6.2: Gráficas de la Distribución Normal

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Muchos problemas de la vida real producen un histograma que es una distribución de probabilidad continua simétrica, unimodal y en forma de campana. Por ejemplo: altura, presión arterial y nivel de colesterol. Sin embargo, no todas las curvas en forma de campana son normales. En una curva normal, existe una relación específica entre su “altura” y su “anchura”.

Las curvas normales pueden ser altas y delgadas o pueden ser cortas y gordas. Todos ellos son simétricos, unimodales y centrados en\(\mu\) la media poblacional. La figura\(\PageIndex{1}\) muestra dos curvas normales diferentes dibujadas en la misma escala. Ambos tienen\(\mu = 100\) pero el de la izquierda tiene una desviación estándar de 10 y el de la derecha tiene una desviación estándar de 5. Observe que la desviación estándar más grande hace que la gráfica sea más ancha (más extendida) y más corta.

Cada curva normal tiene características comunes. Estos se detallan en la Figura\(\PageIndex{2}\).

Captura de pantalla (81) .png — Figura de una curva normal

El centro, o el punto más alto, se encuentra en la media poblacional,\(\mu\).
Los puntos de transición (puntos de inflexión) son los lugares donde la curva cambia de un “cerro” a un “valle”. La distancia desde la media hasta el punto de transición es una desviación estándar,\(\sigma\).
El área bajo toda la curva es exactamente 1. Por lo tanto, el área por debajo de la mitad por debajo o por encima de la media es 0.5.

La ecuación que crea esta curva es\(f(x)=\dfrac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} e^{-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{x-\mu}{\sigma}\right)^{2}}\)

Al igual que en una distribución de probabilidad discreta, el objeto es encontrar la probabilidad de que ocurra un evento. Sin embargo, a diferencia de una distribución de probabilidad discreta donde el evento puede ser un solo valor, en una distribución de probabilidad continua el evento debe ser un rango. Te interesa encontrar la probabilidad de que x ocurra en el rango entre a y b, o\(P(a \leq x \leq b)=P(a<x<b)\). El cálculo nos dice que para encontrar esto se encuentra el área bajo la curva por encima del intervalo de a a b.

\(P(a \leq x \leq b)=P(a<x<b)\)es el área bajo la curva por encima de la integral de a a b.

Captura de pantalla (82) .png — Figura\(\PageIndex{3}\): Probabilidad de un Evento

Antes de mirar el proceso para encontrar las probabilidades bajo la curva normal, es algo útil observar la Regla Empírica que da valores aproximados para estas áreas. La Regla Empírica es solo una aproximación y solo se utilizará en esta sección para darte una idea de cuál es el tamaño de las probabilidades para diferentes sombreados. En la siguiente sección se demostrará un método más preciso para encontrar probabilidades para la curva normal. Por favor, no utilice la regla empírica excepto para estimaciones aproximadas reales.

Definición\(\PageIndex{1}\): Empirical Rule

La Regla Empírica para cualquier distribución normal:

Aproximadamente el 68% de los datos se encuentra dentro de una desviación estándar de la media.
Aproximadamente el 95% de los datos se encuentran dentro de dos desviaciones estándar de la media.
Aproximadamente 99.7% de los datos se encuentran dentro de tres desviaciones estándar de la media.

Captura de pantalla (83) .png — Figura\(\PageIndex{4}\): Regla empírica

Ten cuidado, todavía queda algo de área en cada extremo. Recuerda, el máximo que puede ser una probabilidad es del 100%, así que si calculas 100%-99.7% = 0.3% verás que para ambos extremos juntos hay 0.3% de la curva. Debido a la simetría, se puede dividir esto por igual entre ambos extremos y encontrar que hay 0.15% en cada cola más allá del\(\mu \pm 3 \sigma\).