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8.1: Conceptos básicos de los intervalos de confianza

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    Un estimador de puntos es solo la estadística que has calculado previamente. A modo de ejemplo, cuando se quería estimar la media poblacional,\(\mu\), el estimador puntual es la media muestral,\(\overline{x}\). Para estimar la proporción poblacional, p, se utiliza la proporción muestral,\(\hat{p}\). En general, si quieres estimar algún parámetro de población, lo llamaremos\(\theta\), usas el estadístico muestral,\(\hat{\theta}\).

    Los estimadores de puntos son realmente fáciles de encontrar, pero tienen algunos inconvenientes. Primero, si tienes un tamaño de muestra grande, entonces la estimación es mejor. Pero con un estimador de puntos, no se sabe cuál es el tamaño de la muestra. Además, no sabes qué tan precisa es la estimación. Ambos problemas se resuelven con un intervalo de confianza.

    Definición\(\PageIndex{1}\)

    Intervalo de confianza: Aquí es donde tienes un intervalo alrededor de tu parámetro, y el intervalo tiene una probabilidad de ser una declaración verdadera. En general, un intervalo de confianza se ve así:\(\hat{\theta}{ \pm E}\), donde\(\hat{\theta}\) está el estimador de puntos y E es el margen de término de error que se suma y resta del estimador de puntos. Haciendo así un intervalo.

    Interpretación de un intervalo de confianza:

    La interpretación estadística es que el intervalo de confianza tiene una probabilidad (1 -\(\alpha\), donde\(\alpha\) está el complemento del nivel de confianza) de contener el parámetro poblacional. Como ejemplo, si tienes un intervalo de confianza del 95% de 0.65 < p < 0.73, entonces dirías, “hay un 95% de probabilidad de que el intervalo 0.65 a 0.73 contenga la verdadera proporción poblacional”. Esto significa que si tienes 100 intervalos, 95 de ellos contendrán la verdadera proporción, y el 5% no lo hará. La interpretación equivocada es que existe un 95% de probabilidad de que el verdadero valor de p caiga entre 0.65 y 0.73. La razón por la que esta interpretación es incorrecta es que el verdadero valor está fijado por ahí en alguna parte. Estás tratando de capturarlo con este intervalo. Entonces esta es la posibilidad es que tu intervalo lo capture, y no que el verdadero valor caiga en el intervalo.

    También hay una interpretación del mundo real que depende de la situación. Es donde le estás diciendo a la gente qué números encontraste entre los que se encontraba el parámetro. Entonces tu mundo real es donde dices entre qué valores se encuentra tu parámetro. No hay ninguna probabilidad asociada a esta afirmación. Esa probabilidad está en la interpretación estadística.

    Las probabilidades comunes utilizadas para los intervalos de confianza son 90%, 95% y 99%. Estos se conocen como el nivel de confianza. El nivel de confianza y el nivel alfa están relacionados. Para una prueba de dos colas, el nivel de confianza es C = 1 -\(\alpha\). Esto se debe a que el\(\alpha\) es ambas colas y el nivel de confianza es el área entre las dos colas. Como ejemplo, para una prueba de dos colas (no\(\mathrm{H}_{\mathrm{A}}\) es igual a) con\(\alpha\) igual a 0.10, el nivel de confianza sería de 0.90 o 90%. Si tienes una prueba de una cola, entonces tu\(\alpha\) es solo una cola. Debido a la simetría la otra cola también lo es\(\alpha\). Entonces tienes 2\(\alpha\) con ambas colas. Entonces el nivel de confianza, que es el área entre las dos colas, es C = 1 - 2\(\alpha\).

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\) stating the statistical and real world interpretations for a confidence interval

    1. Supongamos que tienes un intervalo de confianza del 95% para la edad media en la que una mujer se casa en 2013 es\(26<\mu<28\). Declarar las interpretaciones estadísticas y del mundo real de esta afirmación.
    2. Supongamos que es un intervalo de confianza del 99% para la proporción de estadounidenses que han probado la marihuana a partir de 2013\(0.35<p<0.41\). Declarar las interpretaciones estadísticas y del mundo real de esta afirmación

    Solución

    1. Interpretación estadística: Existe un 95% de probabilidad de que el intervalo\(26<\mu<28\) contenga la edad media en la que una mujer se casa en 2013.
      Interpretación del mundo real: La edad media con la que se casó una mujer en 2013 es entre 26 y 28 años de edad.
    2. Interpretación estadística: Existe un 99% de probabilidad de que el intervalo\(0.35<p<0.41\) contenga la proporción de estadounidenses que han probado la marihuana a partir de 2013. Interpretación del mundo real: La proporción de estadounidenses que han probado la marihuana a partir de 2013 está entre 0.35 y 0.41.

    Una última cosa que debe saber sobre la confianza es cómo el tamaño de la muestra y el nivel de confianza afectan la amplitud del intervalo. La siguiente discusión demuestra lo que sucede con el ancho del intervalo a medida que se obtiene más confianza.

    Piensa en disparar una flecha hacia el objetivo. Supongamos que eres realmente bueno en eso y que tienes un 90% de posibilidades de golpear el ojo del toro. Ahora el ojo de buey es muy pequeño. Ya que golpeas el ojo del toro aproximadamente el 90% de las veces, entonces probablemente golpeas dentro del siguiente anillo fuera el 95% del tiempo. Tienes más posibilidades de hacer esto, pero el círculo es más grande. Probablemente tengas un 99% de posibilidades de golpear el objetivo, pero ese es un círculo mucho más grande para golpear. Se puede ver, a medida que aumenta tu confianza en golpear el objetivo, el círculo que golpeas se hace más grande. Lo mismo ocurre con los intervalos de confianza. Esto se demuestra en la Figura\(\PageIndex{1}\).

    Captura de pantalla (148) .png
    Figura\(\PageIndex{1}\): Efecto del Nivel de Confianza en el Ancho

    El mayor nivel de confianza hace un intervalo más amplio. Hay un intercambio entre ancho y nivel de confianza. Puedes estar realmente seguro de tu respuesta pero tu respuesta no será muy precisa. O puedes tener una respuesta precisa (pequeño margen de error) pero no tener mucha confianza en tu respuesta.

    Ahora mira cómo afecta el tamaño de la muestra al tamaño del intervalo. Supongamos que la Figura\(\PageIndex{2}\) representa intervalos de confianza calculados en un intervalo de 95% Un tamaño de muestra más grande de una muestra representativa hace que el ancho del intervalo sea más estrecho. Esto tiene sentido. Las muestras grandes están más cerca de la población verdadera, por lo que la estimación puntual está bastante cerca del valor verdadero.

    Captura de pantalla (149) .png
    Figura\(\PageIndex{2}\): Efecto del tamaño de la muestra sobre el ancho

    Ahora ya sabes todo lo que necesitas saber sobre los intervalos de confianza excepto la fórmula real. La fórmula depende del parámetro que intentes estimar. Con diferentes situaciones se le dará el intervalo de confianza para ese parámetro.

    Tareas

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    1. Supongamos que calcula un intervalo de confianza con un tamaño de muestra de 25. ¿Qué pasará con el intervalo de confianza si el tamaño de la muestra aumenta a 50?
    2. Supongamos que calcula un intervalo de confianza del 95%. ¿Qué pasará con el intervalo de confianza si aumentas el nivel de confianza al 99%?
    3. Supongamos que calcula un intervalo de confianza del 95%. ¿Qué pasará con el intervalo de confianza si disminuye el nivel de confianza al 90%?
    4. Supongamos que calcula un intervalo de confianza con un tamaño de muestra de 100. ¿Qué pasará con el intervalo de confianza si el tamaño de la muestra disminuye a 80?
    5. Un intervalo de confianza del 95% es de 6353 km\(\mu\) < < 6384 km, donde\(\mu\) se encuentra el diámetro medio de la Tierra. Declarar la interpretación estadística.
    6. Un intervalo de confianza del 95% es de 6353 km\(\mu\) < < 6384 km, donde\(\mu\) se encuentra el diámetro medio de la Tierra. Declarar la interpretación del mundo real.
    7. En 2013, Gallup realizó una encuesta y encontró un intervalo de confianza de 95% de 0.52 < p < 0.60, donde p es la proporción de estadounidenses que creen que es responsabilidad del gobierno para la atención de la salud. Dar la interpretación del mundo real.
    8. En 2013, Gallup realizó una encuesta y encontró un intervalo de confianza de 95% de 0.52 < p < 0.60, donde p es la proporción de estadounidenses que creen que es responsabilidad del gobierno para la atención de la salud. Dar la interpretación estadística.
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