10.4: ¿Qué es la probabilidad?

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Informalmente, generalmente pensamos en la probabilidad como un número que describe la probabilidad de que ocurra algún evento, que va de cero (imposibilidad) a uno (certeza). En ocasiones, las probabilidades se expresarán en porcentajes, que van de cero a cien, como cuando el pronóstico del tiempo predice un veinte por ciento de probabilidad de lluvia hoy. En cada caso, estos números están expresando cuán probable es ese evento en particular, que van desde absolutamente imposible hasta absolutamente cierto.

Para formalizar la teoría de probabilidad, primero necesitamos definir algunos términos:

Un experimento es cualquier actividad que produce u observa un resultado. Los ejemplos son voltear una moneda, rodar un dado de 6 lados o probar una nueva ruta para trabajar para ver si es más rápido que la ruta anterior.
El espacio muestral es el conjunto de posibles resultados para un experimento. Los representamos enumerándolos dentro de un conjunto de corchetes ondulados. Para un volteo de monedas, el espacio de muestra es {cabezas, colas}. Para una matriz de seis caras, el espacio muestral es cada uno de los posibles números que pueden aparecer: {1,2,3,4,5,6}. Por la cantidad de tiempo que lleva ponerse a trabajar, el espacio muestral es todos los números reales posibles mayores a cero (ya que no puede tomar una cantidad negativa de tiempo llegar a alguna parte, al menos aún no). No nos molestaremos en tratar de escribir todos esos números entre paréntesis.
Un evento es un subconjunto del espacio de muestra. En principio podría ser uno o más de los posibles resultados en el espacio muestral, pero aquí nos centraremos principalmente en eventos elementales que consisten exactamente en un resultado posible. Por ejemplo, esto podría ser obtener cabezas en un solo volteo de moneda, rodar un 4 en un tiro del dado, o tomar 21 minutos para llegar a casa por la nueva ruta.

Ahora que tenemos esas definiciones, podemos delinear las características formales de una probabilidad, que primero fueron definidas por el matemático ruso Andrei Kolmogorov. Estas son las características que un valor tiene que tener si va a ser una probabilidad. Si $P (X_i)$ es la probabilidad de eventoX _i:

La probabilidad no puede ser negativa: $P (x_I)\ ge 0$
La probabilidad total de todos los resultados en el espacio muestral es 1; es decir, si tomamos la probabilidad de cada elemento en el espacio muestral y los sumamos, deben sumar a 1. Podemos expresarlo usando el símbolo de suma:
$\sum_{i=1}^{N} P\left(X_{i}\right)=P\left(X_{1}\right)+P\left(X_{2}\right)+\ldots+P\left(X_{N}\right)=1$

Esto se interpreta como decir “Toma todos los N eventos elementales, que hemos etiquetado del 1 al N, y sumar sus probabilidades. Estos deben sumar a uno”.
- La probabilidad de cualquier evento individual no puede ser mayor que uno:$P(X_{i})≤1$. Esto está implícito en el punto anterior; ya que deben sumar a uno, y no pueden ser negativos, entonces cualquier probabilidad en particular debe ser menor o igual a uno.