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8.3: Intervalo de una muestra para la media

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    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Supongamos que quiere estimar la estatura media de los estadounidenses, o quiere estimar el salario medio de los graduados universitarios. Un intervalo de confianza para la media sería la forma de estimar estas medias.

    Intervalo de confianza para la media de una población (intervalo T)

    1. Indicar la variable aleatoria y el parámetro en palabras.
      x = variable aleatoria
      \(\mu\) = media de la variable aleatoria
    2. Indicar y verificar los supuestos para una prueba de hipótesis
      1. Se toma una muestra aleatoria de tamaño n.
      2. La población de la variable aleatoria se distribuye normalmente, aunque la prueba t es bastante robusta a la suposición de que el tamaño de la muestra es grande. Esto significa que si no se cumple esta suposición, pero el tamaño de su muestra es bastante grande (más de 30), entonces los resultados de la prueba t son válidos.
    3. Encuentre el estadístico de muestra y el intervalo de confianza
      \(\overline{x}-E<\mu<\overline{x}+E\)
      donde
      \(E=t_{c} \dfrac{s}{\sqrt{n}}\)
      \(\overline{x}\) está el estimador de puntos para\(\mu\)
      \(t_{c}\) es el valor crítico donde grados de libertad: df = n - 1
      s es la desviación estándar de la muestra
      n es el tamaño de la muestra
    4. Interpretación estadística: En general esto parece, “hay un C% de probabilidad de que la afirmación\(\overline{x}-E<\mu<\overline{x}+E\) contenga la verdadera media”.
    5. Interpretación del Mundo Real: Aquí es donde declaras qué intervalo contiene la verdadera media.

    El valor crítico es un valor de la distribución t de Student. Dado que se encuentra un intervalo de confianza sumando y restando un margen de cantidad de error de la media de la muestra, y el intervalo tiene una probabilidad de contener la media verdadera, entonces puede pensar en esto como la declaración\(P(\overline{x}-E<\mu<\overline{x}+E)=C\). Los valores críticos se encuentran en la tabla A.2 del apéndice.

    Cómo verificar los supuestos del intervalo de confianza:

    Para que el intervalo de confianza sea válido, los supuestos de la prueba deben ser ciertos. Siempre que ejecutes un intervalo de confianza, debes asegurarte de que las suposiciones sean verdaderas. Es necesario que los revises. Así es como haces esto:

    1. Para el supuesto de que la muestra es una muestra aleatoria, describa cómo tomó la muestra. Asegúrate de que tu técnica de muestreo sea aleatoria.
    2. Para el supuesto de que la población es normal, recuerde el proceso de evaluación de la normalidad a partir del capítulo 6.

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\) confidence interval for the population mean using the formula

    Una muestra aleatoria de 20 puntajes de coeficiente intelectual de personajes famosos se tomó información del sitio web de IQ of Famous People (“IQ of Famous”, 2013) y luego usando un generador de números aleatorios para elegir 20 de ellos. Los datos están en Ejemplo\(\PageIndex{1}\) (este es el mismo conjunto de datos que se utilizó en Ejemplo\(\PageIndex{2}\)). Encuentra un intervalo de confianza del 98% para el coeficiente intelectual de una persona famosa.

    158 180 150 137 109
    225 122 138 145 180
    118 118 126 140 165
    150 170 105 154 118
    Tabla\(\PageIndex{1}\): Puntajes de coeficiente intelectual de personajes famosos
    1. Indicar la variable aleatoria y el parámetro en palabras.
    2. Indicar y verificar los supuestos para un intervalo de confianza.
    3. Encuentra el estadístico muestral y el intervalo de confianza.
    4. Interpretación Estadística
    5. Interpretación del mundo real

    Solución

    1. x = Puntuación de coeficiente intelectual de una persona famosa

    \(\mu\)= puntuación media de coeficiente intelectual de una persona famosa

    2.

    1. Se tomó una muestra aleatoria de 20 puntajes de CI. Esto se planteó en el problema.
    2. La población de puntaje de CI se distribuye normalmente. Esto se mostró en Ejemplo\(\PageIndex{2}\).

    3. Estadística de muestra:

    \(\overline{x} = 145.4\)

    \(s \approx 29.27\)

    Ahora necesitas los grados de libertad, df = n - 1 = 20 - 1 = 19 y el C, que es 98%. Ahora ve a la tabla A.2, baja la primera columna a 19 grados de libertad. Después pasar a la columna encabezada con 98%. Así\(t_{c}=2.539\). (Ver Ejemplo\(\PageIndex{2}\).)

    Captura de pantalla (152) .png

    Tabla\(\PageIndex{2}\): Extracto de la Tabla A.2

    \(E=t_{c} \dfrac{s}{\sqrt{n}}=2.539 \dfrac{29.27}{\sqrt{20}} \approx 16.6\)

    \(\overline{x}-E<\mu<\overline{x}+E\)

    \(145.4-16.6<\mu<145.4+16.6\)

    \(128.8<\mu<162\)

    4. Hay un 98% de probabilidad que\(128.8<\mu<162\) contenga el puntaje medio de CI de una persona famosa.

    5. El puntaje medio de CI de una persona famosa está entre 128.8 y 162.

    Ejemplo\(\PageIndex{2}\) confidence interval for the population mean using technology

    Los datos en Ejemplo\(\PageIndex{3}\) son las expectativas de vida de los hombres en los países europeos en 2011 (“Esperanza de vida de la OMS”, 2013). Encontrar el intervalo de confianza del 99% para la esperanza de vida media de los hombres en Europa.

    7365 79 67 78 69 66 78 74
    71 74 79 75 77 71 78 78
    68 78 78 71 81 79 80 80
    62 65 69 68 79 79 79 73
    79 79 72 77 67 70 63 82
    72 72 77 79 80 80 67 73
    73 60 65 79 66
    Tabla\(\PageIndex{3}\): Esperanza de vida de los hombres en países europeos en 2011
    1. Indicar la variable aleatoria y el parámetro en palabras.
    2. Indicar y verificar los supuestos para un intervalo de confianza.
    3. Encuentra el estadístico muestral y el intervalo de confianza.
    4. Interpretación Estadística
    5. Interpretación del mundo real

    Solución

    1. x = esperanza de vida de un hombre europeo en 2011

    \(\mu\)= esperanza de vida media de los hombres europeos en 2011

    2.

    1. Se tomó una muestra aleatoria de 53 expectativas de vida de hombres europeos en 2011. Los datos son en realidad todas las expectativas de vida de cada país que es considerado parte de Europa por la Organización Mundial de la Salud. Sin embargo, la información sigue siendo información de muestra ya que es solo por un año que se recopilaron los datos. Puede que no sea una muestra aleatoria, pero eso probablemente no sea un problema en este caso.
    2. La distribución de la esperanza de vida de los hombres europeos en 2011 se distribuye normalmente. Para ver si se ha cumplido esta suposición, observe el histograma, el número de valores atípicos y la gráfica de probabilidad normal. (Si lo desea, puede mirar primero la gráfica de probabilidad normal. Si no se ve lineal, entonces es posible que desee mirar el histograma y el número de valores atípicos en este punto).
    Captura de pantalla (153) .png
    Figura\(\PageIndex{1}\): Histograma de esperanza de vida de hombres europeos en 2011

    No distribuido normalmente

    Número de valores atípicos:

    Captura de pantalla (154) .png
    Figura\(\PageIndex{2}\): Gráfica de caja modificada para la esperanza de vida de hombres europeos en 2011

    IQR = 79 - 69 = 10

    1.5 * IQR = 15

    Q 1 - 1.5 * IQR = 69 - 15 = 54

    Q 3 + 1.5 * IQR = 79 + 15 = 94

    Los valores atípicos son números por debajo del 54 y por encima del 94. No hay valores atípicos para este conjunto de datos.

    Captura de pantalla (155) .png
    Figura\(\PageIndex{3}\): Gráfica de cuantiles normales para la esperanza de vida de hombres europeos en 2011

    No lineal

    Esta población no parece estar normalmente distribuida. La prueba t es robusta para tamaños de muestra mayores a 30 para que pueda seguir adelante y calcular el intervalo.

    3. Encuentre el estadístico de muestra y el intervalo de confianza

    En el TI-83/84: Vaya al menú STAT y escriba los datos en L1. Después entra en STAT y otra vez a PRUEBAS. Elija tInterval.

    Captura de pantalla (156) .png
    Figura\(\PageIndex{4}\): Configuración para tInterval
    Captura de pantalla (157) .png
    Figura\(\PageIndex{5}\): Resultados para tInterval

    En R: t.test (variable, conf.level = C), donde C se da en forma decimal. Entonces para este ejemplo sería t.test (expectativa, conf.level = 0.99)

    Prueba t de una muestra

    data: expectativa

    t = 93.711, df = 52, valor p < 2.2e-16

    hipótesis alternativa: la media verdadera no es igual a 0

    Intervalo de confianza del 99 por ciento:

    71.63204 75.83966

    estimaciones de la muestra:

    media de x

    73.73585

    71.6 años <\(\mu\) 75.8 años

    4. Existe un 99% de probabilidad de que 71.6 años <\(\mu\) 75.8 años contenga la esperanza de vida media de los hombres europeos.

    5. La esperanza de vida media de los hombres europeos está entre 71.6 y 75.8 años.

    Testo

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    En cada problema mostrar todos los pasos del intervalo de confianza. Si no se cumplen algunos de los supuestos, tenga en cuenta que los resultados del intervalo pueden no ser correctos y luego continuar el proceso del intervalo de confianza.

    1. El Protocolo de Kyoto se firmó en 1997, y requería que los países comenzaran a reducir sus emisiones de carbono. El protocolo se hizo exigible en febrero de 2005. \(\PageIndex{4}\)El ejemplo contiene una muestra aleatoria de emisiones de CO2 en 2010 (“emisiones de CO2”, 2013). Calcular un intervalo de confianza del 99% para estimar la emisión media de CO2 en 2010.
      1.36 1.42 5.93 5.36 0.06 9.11 7.32
      7.93 6.72 0.78 1.80 0.20 2.27 0.28
      5.86 3.46 1.46 0.14 2.62 0.79 7.48
      0.86 7.84 2.87 2.45
      Tabla\(\PageIndex{4}\): Emisiones de CO2 (toneladas métricas per cápita) en 2010
    2. Mucha gente siente que el cereal es una alternativa más saludable para los niños sobre las donas glaseadas. Ejemplo\(\PageIndex{5}\) contiene la cantidad de azúcar en una muestra de cereal que está dirigida a los niños (“Healthy breakfast story”, 2013). Estimar la cantidad media de azúcar en cereales infantiles utilizando un nivel de confianza del 95%.

      10 14 12 9 13 13 13
      11 12 15 9 10 11 3
      6 12 15 12 12
      Tabla\(\PageIndex{5}\): Cantidades de azúcar (g) en Cereales Infantiles
    3. En Florida, se recolectaron peces lubinos en 53 lagos diferentes para medir la cantidad de mercurio en los peces. Los datos para la cantidad promedio de mercurio en cada lago se encuentran en Ejemplo\(\PageIndex{6}\) (“Actividad multidisciplinaria de niser”, 2013). Calcular un intervalo de confianza de 90% para la cantidad media de mercurio en peces en lagos de Florida.

      1.23 1.33 0.04 0.44 1.20 0.27
      0.48 0.19 0.83 0.81 0.81 0.5
      0.49 1.16 0.05 0.15 0.19 0.77
      1.08 0.98 0.63 0.56 0.41 0.73
      0.34 0.59 0.34 0.84 0.50 0.34
      0.28 0.34 0.87 0.56 0.17 0.18
      0.19 0.04 0.49 1.10 0.16 0.10
      0.48 0.21 0.86 0.52 0.65 0.27
      0.94 0.40 0.43 0.25 0.27
      Tabla\(\PageIndex{6}\): Niveles promedio de mercurio (mg/kg) en peces
    4. En 1882, Albert Michelson recolectó mediciones sobre la velocidad de la luz (“Student t-distribution”, 2013). Sus medidas se dan en Ejemplo\(\PageIndex{7}\). Encuentra el valor de velocidad de la luz que Michelson estimó a partir de sus datos usando un intervalo de confianza del 95%.

      299883 299816 299778 299796 299682
      299711 299611 299599 300051 299781
      299578 299796 299774 299820 299772
      299696 299573 299748 299748 299797
      299851 299809 299723
      Tabla\(\PageIndex{7}\): Velocidad de las mediciones de la luz en (km/seg)
    5. Ejemplo\(\PageIndex{8}\) contiene frecuencias de pulso después de correr por 1 minuto, recolectadas de hembras que beben alcohol (“Pulso de antes”, 2013). La frecuencia media del pulso después de correr por 1 minuto de las hembras que no beben es de 97 latidos por minuto. ¿Los datos muestran que la frecuencia media del pulso de las hembras que sí beben alcohol es mayor que la frecuencia media del pulso de las hembras que no beben? Prueba al nivel del 5%.

      176 150 150 115 129 160
      120 125 89 132 120 120
      68 87 88 72 77 84
      92 80 60 67 59 64
      88 74 68
      Tabla\(\PageIndex{8}\): Pulso de mujeres que consumen alcohol
    6. El dinamismo económico, que es el índice de crecimiento productivo en dólares para los países que son designados por el Banco Mundial como de ingresos medios se encuentran en Ejemplo\(\PageIndex{9}\) (“Datos SOCR 2008,” 2013). Los países que se consideran de ingresos altos tienen un dinamismo económico medio de 60.29. ¿Los datos muestran que el dinamismo económico medio de los países de ingresos medios es menor que la media de los países de ingresos altos? Prueba al nivel del 5%.

      25.8057 37.4511 51.915 43.6952 47.8506 43.7178 58.0767
      41.1648 38.0793 37.7251 39.6553 42.0265 48.6159 43.8555
      49.1361 61.9281 41.9543 44.9346 46.0521 48.3652 43.6252
      50.9866 59.1724 39.6282 33.6074 21.6643
      Tabla\(\PageIndex{9}\): Dinamismo económico ($) de países de renta media
    7. En 1999, el porcentaje promedio de mujeres que recibieron atención prenatal por país es de 80,1%. Ejemplo\(\PageIndex{10}\) contiene el porcentaje de mujeres que recibieron atención prenatal en 2009 para una muestra de países (“Mujer embarazada que recibe”, 2013). ¿Los datos muestran que el porcentaje promedio de mujeres que recibieron atención prenatal en 2009 es mayor que en 1999? Prueba al nivel del 5%.

      70.08 72.73 74.52 75.79 76.28 76.28
      76.65 80.34 80.60 81.90 86.30 87.70
      87.76 88.40 90.70 91.50 91.80 92.10
      92.20 92.41 92.47 93.00 93.20 93.40
      93.63 93.69 93.80 94.30 94.51 95.00
      95.80 95.80 96.23 96.24 97.30 97.90
      97.95 98.20 99.00 99.00 99.10 99.10
      100.00 100.00 100.00 100.00 100.00
      Tabla\(\PageIndex{10}\): Porcentaje de mujeres que reciben atención prenatal
    8. Mantener el equilibrio puede ser más difícil a medida que envejece. Se realizó un estudio para ver qué tan estable es el adulto mayor sobre sus pies. Tenían a los sujetos parados sobre una plataforma de fuerza y hacerlos reaccionar ante un ruido. La plataforma de fuerza entonces midió cuánto se balanceaban hacia adelante y hacia atrás, y los datos están en Ejemplo\(\PageIndex{11}\) (“Mantener el equilibrio mientras”, 2013). ¿Los datos muestran que los adultos mayores se balancean más que el balanceo medio hacia adelante de los jóvenes, que es de 18.125 mm? Prueba al nivel del 5%.

      19 30 20 19 29 25 21 24 50
      Tabla\(\PageIndex{11}\): Balanceo hacia adelante/atrás (en mm) de sujetos de edad avanzada
    Contestar

    Para todos los intervalos de confianza, solo se da el intervalo usando la tecnología. Ver solución para toda la respuesta.

    1. 1.7944 <\(\mu\) < 5.1152 toneladas métricas per cápita

    3. 0.44872 <\(\mu\) < 0.60562 mg/kg

    5. 87.2423 <\(\mu\) < 113.795 golpes/min

    7. 88.8747% <\(\mu\) < 93.0253%

    Fuentes de datos:

    Comisión Australiana de Derechos Humanos, (1996). Muertes indígenas bajo custodia 1989 - 1996. Recuperado del sitio web: www.humanrights.gov.au/public... deaths-custody

    Características de los CDC: nuevos datos sobre trastornos del espectro autista. (2013, 26 de noviembre). Recuperado a partir de www.cdc.gov/features/countingautism/

    Centro de Control y Prevención de Enfermedades, Prevalencia de Trastornos del Espectro Autista - Red de Monitoreo del Autismo y Discapacidades del Desarrollo. (2008 Red de monitoreo de autismo y discapacidades del desarrollo-2012. Recuperado del sitio web: www.cdc.gov/ncbddd/autism/doc... nityReport.pdf

    Emisiones de CO2. (2013, 19 de noviembre). Recuperado a partir de http://data.worldbank.org/indicator/EN.ATM.CO2E.PC

    Comisión Federal de Comercio, (2008). Datos de denuncia por fraude al consumidor y robo de identidad: enero-diciembre de 2007. Recuperado del sitio web: www.ftc.gov/opa/2008/02/fraud.pdf

    Servicio de noticias Gallup. (2013, 7 al 10 de noviembre). Recuperado a partir de www.gallup.com/file/poll/1658... acy_131115.pdf

    Historia del desayuno saludable. (2013, 16 de noviembre). Recuperado de lib.stat.cmu.edu/dasl/stories... Breakfast.html

    Mantener el equilibrio mientras se concentra. (2013, 25 de septiembre). Recuperado a partir de http://www.statsci.org/data/general/balaconc.html

    Encuesta de Morgan Gallup sobre desempleo. (2013, 26 de septiembre). Recuperado a partir de http://www.statsci.org/data/oz/gallup.html

    Actividad multidisciplinaria de niser - mercurio en bajo. (2013, 16 de noviembre). Recuperado de http://gozips.uakron.edu/~nmimoto/pa... /MercuryInBass - description.txt

    Embarazada que recibe atención prenatal. (2013, 14 de octubre). Recuperado a partir de http://data.worldbank.org/indicator/SH.STA.ANVC.ZS

    Pulso antes y después del ejercicio. (2013, 25 de septiembre). Recuperado a partir de http://www.statsci.org/data/oz/ms212.html

    Datos SOCR 2008 rankings mundiales de países. (2013, 16 de noviembre). Recuperado de wiki.stat.ucla.edu/socr/index... OuntrieRankin gs

    Distribución t estudiantil. (2013, 25 de noviembre). Recuperado de lib.stat.cmu.edu/dasl/Stories/Student.html

    Esperanza de vida de la OMS. (2013, 19 de septiembre). Recuperado de www.who.int/gho/mortality_bur... n_trends/es/en dex.html

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