1.5: Evaluación de los Residuales

En esta subsección se introducen varias pruebas de bondad de ajuste para analizar más a fondo los residuos obtenidos tras la eliminación de componentes de tendencia y estacionales. El objetivo principal es determinar si estos residuos pueden considerarse obtenidos o no a partir de una secuencia de variables aleatorias independientes, distribuidas idénticamente o si hay dependencia en los datos. A lo largo\(Y_1,\ldots,Y_n\) denotan los residuos y\(y_1,\ldots,y_n\) una realización típica.

Método 1 (La muestra ACF) Se pudo observar en el Ejemplo 1.2.4 que, para\(j\not=0\), los estimadores\(\hat{\rho}(j)\) de la ACF\(\rho(j)\) son asintóticamente independientes y normalmente se distribuyen con media cero y varianza\(n^{-1}\), siempre que los residuos subyacentes sean independientes e idénticamente distribuidos con una varianza finita. Por lo tanto, trazando el ACF de muestra para un cierto número de rezagos\(h\), digamos, se espera que aproximadamente el 95% de estos valores estén dentro de los límites\(\pm 1.96/\sqrt{n}\). La función R acf ayuda a realizar este análisis. (Ver Teorema 1.2.1)

Método 2 (La prueba de Portmanteau) La prueba Portmanteau se basa en el estadístico de prueba

\[ Q=n\sum_{j=1}^h\hat{\rho}^2(j). \nonumber \]

Utilizando el hecho de que las variables\(\sqrt{n}\hat{\rho}(j)\) son normales asintóticamente estándar, se hace evidente que a\(Q\) sí misma se puede aproximar con una distribución chi-cuadrada que posee\(h\) grados de libertad. La hipótesis de residuos independientes e idénticamente distribuidos es rechazada al nivel\(\alpha\) if\(Q>\chi_{1-\alpha}^2(h)\), donde\(\chi_{1-\alpha}^2(h)\) está el\(1-\alpha\) cuantil de la distribución chi-cuadrado con\(h\) grados de libertad. En la literatura se han establecido varios refinamientos de la prueba Portmanteau original. Nos referimos aquí solo a los papeles Ljung y Box (1978), y McLeod y Li (1983) para mayor información.

Método 3 (La prueba de rango) Esta prueba es muy útil para encontrar tendencias lineales. Denotar por

\[\Pi=\#\{(i,j):Y_i>Y_j,\,i>j,\,i=2,\ldots,n\} \nonumber \]

el número aleatorio de pares\((i,j)\) que satisfacen las condiciones\(Y_i>Y_j\) y\(i>j\). Hay\({n \choose 2}=\frac 12n(n-1)\) pares\((i,j)\) tales que\(i>j\). Si\(Y_1,\ldots,Y_n\) son independientes e idénticamente distribuidos, entonces\(P(Y_i>Y_j)=1/2\) (asumiendo una distribución continua). Ahora se deduce eso\(\mu_\Pi=E[\Pi]=\frac 14n(n-1)\) y, de igual manera,\(\sigma_\Pi^2=\mbox{Var}(\Pi)=\frac{1}{72}n(n-1)(2n+5)\). Además, para tamaños de muestra suficientemente grandes\(n\),\(\Pi\) tiene una distribución normal aproximada con media\(\mu_\Pi\) y varianza\(\sigma_\Pi^2\). En consecuencia, la hipótesis de datos independientes, distribuidos idénticamente sería rechazada a nivel\(\alpha\) si

\[P=\frac{|\Pi-\mu_\Pi|}{\sigma_\Pi}>z_{1-\alpha/2}, \nonumber \]

donde\(z_{1-\alpha/2}\) denota el\(1-\alpha/2\) cuantil de la distribución normal estándar.

Método 4 (Pruebas de normalidad) Si hay evidencia de que los datos son generados por variables aleatorias gaussianas, se puede crear la gráfica qq para verificar la normalidad. Se basa en una inspección visual de los datos. Para ello, denotan por\(Y_{(1)}<\ldots<Y_{(n)}\) el orden las estadísticas de los residuos\(Y_1,\ldots,Y_n\) que normalmente se distribuyen con valor esperado\(\mu\) y varianza\(\sigma^2\). Sostiene que

\ begin {ecuación}\ label {eq:1.5.1} E [Y_ {(j)}] =\ mu+\ sigma E [X_ {(j)}],\ tag {1.5.1}\ end {ecuación}

donde\(X_{(1)}<\ldots<X_{(n)}\) están las estadísticas de orden de una distribución normal estándar. La gráfica qq se define como la gráfica de los pares\((E[X_{(1)}],Y_{(1)}),\ldots,(E[X_{(n)}],Y_{(n)})\). Según display (1.5.1), la gráfica resultante será aproximadamente lineal con la correlación cuadrada\(R^2\) de los puntos cercana a 1. El supuesto de normalidad será así rechazado si\(R^2\) es “demasiado” pequeño. Es común aproximarse\(E[X_{(j)}]\approx\Phi_j=\Phi^{-1}((j-.5)/n)\) (\(\Phi\)siendo la función de distribución de la distribución normal estándar). La declaración anterior se hace precisa al dejar

\[R^2=\frac{\left[\sum_{j=1}^n(Y_{(j)}-\bar{Y})\Phi_j\right]^2}{\sum_{j=1}^n(Y_{(j)}-\bar{Y})^2\sum_{j=1}^n\Phi_j^2}, \nonumber \]

donde\(\bar{Y}=\frac 1n(Y_1+\ldots+Y_n)\). Los valores críticos para\(R^2\) están tabulados y se pueden encontrar, por ejemplo en Shapiro y Francia (1972). La función R correspondiente es qqnorm.