4.1: Probabilidad empírica
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Una historia sobre cómo se desarrolló la teoría de probabilidad es que un jugador quería saber cuándo apostar más y cuándo apostar menos. Conversó con un par de amigos suyos que resultaron ser matemáticos. Sus nombres eran Pierre de Fermat y Blaise Pascal. Desde entonces muchos otros matemáticos han trabajado para desarrollar la teoría de la probabilidad.
Comprender las probabilidades son importantes en la vida. Ejemplos de preguntas mundanas que la probabilidad puede responder por ti son si necesitas llevar un paraguas o usar un abrigo pesado en un día determinado. Preguntas más importantes con las que la probabilidad puede ayudar son tus posibilidades de que el auto que estás comprando necesite más mantenimiento, tus posibilidades de pasar una clase, tus posibilidades de ganar la lotería, tus posibilidades de tener un accidente automovilístico y las posibilidades de que Estados Unidos sea atacado por terroristas. La mayoría de las personas no tienen un muy buen entendimiento de la probabilidad, por lo que se preocupan por ser atacados por un terrorista pero no por estar en un accidente automovilístico. La probabilidad de estar en un ataque terrorista es mucho menor que la probabilidad de estar en un accidente automovilístico, por lo que en realidad tendría más sentido preocuparse por conducir. Además, la posibilidad de que ganes la lotería es muy pequeña, sin embargo, mucha gente gastará el dinero en boletos de lotería. Sin embargo, si en cambio ahorran el dinero que gastan en la lotería, tendrían más dinero. En general, es poco probable que ocurran eventos que tienen una probabilidad baja (por debajo del 5%). Mientras que si un evento tiene una alta probabilidad de suceder (más del 80%), entonces hay una buena posibilidad de que el evento suceda. Este capítulo presentará parte de la teoría que necesitas para ayudar a tomar una determinación de si un evento es probable que suceda o no.
Primero necesitas algunas definiciones.
Definición\(\PageIndex{1}\)
Experimento: una actividad que tiene un resultado específico que puede ocurrir, pero se desconoce qué resultados se producirán.
Definición\(\PageIndex{2}\)
Resultados: resultado de un experimento.
Definición\(\PageIndex{3}\)
Evento: un conjunto de ciertos resultados de un experimento que quieres que suceda.
Definición\(\PageIndex{4}\)
Espacio de muestreo: recolección de todos los resultados posibles del experimento. Generalmente denotado como SS.
Definición\(\PageIndex{5}\)
Espacio para eventos: el conjunto de resultados que conforman un evento. El símbolo suele ser una letra mayúscula.
Comienza con un experimento. Supongamos que el experimento está rodando un dado. El espacio muestral es {1, 2, 3, 4, 5, 6}. El evento que quieres es conseguir un 6, y el espacio para eventos es {6}. Para ello, enrolla un dado 10 veces. Cuando haces eso, obtienes un 6 dos veces. Con base en este experimento, la probabilidad de obtener un 6 es de 2 sobre 10 o 1/5. Para obtener más precisión, repita el experimento más veces. Es más fácil poner esto en una tabla, donde n representa el número de veces que se repite el experimento. Cuando pones el número de 6s encontrado sobre el número de veces que repites el experimento, esta es la frecuencia relativa.
| n | Número de 6s | Frecuencia relativa |
|---|---|---|
| 10 | 2 | 0.2 |
| 50 | 6 | 0.12 |
| 100 | 18 | 0.18 |
| 500 | 81 | 0.162 |
| 1000 | 163 | 0.163 |
Observe que a medida que n aumentaba, la frecuencia relativa parece acercarse a un número. Parece que se acerca a 0.163. Se puede decir que la probabilidad de obtener un 6 es aproximadamente 0.163. Si quieres más precisión, entonces aumenta n aún más.
Estas probabilidades se denominan probabilidades experimentales ya que se encuentran haciendo realmente el experimento. Vienen a partir de las frecuencias relativas y dan una aproximación de la probabilidad verdadera. La probabilidad aproximada de un evento A, P (A), es
Definición\(\PageIndex{6}\)
Probabilidades Experimentales
\(P(A)=\dfrac{\text { number of times } A \text { occurs }}{\text { number of times the experiment was repeated }}\)
Para el caso de obtener un 6, la probabilidad pasaría por\(\dfrac{163}{1000}=0.163\).
Debes hacer probabilidades experimentales siempre que no sea posible calcular probabilidades usando otros medios. Un ejemplo es si quieres encontrar la probabilidad de que una familia tenga 5 hijos, tendrías que mirar realmente a muchas familias, y contar cuántas tienen 5 hijos. Entonces podrías calcular la probabilidad. Otro ejemplo es si quieres averiguar si un dado es justo. Tendrías que rodar el dado muchas veces y contar con qué frecuencia sale cada lado. Asegúrate de repetir un experimento muchas veces, porque de lo contrario no podrás estimar la probabilidad verdadera. Esto se debe a la ley de grandes números.
Definición\(\PageIndex{7}\)
Ley de números grandes: a medida que n aumenta, la frecuencia relativa tiende hacia el valor de probabilidad real.
Nota
Probabilidad, frecuencia relativa, porcentaje y proporción son todas palabras diferentes para el mismo concepto. Además, las probabilidades se pueden dar como porcentajes, decimales o fracciones.
Tareas
Ejercicio\(\PageIndex{1}\)
- Ejemplo\(\PageIndex{2}\) contiene el número de M&M's de cada color que se encontraron en una caja (Madison, 2013). Encuentra la probabilidad de elegir cada color basado en este experimento.
Azul Marrón Verde Naranja Rojo Amarillo Total 481 371 483 544 372 369 2620 Tabla\(\PageIndex{2}\): Distribución de M&M - Eyeglassomatic fabrica anteojos para diferentes minoristas. Prueban para ver cuántas lentes defectuosas hicieron el periodo de tiempo del 1 de enero al 31 de marzo. Ejemplo\(\PageIndex{3}\) da el defecto y el número de defectos. Encuentra la probabilidad de cada tipo de defecto en base a estos datos.
Tipo de defecto Número de defectos Scratch 5865 Forma derecha - pequeña 4613 Descamado 1992 Eje incorrecto 1838 Chaflán incorrecto 1596 Agrietamiento, grietas 1546 Forma incorrecta 1485 PD incorrecto 1398 Manchas y burbujas 1371 Altura incorrecta 1130 Forma derecha - grande 1105 Perdido en laboratorio 976 Manchas/Burbuja - pasante 976 Tabla\(\PageIndex{3}\): Número de lentes defectuosos - En Australia en 1995, de los 2907 indígenas en prisión murieron 17 de ellos. En ese mismo año, de los 14501 no indígenas en prisión murieron 42 de ellos (“Muertes aborígenes en”, 2013). Encontrar la probabilidad de que un indígena muera en prisión y la probabilidad de que un no indígena muera en prisión. Compare estos números y discuta lo que pueden significar los números.
- Un proyecto realizado por la Oficina Federal Australiana de Seguridad Vial hizo muchas preguntas a la gente sobre sus autos. Una pregunta fue la razón por la que una persona elige un automóvil determinado, y que los datos están en Ejemplo\(\PageIndex{4}\) (“Preferencias de autos”, 2013). Encuentra la probabilidad de que una persona elija un automóvil por cada una de las razones dadas.
Seguridad Confiabilidad Costo Rendimiento Comodidad Looks 84 62 46 34 47 27 Tabla\(\PageIndex{4}\): Motivo para elegir un auto
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1. P (azul) = 0.184, P (frente) = 0.142, P (verde) = 0.184, P (naranja) = 0.208, P (rojo) = 0.142, P (amarillo) = 0.141
3. P (muere indígena) = 0.0058, P (muere persona no indígena) = 0.0029, ver soluciones