6.1: Distribución Uniforme

Última actualización
Guardar como PDF

Page ID: 149831

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

Si tienes una situación en la que la probabilidad es siempre la misma, entonces esto se conoce como una distribución uniforme. Un ejemplo sería esperar un tren de cercanías. Los trenes de cercanías de las Líneas Azul y Verde para la Autoridad de Tránsito Regional (RTA) en Cleveland, OH, tienen un tiempo de espera durante las horas pico de diez minutos (“informe anual 2012”, 2012). Si estás esperando un tren, tienes en cualquier lugar de cero minutos a diez minutos para esperar. Tu probabilidad de tener que esperar cualquier número de minutos en ese intervalo es la misma. Esta es una distribución uniforme. La gráfica de esta distribución se encuentra en la Figura\(\PageIndex{1}\).

Supongamos que quieres saber la probabilidad de que tengas que esperar entre cinco y diez minutos para el siguiente tren. Se puede observar la probabilidad gráficamente como en la Figura\(\PageIndex{2}\).

Captura de pantalla (79) .png — Figura\(\PageIndex{2}\): Distribución uniforme con P (5<x<10)

¿Cómo encontrarías esta probabilidad? Cálculo dice que la probabilidad es el área bajo la curva. Observe que la forma del área sombreada es un rectángulo, y el área de un rectángulo es largo por ancho. El largo es\(10-5=5\) y el ancho es 0.1. La probabilidad es\(P(5<x<10)=0.1 * 5=0.5\), donde y x es el tiempo de espera durante las horas pico.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\) finding probabilities in a uniform distribution

Los trenes de cercanías de las Líneas Azul y Verde para la Autoridad de Tránsito Regional (RTA) en Cleveland, OH, tienen un tiempo de espera durante los períodos de horas pico de diez minutos (“Informe anual 2012”, 2012).

Indicar la variable aleatoria.
Encuentra la probabilidad de que tengas que esperar entre cuatro y seis minutos para un tren.
Encuentra la probabilidad de que tengas que esperar entre tres y siete minutos para un tren.
Encuentra la probabilidad de que tengas que esperar entre cero y diez minutos para un tren.
Encuentra la probabilidad de esperar exactamente cinco minutos.

Solución

a. x = tiempo de espera durante las horas pico

b.\(P(4<x<6)=(6-4)^{*} 0.1=0.2\)

c.\(P(3<x<7)=(7-3) * 0.1=0.4\)

d.\(P(0<x<10)=(10-0) * 0.1=1.0\)

e. Dado que esto sería solo una línea, y el ancho de la línea es 0, entonces el\(P(x=5)=0 * 0.1=0\).

Observe que en el Ejemplo\(\PageIndex{1}\) d, la probabilidad es igual a uno. Esto se debe a que la probabilidad que se computó es el área bajo toda la curva. Al igual que en las distribuciones discretas de probabilidad, donde la probabilidad total era uno, la probabilidad de toda la curva es una. Esta es la razón por la que la altura de la curva es 0.1. En general, la altura de una distribución uniforme que oscila entre a y b, es\(\dfrac{1}{b-a}\).

Tarea

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Los trenes de cercanías de las Líneas Azul y Verde para la Autoridad de Tránsito Regional (RTA) en Cleveland, OH, tienen un tiempo de espera durante los períodos de horas pico de diez minutos (“Informe anual 2012”, 2012).
1. Indicar la variable aleatoria.
2. Encuentra la probabilidad de esperar entre dos y cinco minutos.
3. Encuentra la probabilidad de esperar entre siete y diez minutos.
4. Encuentra la probabilidad de esperar ocho minutos exactamente.
Los trenes de cercanías de la Línea Roja para la Autoridad de Tránsito Regional (RTA) en Cleveland, OH, tienen un tiempo de espera durante los períodos de horas pico de ocho minutos (“informe anual 2012”, 2012).
1. Indicar la variable aleatoria.
2. Encuentra la altura de esta distribución uniforme.
3. Encuentra la probabilidad de esperar entre cuatro y cinco minutos.
4. Encuentra la probabilidad de esperar entre tres y ocho minutos.
5. Encuentra la probabilidad de esperar cinco minutos exactamente.

Contestar: 1. a. Ver soluciones, b.\(P(2<x<5)=0.3\), c.\(P(7<x<10)=0.3\), d.\(P(x=8)=0\)