8.2: Intervalo de una muestra para la proporción

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Supongamos que desea estimar la proporción poblacional, p. Como ejemplo te puede interesar qué proporción de alumnos de tu escuela fuma. O podría preguntarse cuál es la proporción de accidentes causados por conductores adolescentes que no tienen una clase de educación de conductores.

Intervalo de confianza para una proporción de población (Intervalo 1-Prop)

Exponga la variable aleatoria y el parámetro en palabras.
x = número de éxitos
p = proporción de éxitos
Indicar y verificar los supuestos para el intervalo de confianza
1. Se toma una muestra aleatoria simple de tamaño n.
2. Se cumplen las condiciones para la distribución binomial
3. Para determinar la distribución de muestreo de\(\hat{p}\), es necesario mostrar eso\(n \hat{p} \geq 5\) y\(n \hat{q} \geq 5\), dónde\(\hat{q}=1-\hat{p}\). Si este requisito es cierto, entonces la distribución de muestreo de\(\hat{p}\) es bien aproximada por una curva normal. (En realidad esto no es realmente cierto, ya que la suposición correcta trata de p. No obstante, en un intervalo de confianza desconoces p, por lo que debes usar\(\hat{p}\). Esto significa que solo necesitas demostrarlo\(x \geq 5\) y\(n-x \geq 5\).)
Encuentre el estadístico muestral y el intervalo de confianza Proporción de
muestra: Intervalo de
\(\hat{p}=\dfrac{x}{n}=\dfrac{\# \text { of successes }}{\# \text { of trials }}\)
confianza:
\(\hat{p}-E<p<\hat{p}+E\)
Donde
p = proporción poblacional
\(\hat{p}\) = proporción muestral
n = número de valores
muestrales E = margen de error
\(z_{c}=\) = valor crítico
\(\hat{q}=1-\hat{p}\)
\(E=z_{c} \sqrt{\dfrac{\hat{p} \hat{q}}{n}}\)
Interpretación estadística: En general esto parece, “hay una probabilidad de C% que\(\hat{p}-E<p<\hat{p}+E\) contiene la verdadera proporción”.
Interpretación del Mundo Real: Aquí es donde declaras qué intervalo contiene la verdadera proporción.

El valor crítico es un valor de la distribución normal. Dado que se encuentra un intervalo de confianza sumando y restando un margen de cantidad de error de la proporción de muestra, y el intervalo tiene una probabilidad de contener la proporción verdadera, entonces se puede pensar en esto como la declaración\(P(\hat{p}-E<p<\hat{p}+E)=C\). Puede usar el comando InvNorm en la calculadora TI-83/84 o el comando qnorm en R para encontrar el valor crítico. Los valores críticos siempre serán el mismo valor, por lo que es más fácil simplemente mirar la tabla A.1 en el apéndice.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\) confidence interval for the population proportion using the formula

En Australia se planteó la preocupación de que el porcentaje de muertes de presos aborígenes era superior al porcentaje de muertes de presos no aborígenes, que es de 0.27%. Se recolectó una muestra de seis años (1990-1995) de datos, y se encontró que de 14 mil 495 presos aborígenes, 51 fallecieron (“Muertes indígenas en”, 1996). Encontrar un intervalo de confianza del 95% para la proporción de presos aborígenes fallecidos.

Exponga la variable aleatoria y el parámetro en palabras.
Indicar y verificar los supuestos para un intervalo de confianza.
Encuentra el estadístico muestral y el intervalo de confianza.
Interpretación Estadística
Interpretación del mundo real

Solución

1. x = número de presos aborígenes que mueren

p = proporción de presos aborígenes que mueren

Se tomó una muestra aleatoria simple de 14.495 prisioneros aborígenes. Sin embargo, la muestra no fue una muestra aleatoria, ya que se trataba de datos de seis años. Son los números para todos los presos en estos seis años, pero los seis años no fueron escogidos al azar. A menos que haya algo especial en los seis años que se eligieron, la muestra es probablemente una muestra representativa. Esta suposición probablemente se cumpla.
En este caso hay 14 mil 495 presos. Los presos son todos aborígenes, así que no estás mezclando aborígenes con prisioneros no aborígenes. Sólo hay dos resultados, o el preso muere o no, la posibilidad de que un preso muera sobre otro puede no ser constante, pero si se considera que todos los presos son iguales, entonces puede estar cerca de la misma probabilidad. Así se satisfacen los supuestos para la distribución binomial
En este caso, x = 51 y n - x = 14495 - 51 = 14444 y ambos son mayores o iguales a 5. La distribución de muestreo para\(\hat{p}\) es una distribución normal.

3. Proporción de muestra:

\(\hat{p}=\dfrac{x}{n}=\dfrac{51}{14495} \approx 0.003518\)

Intervalo de confianza:

\(z_{c}=1.96\), ya que el nivel de confianza del 95%

\(E=z_{c} \sqrt{\dfrac{\hat{p} \hat{q}}{n}}=1.96 \sqrt{\dfrac{0.003518(1-0.003518)}{14495}} \approx 0.000964\)

\(\hat{p}-E<p<\hat{p}+E\)

\(0.003518-0.000964<p<0.003518+0.000964\)

\(0.002554<p<0.004482\)

4. Existe un 95% de probabilidad que\(0.002554<p<0.004482\) contenga la proporción de presos aborígenes fallecidos.

5. La proporción de presos aborígenes fallecidos está entre 0.0026 y 0.0045.

También puedes hacer los cálculos para el intervalo de confianza con tecnología. El siguiente ejemplo muestra el proceso en el TI-83/84.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\) confidence interval for the population proportion using technology

Un investigador que estudia los efectos de los niveles de ingresos en la lactancia materna de los infantes plantea la hipótesis de que los países donde el nivel de ingresos es menor tienen una tasa de lactancia infantil más alta que los países de mayores ingresos. Se sabe que en Alemania, considerado un país de altos ingresos por el Banco Mundial, 22% de todos los bebés son amamantados. En Tayikistán, considerado un país de bajos ingresos por el Banco Mundial, los investigadores encontraron que en una muestra aleatoria de 500 nuevas madres que 125 estaban amamantando a sus infantes. ¿Encuentra un intervalo de confianza del 90% de la proporción de madres en países de bajos ingresos que amamantan a sus bebés?

Anota tu variable aleatoria y el parámetro en palabras.
Indicar y verificar los supuestos para un intervalo de confianza.
Encuentra el estadístico muestral y el intervalo de confianza.
Interpretación Estadística
Interpretación del mundo real

Solución

1. x = número de mujeres que amamantan en un país de bajos ingresos

p = proporción de mujeres que amamantan en un país de bajos ingresos

Se tomó una muestra aleatoria simple de 500 hábitos de lactancia materna de mujeres en un país de bajos ingresos como se indicó en el problema.
Había 500 mujeres en el estudio. Las mujeres son consideradas idénticas, aunque probablemente tengan algunas diferencias. Solo hay dos resultados, o la mujer amamanta o no lo hace La probabilidad de que una mujer amamante probablemente no sea la misma para cada mujer, pero probablemente no sea muy diferente para cada mujer. Se cumplen los supuestos para la distribución binomial
x = 125 y n - x = 500 - 125 = 375 y ambos son mayores o iguales a 5, por lo que la distribución muestral de\(\hat{p}\) es bien aproximada por una curva normal.

3. En el TI-83/84: Entra en el menú STAT. Pasar a PRUEBAS y elegir 1-PROPzint.

Captura de pantalla (150) .png — Figura\(\PageIndex{1}\): Configuración para Intervalo de 1 Proporción

Una vez que presione Calcular, verá los resultados como en la Figura\(\PageIndex{2}\).

Captura de pantalla (151) .png — Figura\(\PageIndex{2}\): Resultados para Intervalo de 1 Proporción

En R: el comando es prop.test (x, n, conf.level = C), donde C se da en forma decimal. Entonces para este ejemplo, el comando es

prop.test (125, 500, nivel conf.= 0.90)

Prueba de proporciones de 1 muestra con corrección de continuidad

datos: 125 de 500, probabilidad nula 0.5

X-cuadrado = 124, df = 1, valor p < 2.2e-16

hipótesis alternativa: p verdadera no es igual a 0.5

Intervalo de confianza del 90 por ciento:

0.2185980 0.2841772

estimaciones de muestra:

0.25

Nuevamente, R hace una corrección de continuidad, por lo que la respuesta está ligeramente alejada de la fórmula y de la calculadora TI-83/84.

0.219 < p < 0.284

4. Existe un 90% de probabilidad de que 0.219 < p < 0.284 contenga la proporción de mujeres en países de bajos ingresos que amamantan a sus bebés.

5. La proporción de mujeres en países de bajos ingresos que amamantan a sus bebés está entre 0.219 y 0.284.

Testo

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

En cada problema mostrar todos los pasos del intervalo de confianza. Si no se cumplen algunos de los supuestos, tenga en cuenta que los resultados del intervalo pueden no ser correctos y luego continuar el proceso del intervalo de confianza.

Eyeglassomatic fabrica anteojos para diferentes minoristas. Prueban para ver cuántas lentes defectuosas fabrican. Al observar el tipo de defectos, encontraron en un periodo de tiempo de tres meses que de 34,641 lentes defectuosas, 5865 fueron por rasguños. Encuentre un intervalo de confianza del 99% para la proporción de defectos que son de rasguños.
En noviembre de 1997, se preguntó a los australianos si pensaban que el desempleo aumentaría. En ese momento 284 de 631 dijeron que pensaban que aumentaría el desempleo (“Encuesta Morgan gallup”, 2013). ¿Estimar la proporción de australianos en noviembre de 1997 que creían que el desempleo aumentaría usando un intervalo de confianza del 95%?
Según el informe de la Comisión Federal de Comercio de febrero de 2008 sobre fraude al consumidor y robo de identidad, Arkansas tenía 1,601 denuncias de robo de identidad de un total de 3,482 quejas de consumidores (“Fraude al consumidor y”, 2008). Calcular un intervalo de confianza del 90% para la proporción de robo de identidad en Arkansas.
Según el informe de la Comisión Federal de Comercio de febrero de 2008 sobre fraude al consumidor y robo de identidad, Alaska tenía 321 denuncias de robo de identidad de un total de 1,432 quejas de consumidores (“Fraude al consumidor y”, 2008). Calcular un intervalo de confianza del 90% para la proporción de robo de identidad en Alaska.
En 2013, la encuesta de Gallup preguntó a 1.039 adultos estadounidenses si creen que hubo una conspiración en el asesinato del presidente Kennedy, y encontró que 634 creen que hubo una conspiración (“Gallup news service”, 2013). Estimar la proporción de estadounidenses que creen en esta conspiración usando un intervalo de confianza del 98%.
En 2008, había 507 niños en Arizona de los 32 mil 601 que fueron diagnosticados con Trastorno del Espectro Autista (TEA) (“Autismo y desarrollo”, 2008). Encuentra la proporción de TEA en Arizona con un nivel de confianza del 99%.

Responder

Para todos los intervalos de confianza, solo se da el intervalo usando la tecnología. Ver solución para toda la respuesta.

1. 0.1641 < p < 0.1745

3. 0.4458 < p < 0.4739

5. 0.5740 < p < 0.6452