4.4: Ejercicios

Un jugador de basquetbol dispara cuatro tiros libres, y tú anotas la secuencia de golpes y fallos. Anota el espacio muestral para pensar en todo esto como un experimento aleatorio.

En otro juego, una jugadora de basquetbol dispara cuatro tiros libres, y se anota el número de canastas que hace. Anota el espacio muestral para este experimento aleatorio diferente.

Toma un troquel normal de seis lados, pintas por todos los lados y luego escribes la letra A en los seis lados. A continuación, enrolla el dado. ¿Cuál es el espacio muestral de este experimento? Además, enumere todos los eventos posibles para este experimento. [Pista: puede ayudar mirar Ejemplo [4.1.9. ]

Ahora vuelve a pintarlo, y escribe A en la mitad de los lados y B en la otra mitad. Nuevamente, diga cuál es el espacio de muestra y enumere todos los eventos posibles.

Una vez más pintas sobre los lados, luego escribes A en un tercio de las caras, B en un tercio de las otras caras y C en el tercio restante. Nuevamente, dale el espacio de muestra y todos los eventos.

Haz una conjetura sobre cuántos eventos habrá si el espacio muestral tiene\(n\) resultados en él.

Describir un experimento aleatorio cuyo espacio muestral será el conjunto de todos los puntos en el plano (estándar, bidimensional,\(xy\) -).

El último nombre [de familia] más común en el mundo parece ser Wang [o la variante Wong]. Aproximadamente el 1.3% de la población mundial tiene este apellido.

El primer nombre más común en el mundo parece ser Mohammad [o una de varias variantes]. Algunas estimaciones sugieren que tal vez hasta el 2% de la población mundial tiene este nombre.

¿Se puede decir, de la información anterior, qué porcentaje de la población mundial tiene el nombre de “Mohammad Wang?” Si es así, ¿por qué y qué sería? Si no, ¿por qué no, y puedes hacer alguna conjetura sobre cuál sería ese porcentaje, de todos modos?

[Sugerencia: piense en todos los porcentajes anteriores como probabilidades, donde el experimento es elegir a una persona al azar en la Tierra y preguntar su nombre. Describa cuidadosamente algunos eventos para este experimento, relevantes para este problema, y diga cuáles son sus probabilidades. Indicar cómo combinar eventos calculará o no la probabilidad del evento deseado, correspondiente al porcentaje deseado.]

[Nota: no apuestes a que los números dados en este problema sean demasiado precisos —podrían serlo, pero hay una amplia gama de valores publicados para ellos en la información pública de diferentes fuentes, por lo que probablemente solo sean una aproximación muy cruda.]

Supongamos que cuando la gente tiene hijos, la posibilidad de tener un niño o una niña es la misma. Supongamos también que los sexos de los sucesivos hijos de una misma familia son independientes. [Ninguno de estos es exactamente cierto en la vida real, pero vamos a fingir por este problema.]

La familia Wang tiene dos hijos. Si pensamos en los sexos de estos niños como resultado de un experimento aleatorio, ¿cuál es el espacio muestral? Tenga en cuenta que también nos interesa el orden de nacimiento, por lo que debería ser evidente a partir del espacio muestral.

¿Cuáles son las probabilidades de cada uno de los resultados en su espacio muestral? ¿Por qué?

Ahora supongamos que sabemos que al menos uno de los niños Wang es un niño. Ante esta información, ¿cuál es la probabilidad de que los Wangs tengan dos niños?

Supongamos en cambio que sabemos que el hijo mayor de los Wangs es un niño. ¿Cuál es la probabilidad, dada esta información diferente, de que ambos niños Wang sean niños?

Para resolver esto, defina claramente los eventos en palabras y con símbolos, calcule las probabilidades y combínelas para obtener la probabilidad deseada. Explique todo lo que haga, por supuesto.

Imagina que vives en una calle con un semáforo en ambos extremos de la cuadra. Observa los autos conduciendo por la calle y notas cuáles tienen que detenerse en el\(1^{st}\) y/o\(2^{nd}\) luz (o ninguno). Después de contar autos y paradas durante un año, has visto lo que hizo un número muy grande —llámalo\(N\) — de autos. Ahora imagina que decides pensar en el experimento “elige un auto en esta calle del año pasado al azar y notar en qué luz o luces tiene que parar”.

Que\(A\) sea el evento “el auto tuvo que detenerse en el\(1^{st}\) semáforo” y\(B\) ser el evento “el auto tuvo que detenerse en el\(2^{nd}\) semáforo”. ¿Qué más tendría que contar, a lo largo de su año de recolección de datos, para estimar las probabilidades de\(A\) y de\(B\)? Escoge algunos números para todas estas variables y muestra cuáles serían las probabilidades entonces.

Haz un diagrama de Venn de esta situación. Etiquetar cada una de las cuatro regiones conectadas de este diagrama (los países, si esto fuera un mapa) con un número de a, luego proporcionar una clave que dé, para cada una de estas regiones numeradas, una fórmula en términos de\(A\),\(B\), uniones, intersecciones, y/o complementos, y luego también una descripción enteramente en palabras que no mencionan\(A\)\(B\) o establecen operaciones en absoluto. Después poner un número decimal en cada una de las regiones indicando la probabilidad del evento correspondiente.

Espera — para una de las regiones, todavía no puedes llenar la probabilidad, con la información que has recopilado hasta ahora. ¿Qué más habría tenido que contar durante el año de recolección de datos para estimar esta probabilidad? Informar un número y mostrar cuál sería entonces la probabilidad correspondiente, y agrega ese número a tu diagrama de Venn.

Por último, utilizando las probabilidades que has elegido, ¿son los eventos\(A\) e\(B\) independientes? ¿Por qué o por qué no? Explique con palabras lo que esto significa, en este contexto.

EJERCICIO 4.7. Aquí hay una tabla de los premios para la Lotería EnergyCube:

Premio	Probabilidades de ganar
$1,000,000	1 en 12,000,000
$50,000	1 en 1,000,000
$100	1 en 10,000
$7	1 en 300
$4	1 en 25

Queremos transformar lo anterior en la distribución [probabilidad] de una variable aleatoria\(X\).

En primer lugar, hagamos\(X\) representar la ganancia neta que tendría un jugador de la Lotería por los diversos resultados de jugar; tenga en cuenta que el boleto para jugar cuesta $2. ¿Cómo modificaría los números anteriores para tener en cuenta los costos de los boletos?

A continuación, observe que la tabla anterior da probabilidades de ganar, no probabilidades. ¿Cómo computarás las probabilidades a partir de esas probabilidades? Recordemos que decir algo tiene probabilidades de “1 en\(n\)” significa que tiende a suceder aproximadamente una vez fuera de las\(n\) ejecuciones del experimento. Podrías usar la palabra frecuentista en algún lugar de tu respuesta aquí.

Por último, falta algo en la tabla de resultados anterior. ¡Qué premio — en realidad el más común! — falta en la mesa, y ¿cómo averiguará su probabilidad?

Después de dar todas las explicaciones anteriores, ahora anote la distribución de probabilidad completa, formal, para esta variable aleatoria de “ganancia neta en juegos de Lotería EnergyCube”,\(X\).

En este problema, algunos de los números son bastante pequeños y desaparecerán por completo si los redondea. Así que usa una calculadora o computadora para computar todo aquí y mantener tanta precisión como muestre tu dispositivo para cada paso del cálculo.

EJERCICIO 4.8. Continuando con el mismo escenario que en el anterior Ejercicio 4.7, con la Lotería EnergyCube: ¿Cuál sería su expectativa de la ganancia promedio por jugada de esta Lotería? Explique a fondo, claro.

Entonces, si tuvieras que jugar todos los días de la semana durante un ciclo escolar (así: cinco días a la semana durante las 15 semanas de cada semestre, dos semestres del año), ¿cuánto esperarías ganar o perder en total?

Nuevamente, use tanta precisión como tenga su dispositivo computacional, en cada paso de estos cálculos.

EJERCICIO 4.9. Último problema en la situación de lo anterior Ejercicio 4.7 sobre la Lotería En- ErgyCube: Supongamos que tu amiga juega a la lotería y te llama para decirte que ganó... pero su celular se queda sin cargo en medio de la llamada, y no sabes cuánto ganó. Dada la información de que ganó, ¿cuál es la probabilidad de que ganara más de mil dólares?

Continúa usando tanta precisión numérica como puedas.

EJERCICIO 4.10. Hagamos una versión modificada del Ejemplo 4.3.18. De nuevo estás lanzando dardos a una dardos, pero notas que eres muy zurdo así que tus tiros tiran a la derecha mucho más de lo que tiran hacia la izquierda. Lo que esto significa es que no es un muy buen modelo de tus lanzamientos de dardos solo para notar lo lejos que están del centro del tablero de dardos, sería mejor notar la coordenada x de donde golpea el dardo, midiendo (en cm) con el centro del tablero en x ubicación 0. Esta será tu nueva elección de RV, a la que aún llamarás X.

Tiras repetidamente al tablero, mides\(X\), y descubres que nunca golpeas más que\(10cm\) a la derecha del centro, mientras que eres más preciso a la izquierda y nunca golpeas más que\(5cm\) en esa dirección. Si golpeas el medio (\(X=0\)) lo más a menudo, y adivinas que la probabilidad disminuye linealmente a esos bordes donde nunca golpeas.

Explica por qué tu\(X\) es un RV continuo, y cuál es su intervalo\([x_{min},x_{max}]\) de valores.

Ahora dibuja el gráfico de la función de densidad de probabilidad para\(X\). [Sugerencia: será un triángulo, con un lado a lo largo del intervalo de valores\([x_{min},x_{max}]\) en el\(x\) eje -y su máximo en el centro del tablero de dardos.] Asegúrate de poner marcas de verificación y números en los ejes, lo suficiente para que las coordenadas de las esquinas de la gráfica triangular se puedan ver fácilmente. [Otra pista: es un hecho útil que el área total bajo la gráfica de cualquier función de densidad de probabilidad es\(1\).]

¿Cuál es la probabilidad de que tu próximo lanzamiento sea en el ojo de buey, cuyo radio, recuerden, es\(1.5cm\) y que por lo tanto se extiende de\(x\) coordenada\(-1.5\) a\(x\) coordenada\(1.5\)?

EJERCICIO 4.11. Aquí está nuestra última discusión sobre las dianas [¿tal vez?] : Uno de los prob- lems con los enfoques de función de densidad de probabilidad del Ejemplo 4.3.18 y Exer- cise 4.10 es la suposición de que las funciones fueron lineales (al menos en pedazos). Sería mucho más sensato asumir que tenían más forma de campana, tal vez como la distribución Normal.

Supongamos que su amigo Mohammad Wang es un excelente jugador de dardos. Él lanza a una tabla y se mide la coordenada x de donde va el dardo, como en el Ejercicio 4.10 con el centro correspondiente a x = 0. Te das cuenta de que sus dardos rara vez son — ¡solo el 5% del tiempo en total! — a más de 5cm del centro de la tabla.

Rellene los espacios en blanco: “Las coordenadas x de los golpes de dardo de MW son una X RV que normalmente se distribuye con la media μ _X = y la desviación estándar σ _X =_______”. Explique, por supuesto.

¿Con qué frecuencia MW pierde por completo la darda de dardos? Su radio es\(10cm\).

¿Con qué frecuencia golpea el ojo de buey? Recuerde que su radio es\(1.5cm\), es decir, que se extiende de\(x\) coordenada\(-1.5\) a\(x\) coordenada\(1.5\).