} =\frac{x}{n}=\frac{102}{121}=0.84\nonumber$

1. Desde$$p=0.90$$,$$q=1-p=0.10$$, y$$n=121$$,

$\sigma _{\hat{P}}=\sqrt{\frac{(0.90)(0.10)}{121}}=0.0\overline{27}\nonumber$

de ahí

$\left [ p-3\sigma _{\hat{P}},\, p+3\sigma _{\hat{P}} \right ]=[0.90-0.08,0.90+0.08]=[0.82,0.98]\nonumber$

Porque

$[0.82,0.98]⊂[0,1]\nonumber$

es apropiado usar la distribución normal para computar probabilidades relacionadas con la proporción muestral$$\hat{P}$$.

1. Utilizando el valor$$\hat{P}$$ de la parte (a) y el cálculo en la parte (b),

\begin{align*} P(\hat{P}\leq 0.84) &= P\left ( Z\leq \frac{0.84-\mu _{\hat{P}}}{\sigma _{\hat{P}}} \right )\\[4pt] &= P\left ( Z\leq \frac{0.84-0.90}{0.0\overline{27}} \right )\\[4pt] &= P(Z\leq -2.20)\\[4pt] &= 0.0139 \end{align*}

1. El cálculo muestra que una muestra aleatoria de tamaño$$121$$ tiene sólo una$$1.4\%$$ probabilidad de producir una proporción muestral como la que se observó,$$\hat{p} =0.84$$, cuando se toma de una población en la que se encuentra la proporción real$$0.90$$. Esto es tan improbable que sea razonable concluir que el valor real de$$p$$ es menor que el$$90\%$$ reclamado.

Llave para llevar

• La proporción muestral es una variable aleatoria$$\hat{P}$$.
• Existen fórmulas para la media$$μ_{\hat{P}}$$ y desviación estándar$$σ_{\hat{P}}$$ de la proporción muestral.
• Cuando el tamaño de la muestra es grande la proporción de la muestra se distribuye normalmente.

This page titled 6.3: La Proporción de la Muestra is shared under a CC BY-NC-SA 3.0 license and was authored, remixed, and/or curated by via source content that was edited to the style and standards of the LibreTexts platform.