4.2: Probabilidad teórica

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$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

No siempre es factible realizar un experimento una y otra vez, por lo que sería mejor poder encontrar las probabilidades sin realizar el experimento. Estas probabilidades se denominan Probabilidades Teóricas.

Para poder hacer probabilidades teóricas, hay una suposición que hay que considerar. Es que todos los resultados en el espacio muestral deben ser resultados igualmente probables. Esto significa que cada resultado del experimento debe tener las mismas posibilidades de suceder.

Ejemplo$\PageIndex{1}$ Equally likely outcomes

¿Cuál de los siguientes experimentos tiene resultados igualmente probables?

Enrollar un dado justo.
Voltear una moneda que esté ponderada para que un lado aparezca con más frecuencia que el otro.
Saca una bola de una lata que contiene 6 bolas rojas y 8 bolas verdes. Todas las bolas son del mismo tamaño.
Recogiendo una carta de una baraja.
Enrollar un dado para ver si es justo.

Solución

Como el dado es justo, cada lado del dado tiene las mismas posibilidades de subir. Los resultados son los diferentes lados, por lo que cada resultado es igualmente probable.
Dado que la moneda está ponderada, es más probable que un lado suba que el otro lado. Los resultados son los diferentes lados, por lo que cada resultado no es igual de probable.
Dado que cada bola es del mismo tamaño, entonces cada bola tiene las mismas posibilidades de ser elegida. Los resultados de este experimento son las bolas individuales, por lo que cada resultado es igualmente probable. No asuma que debido a que las posibilidades de tirar una bola roja son menores que tirar de una bola verde, los resultados no son igualmente probables. Los resultados son los balones individuales y son igualmente probables.
Si asumes que el mazo es justo, entonces cada carta tiene las mismas posibilidades de ser elegida. Por lo tanto, los resultados son igualmente probables. Sí hay que hacer esta suposición. Para muchos de los experimentos que harás, sí tienes que hacer este tipo de suposiciones.
En este caso no estás seguro de que el dado sea justo. La única manera de determinar si es justo es realizar realmente el experimento, ya que no se sabe si los resultados son igualmente probables. Si las probabilidades experimentales son bastante cercanas a las probabilidades teóricas, entonces el dado es justo.

Si los resultados no son igualmente probables, entonces debes hacer probabilidades experimentales. Si los resultados son igualmente probables, entonces puedes hacer probabilidades teóricas.

Definición$\PageIndex{1}$: Theoretical Probabilities

Si los resultados de un experimento son igualmente probables, entonces la probabilidad de que ocurra el evento A es

$P(A)=\dfrac{\# \text { of outcomes in event space }}{\# \text { of outcomes in sample space }}$

Ejemplo$\PageIndex{2}$ calculating theoretical probabilities

Supongamos que realiza un experimento en el que lanzas una moneda justa dos veces.

¿Cuál es el espacio de muestreo?
¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente una cabeza?
¿Cuál es la probabilidad de obtener al menos una cabeza?
¿Cuál es la probabilidad de obtener una cabeza y una cola?
¿Cuál es la probabilidad de obtener una cabeza o una cola?
¿Cuál es la probabilidad de conseguir un pie?
¿Cuál es la probabilidad de cada resultado? ¿Cuál es la suma de estas probabilidades?

Solución

a. Hay varios espacios de muestra diferentes que puedes hacer. Uno es SS= {0, 1, 2} donde estás contando el número de cabezas. Sin embargo, los resultados no son igualmente probables ya que se puede obtener una cabeza al conseguir una cabeza en la primera vuelta y una cola en la segunda o una cola en la primera vuelta y una cabeza en la segunda. Hay 2 formas de obtener ese resultado y solo una forma de obtener los otros resultados. En cambio, podría ser mejor darle espacio a la muestra como enumerar lo que puede suceder en cada flip. Deje que H = cabeza y T = cola, y enumere lo que puede suceder en cada volteo.

SS= {HH, HT, TH, TT}

b. Dejar A = obtener exactamente una cabeza. El espacio para eventos es A = {HT, TH}. Entonces

$P(A)=\dfrac{2}{4} \text { or } \dfrac{1}{2}$

Puede que no sea ventajoso reducir las fracciones a términos más bajos, ya que es más fácil comparar fracciones si tienen el mismo denominador.

c. Deja que B = obtener al menos una cabeza. Al menos una cabeza significa obtener una o más. El espacio de eventos es B = {HT, TH, HH} y

$P(B)=\dfrac{3}{4}$

Dado que P (B) es mayor que P (A), entonces el evento B es más probable que ocurra que el evento A.

d. Dejar C = conseguir una cabeza y una cola = {HT, TH} y

$P(C)=\dfrac{2}{4}$

Este es el mismo espacio de eventos que el evento A, pero es un evento diferente. A veces dos eventos diferentes pueden dar el mismo espacio para eventos.

e. Dejar D = obtener una cabeza o una cola. Ya que o significa uno u otro o ambos y no especifica el número de cabezas o colas, entonces D = {HH, HT, TH, TT} y

$P(D)=\dfrac{4}{4}=1$

f. Deja que E = conseguir un pie. Como no se puede obtener un pie, E = {} o el conjunto vacío y

$P(E)=\dfrac{0}{4}=0$

g$P(H H)=P(H T)=P(T H)=P(T T)=\dfrac{1}{4}$. Si sumas todas estas probabilidades juntas obtienes 1.

Este ejemplo tuvo algunos resultados en él que son conceptos importantes. A continuación se resumen:

Propiedades de probabilidad

$0 \leq P(\text { event }) \leq 1$
Si el P (evento) =1, entonces sucederá y se llama el evento determinado.
Si el P (evento) =0, entonces no puede suceder y se llama el evento imposible.
$\sum P(\text { outcome })=1$

Ejemplo$\PageIndex{3}$ calculating theoretical probabilities

Supongamos que realizas un experimento en el que sacas una carta de una baraja estándar.

¿Cuál es el espacio de muestreo?
¿Cuál es la probabilidad de obtener una Spade?
¿Cuál es la probabilidad de conseguir un Jack?
¿Cuál es la probabilidad de obtener un As?
¿Cuál es la probabilidad de no obtener un As?
¿Cuál es la probabilidad de obtener una pala y un as?
¿Cuál es la probabilidad de obtener una Espada o un As?
¿Cuál es la probabilidad de conseguir un Jack y un Ace?
¿Cuál es la probabilidad de obtener un Jack o un As?

Solución

a. SS = {2S, 3S, 4S, 5S, 6S, 7S, 8S, 9S, 10S, JS, QS, KS, AS, 2C, 3C, 4C, 5C, 6C, 7C, 8C, 9C, 10C, JC, QC, KC, AC, 2D, 3D, 4D, 5D, 6D, 7D, 8D, 9D, 10D, JD, QD, KD, AD, 2H, 3H, 4H, 5H, 6H, 7H, 8H, 9H, 10H, JH, QH, KH, AH}

b. dejar que A = obtener una pala = {2S, 3S, 4S, 5S, 6S, 7S, 8S, 9S, 10S, JS, QS, KS, AS} así

$P(A)=\dfrac{13}{52}$

c. Deja que B = obtener un Jack = {JS, JC, JH, JD} así

$P(B)=\dfrac{4}{52}$

d. Que C = obtener un As = {AS, AC, AH, AD} así

$P(C)=\dfrac{4}{52}$

e. Que D = no obtener un Ace = {2S, 3S, 4S, 5S, 6S, 7S, 8S, 9S, 10S, JS, QS, KS, 2C, 3C, 4C, 5C, 6C, 7C, 8C, 9C, 10C, JC, QC, KC, 2D, 3D, 4D, 5D, 6D, 7D, 8D, 9D, 10D, JD, D, QD, KD, 2H, 3H, 4H, 5H, 6H, 7H, 8H, 9H, 10H, JH, QH, KH} así

$P(D)=\dfrac{48}{52}$

Observe$P(D)+P(C)=\dfrac{48}{52}+\dfrac{4}{52}=1$,, por lo que podría haber encontrado la probabilidad de D haciendo 1 menos la probabilidad de$P(D)=1-P(C)=1-\dfrac{4}{52}=\dfrac{48}{52}$ C.

f. Deja que E = conseguir una pala y un as = {AS} así

$P(E)=\dfrac{1}{52}$

g. Deja que F = conseguir una pala y un as = {2S, 3S, 4S, 5S, 6S, 7S, 8S, 9S, 10S, JS, QS, KS, AS, AC, AD, AH} así

$P(F)=\dfrac{16}{52}$

h. Deja que G = conseguir un Jack y un As = {} ya que no puedes hacer eso con una sola carta. Entonces

$P(G)=0$

i. Deja que H = conseguir un Jack o un Ace = {JS, JC, JD, JH, AS, AC, AD, AH} así

$P(H)=\dfrac{8}{52}$

Ejemplo$\PageIndex{4}$ calculating theoretical probabilities

Supongamos que tienes un iPod Shuffle con las siguientes canciones: 5 canciones de Rolling Stones, 7 canciones de Beatles, 9 canciones de Bob Dylan, 4 canciones de Faith Hill, 2 canciones de Taylor Swift, 7 canciones de U2, 4 canciones de Mariah Carey, 7 canciones de Bob Marley, 6 canciones de Bunny Wailer, 7 canciones de Elton John, 5 canciones de Led Zeppelin y 4 canciones de Dave Mathews Band . Los diferentes géneros que tienes son rock de los años 60 que incluye a Rolling Stones, Beatles y Bob Dylan; country incluye Faith Hill y Taylor Swift; rock de los 90 incluye a U2 y Mariah Carey; Reggae incluye a Bob Marley y Bunny Wailer; el rock de los 70 incluye a Elton John y Led Zeppelin; y bluegrasss/rock incluye Dave Mathews Band.

La forma en que funciona un iPod Shuffle, es que escoge aleatoriamente la siguiente canción para que no tengas idea de cuál será la siguiente canción. Ahora te gustaría calcular la probabilidad de que oirás el tipo de música o el artista que te interesa. El conjunto de muestras es demasiado difícil de escribir, pero puedes calcularlo mirando el número en cada conjunto y el número total. El número total de canciones que tienes es de 67.

¿Cuál es la probabilidad de que oigas una canción de Faith Hill?
¿Cuál es la probabilidad de que oigas una canción de Bunny Wailer?
¿Cuál es la probabilidad de que oigas una canción de los años 60?
¿Cuál es la probabilidad de que oigas una canción de Reggae?
¿Cuál es la probabilidad de que oigas una canción de los 90 o una canción de bluegrass/rock?
¿Cuál es la probabilidad de que oigas una canción de Elton John o Taylor Swift?
¿Cuál es la probabilidad de que oigas una canción country o una canción de U2?

Solución

a. hay 4 canciones de Faith Hill de las 67 canciones, así que

$P(\text { Faith Hill song })=\dfrac{4}{67}$

b. Hay 6 canciones de Bunny Wailer, así que

$P(\text { Bunny Wailer })=\dfrac{6}{67}$

c. Hay 5, 7 y 9 canciones que se clasifican como rock de los años 60, que es 21 en total, entonces

$P(\text { rock from the } 60 \mathrm{s})=\dfrac{21}{67}$

d. hay 6 y 7 canciones que se clasifican como Reggae, que es 13 en total, por lo que

$P(\text { Reggae })=\dfrac{13}{67}$

e. Hay 7 y 4 canciones que son canciones de los 90 y 4 canciones que son bluegrass/rock, para un total de 15, entonces

$P(\text { rock from the } 90 \text { s or bluegrass/rock })=\dfrac{15}{67}$

f. hay 7 canciones de Elton John y 2 canciones de Taylor Swift, para un total de 9, así que

$P(\text { Elton John or Taylor Swift song })=\dfrac{9}{67}$

g. Hay 6 canciones country y 7 canciones de U2, para un total de 13, por lo que

$P(\text { country or } \mathrm{U} 2 \text { song })=\dfrac{13}{67}$

Por supuesto que puedes hacer cualquier otra combinación que te gustaría.

Observe en el Ejemplo$\PageIndex{3}$ parte e, se mencionó que la probabilidad de evento D más la probabilidad de evento C fue de 1. Esto se debe a que estos dos eventos no tienen resultados en común, y juntos conforman todo el espacio muestral. Los eventos que tienen esta propiedad se denominan eventos complementarios.

Definición$\PageIndex{2}$: complementary events

Si dos eventos son eventos complementarios entonces para encontrar la probabilidad de uno simplemente restar la probabilidad del otro de uno. La notación utilizada para el complemento de A no es A o$A^{c}$.

$P(A)+P\left(A^{c}\right)=1, \text { or } P(A)=1-P\left(A^{c}\right)$

Ejemplo$\PageIndex{5}$ complementary events

Supongamos que sabe que la probabilidad de que llueve hoy es de 0.45. ¿Cuál es la probabilidad de que no llueve?
Supongamos que sabe que la probabilidad de no contraer la gripe es de 0.24. ¿Cuál es la probabilidad de contraer la gripe?
En un experimento de recoger una carta de una baraja, ¿cuál es la probabilidad de no obtener una carta que sea Reina?

Solución

a. ya que no llover es el complemento de llover, entonces

$P(\text { not raining })=1-P(\text { raining })=1-0.45=0.55$

b. ya que contraer la gripe es el complemento de no contraer la gripe, entonces

$P(\text { getting the flu })=1-P(\text { not getting the flu })=1-0.24=0.76$

c. Podrías hacer este problema enumerando todas las formas de no conseguir una reina, pero ese conjunto es bastante grande. Una ventaja del complemento es que reduce la carga de trabajo. Utiliza el complemento en muchas situaciones para hacer el trabajo más corto y fácil. En este caso es más fácil enumerar todas las formas de conseguir una Reina, encontrar la probabilidad de la Reina, y luego restar de una. Reina = {QS, QC, QD, QH} entonces

$P(\text { Queen })=\dfrac{4}{52}$y

$P(\text { not Queen })=1-P(\text { Queen })=1-\dfrac{4}{52}=\dfrac{48}{52}$

El complemento es útil cuando se trata de encontrar la probabilidad de un evento que involucre al menos las palabras o un evento que involucre a las palabras como máximo. Como ejemplo de un evento al menos se supone que quieres encontrar la probabilidad de ganar al menos $50,000 cuando te gradúes de la universidad. Eso significa que quieres que la probabilidad de que tu salario sea mayor o igual a $50,000. Un ejemplo de un evento como máximo es suponer que quieres encontrar la probabilidad de rodar un dado y obtener como máximo un 4. Eso significa que quieres obtener menos o igual a un 4 en el dado. La razón para usar el complemento es que a veces es más fácil encontrar la probabilidad del complemento y luego restar de 1. Ejemplo$\PageIndex{6}$ demuestra cómo hacer esto.

Ejemplo$\PageIndex{6}$ using the complement to find probabilities

En un experimento de rodar un dado justo una vez, encuentra la probabilidad de rodar como máximo un 4 en el dado.
En un experimento de sacar una carta de una baraja justa, encuentra la probabilidad de sacar al menos un 5 (el as es una carta alta en este ejemplo).

Solución

a. El espacio muestral para este experimento es {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Quieres el evento de conseguir como máximo un 4, que es lo mismo que pensar en conseguir 4 o menos. El espacio para eventos es {1, 2, 3, 4}. La probabilidad es

$P(\text { at most } 4)=\dfrac{4}{6}$

O podrías haber usado el complemento. El complemento de rodar a lo sumo un 4 sería el número rodante mayor que 4. El espacio para eventos para el complemento es {5, 6}. La probabilidad del complemento es$\dfrac{2}{6}$. La probabilidad de como máximo 4 sería

$P(\text { at most } 4)=1-P(\text { more than } 4)=1-\dfrac{2}{6}=\dfrac{4}{6}$

Observe que tiene la misma respuesta, pero el espacio para eventos fue más fácil de escribir. En este ejemplo la probabilidad no fue tan útil, pero en el futuro habrá eventos donde sea mucho más fácil usar el complemento.

b. El espacio muestral para este experimento es

SS = {2S, 3S, 4S, 5S, 6S, 7S, 8S, 9S, 10S, JS, QS, KS, AS, 2C, 3C, 4C, 5C, 6C, 7C, 8C, 9C, 10C, JC, QC, KC, AC, 2D, 3D, 4D, 5D, 6D, 7D, 8D, 9D, 10D, JD, JD, QD, KD, AD, 2H, 3H, 4H, 5H, 6H, 7H, 8H, 9H, 10H, JH, QH, KH, AH}

Tirar una tarjeta que sea al menos un 5 implicaría enumerar todas las cartas que son un 5 o más. Sería mucho más fácil enumerar los resultados que conforman el complemento. El complemento de al menos un 5 es menor que un 5. Ese sería el evento de 4 o menos. El espacio para eventos para el complemento sería {2S, 3S, 4S, 2C, 3C, 4C, 2D, 3D, 4D, 2H, 3H, 4H}. La probabilidad del complemento sería$\dfrac{12}{52}$. La probabilidad de al menos un 5 sería

$P(\text { at least } \mathbf{a} 5)=1-P(4 \text { or less })=1-\dfrac{12}{52}=\dfrac{40}{52}$

Otro concepto se mostró en Ejemplo$\PageIndex{3}$ partes g e i. Los problemas fueron buscar la probabilidad de un evento u otro. En la parte g, se buscaba la probabilidad de conseguir una Spade o un As. Eso fue igual a$\dfrac{16}{52}$. En la parte i, se buscaba la probabilidad de conseguir un Jack o un Ace. Eso fue igual a$\dfrac{8}{52}$. Si miras hacia atrás en las partes b, c y d, podrías notar el siguiente resultado:

$P(\text { Jack })+P(\text { Ace })=P(\text { Jack or Ace }) \text { but } P(\text { Spade })+P(\text { Ace }) \neq P(\text { Spade or } \text { Ace })$

¿Por qué sumar dos probabilidades individuales juntas funciona en una situación para dar la probabilidad de uno u otro evento y no dar la probabilidad correcta en la otra?

La razón por la que esto es cierto en el caso del Jack y el As es que estos dos eventos no pueden ocurrir juntos. No hay solapamiento entre los dos eventos, y de hecho el$P(\text { Jack and } \mathrm{Acc})=0$. No obstante, en el caso de Spade y Ace, pueden suceder juntos. Hay solapamiento, principalmente el as de espadas. El$P(\text { Spade and } \mathrm{Ace}) \neq 0$.

Cuando dos eventos no pueden ocurrir al mismo tiempo, se les llama mutuamente excluyentes. En la situación anterior, los eventos Jack y Ace son mutuamente excluyentes, mientras que los eventos Spade y Ace no son mutuamente excluyentes.

Reglas de Adición:

Si dos eventos A y B son mutuamente excluyentes, entonces

$P(A \text { or } B)=P(A)+P(B) \text { and } P(A \text { and } B)=0$

Si dos eventos A y B no son mutuamente excluyentes, entonces

$P(A \text { or } B)=P(A)+P(B)-P(A \text { and } B)$

Ejemplo$\PageIndex{7}$ using addition rules

Supongamos que su experimento es tirar dos dados justos.

¿Cuál es el espacio de muestreo?
¿Cuál es la probabilidad de obtener una suma de 5?
¿Cuál es la probabilidad de conseguir el primer dado un 2?
¿Cuál es la probabilidad de obtener una suma de 7?
¿Cuál es la probabilidad de obtener una suma de 5 y el primero muere un 2?
¿Cuál es la probabilidad de obtener una suma de 5 o el primer dado un 2?
¿Cuál es la probabilidad de obtener una suma de 5 y una suma de 7?
¿Cuál es la probabilidad de obtener una suma de 5 o suma de 7?

Solución

a. al igual que con los otros ejemplos que necesita para llegar a un espacio de muestra que tenga resultados igualmente probables. Un espacio de muestra es enumerar las sumas posibles en cada rollo. Ese espacio muestral se vería así: SS = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}. Sin embargo, hay más formas de obtener una suma de 7 que luego hay de obtener una suma de 2, por lo que estos resultados no son igualmente probables. Otro pensamiento es enumerar las posibilidades en cada rollo. Como ejemplo podrías tirar los dados y en el primer dado podrías obtener un 1. El otro dado podría ser cualquier número entre 1 y 6, pero digamos que es un 1 también. Entonces este desenlace se vería así (1,1). Del mismo modo, podrías obtener (1, 2), (1, 3), (1,4), (1, 5) o (1, 6). Además, podrías obtener un 2, 3, 4, 5 o 6 en el primer dado en su lugar. Al juntar todo esto, obtienes el espacio de muestra:

$\begin{array}{r}{\mathrm{SS}=\{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)} \\ {(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)} \\ {(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)} \\ {(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)} \\ {(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)} \\ {(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6) \}}\end{array}$

Observe que a (2,3) es diferente de a (3,2), ya que el orden en que se enrolla el dado es importante y se puede notar la diferencia entre estos dos resultados. No necesitas ninguno de los dobles dos veces, ya que estos no son distinguibles entre sí en ningún orden. Este siempre será el espacio de muestra para rodar dos dados.

b. dejar que A = obtener una suma de 5 = {(4,1), (3,2), (2,3), (1,4)} así

$P(A)=\dfrac{4}{36}$

c. Que B = llegar primero muere a 2 = {(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6)} así

$P(B)=\dfrac{6}{36}$

d. dejar C = obtener una suma de 7 = {(6,1), (5,2), (4,3), (3,4), (2,5), (1,6)} así

$P(C)=\dfrac{6}{36}$

e. Se trata de los eventos A y B que contienen el resultado {(2,3)} así

$P(A \text { and } B)=\dfrac{1}{36}$

f. aviso de la parte e, que estos dos hechos no son mutuamente excluyentes, por lo que

$P(A \text { or } B)=P(A)+P(B)-P(A \text { and } B)$

$=\dfrac{4}{36}+\dfrac{6}{36}-\dfrac{1}{36}$

$=\dfrac{9}{36}$

g. Estos son los eventos A y C, los cuales no tienen resultados en común. Así A y C = {} así

$P(A \text { and } C)=0$

h. de la parte g, estos dos eventos son mutuamente excluyentes, por lo que

$P(A \text { or } C)=P(A)+P(C)$

$=\dfrac{4}{36}+\dfrac{6}{36}$

$=\dfrac{10}{36}$

Cuotas

A mucha gente le gusta hablar de las probabilidades de que algo suceda o no suceda. Los matemáticos, estadísticos y científicos prefieren lidiar con las probabilidades ya que es difícil trabajar con las probabilidades, pero los jugadores prefieren trabajar en cuotas para averiguar cuánto se les paga si ganan.

Definición$\PageIndex{3}$

Las probabilidades reales contra el evento A que ocurre son la relación$P\left(A^{c}\right) / P(A)$, generalmente expresada en la forma a:b o de a a b, donde a y b son números enteros sin factores comunes.

Definición$\PageIndex{4}$

Las probabilidades reales a favor del evento A que ocurren son la relación$P(A) / P\left(A^{c}\right)$, que es el recíproco de las probabilidades en contra. Si las probabilidades contra el evento A son a:b, entonces las probabilidades a favor del evento A son b:a.

Definición$\PageIndex{5}$

Las probabilidades de pago contra el evento A que se produce son la relación entre la ganancia neta (si gana) y la cantidad apostada.

Probabilidades de pago contra el evento A = (beneficio neto): (monto apostado)

Ejemplo$\PageIndex{8}$ odds against and payoff odds

En el juego de Dados, si un tirador tiene un rollo de salida de un 7 o un 11, se le llama natural y gana la línea de pase. Las probabilidades de pago son dadas por un casino como 1:1.

Encuentra la probabilidad de un natural.
Encuentra las probabilidades reales para un natural.
Encuentra las probabilidades reales contra un natural.
Si el casino paga 1:1, ¿cuánto beneficio obtiene el casino en una apuesta de $10?

Solución

a. Un natural es un 7 u 11. El espacio muestral es

El espacio para eventos es {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1), (5,6), (6,5)}

Entonces$P(7 \text { or } 11)=\dfrac{8}{36}$

impar para un natural$=\dfrac{P(7 \text { or } 11)}{P(\text {not} 7 \text { or } 11)}$

$=\dfrac{8 / 36}{1-8 / 36}$

$=\dfrac{8 / 36}{28 / 36}$

$=\dfrac{8}{28}$

$=\dfrac{2}{7}$

contra un natural$=\dfrac{P(\text { not } 7 \text { or } 11)}{P(7 \text { or } 11)}=\dfrac{28}{8}=\dfrac{7}{2}=\dfrac{3.5}{1}$

d. Las probabilidades reales son de 3.5 a 1 mientras que las probabilidades de pago son de 1 a 1. El casino te paga $10 por tu apuesta de $10. Si el casino te pagara las cuotas reales, pagarían $3.50 por cada apuesta de $1, y en $10, pagarían$3.5 * \$ 10=\$ 35$. Su ganancia es$\$ 35-\$ 10=\$ 25$.

Testo

Ejercicio$\PageIndex{1}$

Ejemplo$\PageIndex{1}$ contiene el número de M&M's de cada color que se encontraron en una caja (Madison, 2013).

Azul	Marrón	Verde	Naranja	Rojo	Amarillo	Total
481	371	483	544	372	369	2620

Tabla$\PageIndex{1}$: M&M Distribución
a. Encontrar la probabilidad de elegir un M&M verde o rojo.
b. Encuentra la probabilidad de elegir un M&M azul, rojo o amarillo.
c. Encuentra la probabilidad de no elegir un M&M marrón.
d. Encontrar la probabilidad de no elegir un M&M verde.

Eyeglassomatic fabrica anteojos para diferentes minoristas. Prueban para ver cuántas lentes defectuosas fabricaron en un periodo de tiempo. Ejemplo$\PageIndex{2}$ da el defecto y el número de defectos.

Tipo de defecto	Número de defectos
Scratch	5865
Forma derecha - pequeña	4613
Descamado	1992
Eje incorrecto	1838
El chaflán está mal	1596
agrietamiento, grietas	1546
Forma incorrecta	1485
PD incorrecto	1398
Manchas y burbujas	1371
Altura incorrecta	1130
Forma derecha - grande	1105
Perdido en laboratorio	976
Manchas/Burbuja	976

Tabla$\PageIndex{2}$: Número de lentes defectuosos
a. Encuentre la probabilidad de elegir una lente que esté rayada o descamada.
b. Encontrar la probabilidad de elegir una lente que sea la DP incorrecta o que se haya perdido en el laboratorio.
c. Encuentra la probabilidad de escoger una lente que no esté rayada.
d. Encuentra la probabilidad de elegir una lente que no tenga la forma incorrecta.

Un experimento es voltear una moneda justa tres veces.
1. Asignar el espacio muestral.
2. Encuentra la probabilidad de obtener exactamente dos cabezas. Asegúrate de declarar el espacio para eventos.
3. Encuentra la probabilidad de conseguir al menos dos cabezas. Asegúrate de declarar el espacio para eventos.
4. Encuentra la probabilidad de obtener un número impar de cabezas. Asegúrate de declarar el espacio para eventos.
5. Encuentra la probabilidad de obtener todas las cabezas o todas las colas. Asegúrate de declarar el espacio para eventos.
6. Encuentra la probabilidad de obtener exactamente dos cabezas o exactamente dos colas.
7. Encuentra la probabilidad de no obtener un número impar de cabezas.
Un experimento es rodar un dado justo y luego voltear una moneda justa.
1. Anote el espacio muestral.
2. Encuentra la probabilidad de conseguir una cabeza. Asegúrate de declarar el espacio para eventos.
3. Encuentra la probabilidad de obtener un 6. Asegúrate de declarar el espacio para eventos.
4. Encuentra la probabilidad de obtener un 6 o una cabeza.
5. Encuentra la probabilidad de obtener un 3 y una cola.
Un experimento es rodar dos dados justos.
1. Anote el espacio muestral.
2. Encuentra la probabilidad de obtener una suma de 3. Asegúrate de declarar el espacio para eventos.
3. Encontrar la probabilidad de conseguir el primer dado es un 4. Asegúrate de declarar el espacio para eventos.
4. Encuentra la probabilidad de obtener una suma de 8. Asegúrate de declarar el espacio para eventos.
5. Encuentra la probabilidad de obtener una suma de 3 o suma de 8.
6. Encuentra la probabilidad de obtener una suma de 3 o el primer dado es un 4.
7. Encuentra la probabilidad de obtener una suma de 8 o el primer dado es un 4.
8. Encuentra la probabilidad de no obtener una suma de 8.
Un experimento es sacar una carta de una baraja justa.
1. Anote el espacio muestral.
2. Encuentra la probabilidad de obtener un Diez. Asegúrate de declarar el espacio para eventos.
3. Encuentra la probabilidad de obtener un Diamante. Asegúrate de declarar el espacio para eventos.
4. Encuentra la probabilidad de conseguir un Club. Asegúrate de declarar el espacio para eventos.
5. Encuentra la probabilidad de conseguir un Diamante o un Club.
6. Encuentra la probabilidad de obtener un Diez o un Diamante.
Un experimento consiste en sacar una bola de una urna que contiene 3 bolas azules y 5 bolas rojas.
1. Encuentra la probabilidad de conseguir una bola roja.
2. Encuentra la probabilidad de conseguir una bola azul.
3. Encuentra las probabilidades de conseguir una bola roja.
4. Encuentra las probabilidades de conseguir una pelota azul.
En el juego de la ruleta, hay una rueda con espacios marcados del 0 al 36 y un espacio marcado como 00.
1. Encuentra la probabilidad de ganar si eliges el número 7 y sale al volante.
2. Encuentra las probabilidades de ganar si eliges el número 7.
3. El casino te pagará $20 por cada dólar que apuestes si tu número aparece. ¿Cuánto beneficio obtiene el casino en la apuesta?

Contestar

1. a. P (verde o rojo) = 0.326, b. P (azul, rojo o amarillo) = 0.466, c. P (no marrón) = 0.858, d. P (no verde) = 0.816

3. a. Ver soluciones, b. P (2 cabezas) = 0.375, c. P (al menos 2 cabezas) = 0.50, d. P (número impar de cabezas) = 0.50, e. P (todas las cabezas o todas las colas) = 0.25, f. P (dos cabezas o dos colas) = 0.75, g. P (no un número impar de cabezas) = 0.50

5. a. Ver soluciones, b. P (suma de 3) = 0.056, c. P (1er dado a 4) = 0.167, d. P (suma de 8) = 0.139, e. P (suma de 3 o suma de 8) = 0.194, f. P (suma de 3 o 1er dado a 4) = 0.222, g. P (suma de 8 o 1er dado a 4) = 0.278, h. p (no obtener una suma de 8) = 0.861

7. a. P (bola roja) = 0.625, b. P (bola azul) = 0.375, c. 5 a 3 d. 3 a 5