4: Teoría de Probabilidad

Queremos imaginarnos haciendo un experimento en el que no haya forma de predecir cuál será el resultado. Por supuesto, si ahí paramos nuestra imaginación, no habría nada que pudiéramos decir y no tendría sentido tratar de hacer más análisis: el resultado sería simplemente lo que quisiera ser, sin patrón alguno.

Entonces, agreguemos la suposición adicional de que si bien no podemos predecir lo que sucederá en un momento en particular que hagamos el experimento, podemos predecir tendencias generales, a la larga, si repetimos el experimento muchas veces. Para ser más precisos, suponemos que, para cualquier colección\(E\) de posibles resultados del experimento hay un número\(p(E)\) tal que, no importa quién haga el experimento, no importa cuándo lo hagan, si repiten el experimento muchas veces, la fracción de veces que tendrían visto alguno de los resultados de\(E\) estaría cerca de ese número\(p(E)\).

A esto se le llama el enfoque frecuentista a la idea de probabilidad. Si bien no es universalmente aceptada —la alternativa bayesiana de hecho tiene muchos adherentes—, tiene la virtud de ser la forma más consistente internamente de construir una base para la probabilidad. Por esa razón, seguiremos la descripción frecuentista de probabilidad en este texto.

Antes de saltar a las formalidades matemáticas, debemos motivar dos piezas de lo que acabamos de decir. Primero, ¿por qué hablar de conjuntos de resultados del experimento en lugar de hablar de resultados individuales? La respuesta es que a menudo nos interesan conjuntos de resultados, como veremos más adelante en este libro, por lo que es agradable configurar la maquinaria desde el principio para trabajar con tales conjuntos. O, para dar un ejemplo concreto en particular, supongamos que estabas jugando una partida de cartas y pudieras ver tu mano pero no las manos de los otros jugadores. Te podría interesar mucho qué tan probable es que tu mano sea una mano ganadora, es decir, ¿cuál es la probabilidad del conjunto de todas las configuraciones posibles de todas las demás cartas en el mazo y en las manos de tus oponentes para lo que lo que tienes será la mano ganadora? Son situaciones como esta las que motivan un enfoque basado en conjuntos de resultados del experimento aleatorio.

Otra pregunta que podríamos hacernos es: ¿de dónde viene nuestra incertidumbre sobre los resultados experimentales? Desde los inicios del método científico hasta el cambio de\(20^{th}\) siglo, se pensó que esta incertidumbre provenía de nuestro conocimiento incompleto del sistema en el que estábamos experimentando. Entonces, si el experimento fue, digamos, voltear una moneda, la cantidad precisa de fuerza utilizada para impulsar la moneda hacia arriba en el aire, el preciso movimiento angular impartido a la moneda por su posición justo así en la miniatura de la persona que hace el volteo, el arrastre preciso que la moneda sintió al caer por el aire causó en parte por remolinos en las corrientes de aire provenientes del colgajo de las alas de una mariposa en la selva amazónica, todas estas cosas podrían contribuir significativamente a cambiar si la moneda eventualmente llegaría de cabeza o de cola. A menos que la aleta de monedas fuera un robot operando en vacío, entonces, simplemente no habría forma de conocer todos estos detalles físicos con suficiente precisión para predecir el lanzamiento.

Después del cambio de\(20^{th}\) siglo, las cosas empeoraron aún más (al menos para los deterministas físicos): entonces surgió una nueva teoría de la física, llamada Mecánica Cuántica, según la cual la verdadera aleatoriedad se construye en las leyes del universo. Por ejemplo, si tienes una fuente de luz muy tenue, que produce los “trozos” de luz absolutamente más pequeños posibles (llamados fotones), y la haces brillar a través de primero un filtro polarizador y luego ver si pasa por un segundo filtro en\(45^\circ\) ángulo con el primero, entonces la mitad de los fotones pasarán por el segundo filtro, pero no hay absolutamente ninguna manera de predecir si algún fotón en particular obtendrá aunque o no. La mecánica cuántica está llena de ideas muy raras, no intuitivas, pero es una de las teorías más probadas en la historia de la ciencia, y ha pasado todas las pruebas.