2.2: Estimación de la función de autocovarianza

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En esta sección se aborda la estimación del ACVF y el ACF al rezago$h$. Recordemos de la ecuación (1.2.1) que el estimador

\[ \hat{\gamma}(h)=\frac 1n\sum_{t=1}^{n-|h|}(X_{t+|h|}-\bar{X}_n)(X_t-\bar{X}_n), \qquad h=0,\pm 1,\ldots, \pm(n-1), \nonumber \]

puede ser utilizado como un proxy para lo desconocido$\gamma(h)$. Como estimador para el ACF$\rho(h)$,

\[ \hat{\rho}(h)=\frac{\hat{\gamma}(h)}{\hat\gamma(0)},\qquad h=0,\pm 1,\ldots,\pm(n-1), \nonumber \]

fue identificado. Algunas de las propiedades teóricas de$\hat{\rho}(h)$ se recogen brevemente a continuación. No son tan obvias de derivar como en el caso de la media muestral, y se omiten todas las pruebas. Obsérvese también que declaraciones similares$\hat{\gamma}(h)$ se mantienen para también.

El estimador$\hat{\rho}(h)$ es generalmente sesgado, es decir,$E[\hat{\rho}(h)]\not=\rho(h)$. Sostiene, sin embargo, bajo suposiciones no restrictivas que\[ E[\hat{\rho}(h)]\to\rho(h)\qquad (n\to\infty). \nonumber \] Esta propiedad se denomina falta de sesgo asintótico.
El estimador$\hat{\rho}(h)$ es consistente para$\rho(h)$ bajo un conjunto apropiado de supuestos, es decir,$\mathrm{Var}(\hat{\rho}(h)-\rho(h))\to 0$ como$n\to\infty$.

Ya se estableció en la Sección 1.5 cómo se$\hat{\rho}$ puede utilizar el ACF de muestra para probar si los residuos consisten en variables de ruido blanco. Para una inferencia estadística más general, se necesita conocer la distribución muestral de$\hat{\rho}$. Dado que la estimación de$\rho(h)$ se basa en solo unas pocas observaciones para$h$ cerca del tamaño de la muestra$n$, las estimaciones tienden a ser poco confiables. Como regla general, dada por Box y Jenkins (1976),$n$ debe ser por lo menos 50 e$h$ inferior o igual a n/4.

Teorema$\PageIndex{1}$

For$m\geq 1$, let$\mathbf{\rho}_m=(\rho(1),\ldots,\rho(m))^T$ y$\mathbf{\hat{\rho}}_m=(\hat{\rho}(1),\ldots,\hat{\rho}(m))^T$, donde$^T$ denota la transposición de un vector. Bajo un conjunto de supuestos adecuados, sostiene que

\[ \sqrt{n}(\mathbf{\hat{\rho}}_m-\mathbf{\rho}_m)\sim AN(\mathbf{0},\Sigma)\qquad (n\to\infty), \nonumber \]

donde$\sim AN(0,\Sigma)$ significa aproximadamente distribuido normalmente con vector medio$\mathbf{0}$ y matriz de covarianza$\Sigma=(\sigma_{ij})$ dada por la fórmula de Bartlett

\[ \sigma_{ij}=\sum_{k=1}^\infty\big[\rho(k+i)+\rho(k-i)-2\rho(i)\rho(k)\big]\big[\rho(k+j)+\rho(k-j)-2\rho(j)\rho(k)\big]. \nonumber \]

El apartado se concluye con dos ejemplos. El primero recuerda los resultados ya conocidos para variables aleatorias independientes, distribuidas idénticamente, el segundo trata sobre el proceso autorregresivo del Ejemplo (2.2.1).

Ejemplo$\PageIndex{1}$

Vamos$(X_t\colon t\in\mathbb{Z})\sim\mathrm{IID}(0,\sigma^2)$. Entonces,$\rho(0)=1$ y$\rho(h)=0$ para todos$h\not=0$. Por lo tanto, la matriz$\Sigma$ de covarianza viene dada por

\[ \sigma_{ij}=1\quad\mbox{if $i=j$} \qquad and \qquad \sigma_{ij}=0\quad\mbox{if $i\not=j$}. \nonumber \]

Esto quiere decir que$\Sigma$ es una matriz diagonal. En vista del Teorema 2.2.1 se sostiene así que los estimadores$\hat{\rho}(1),\ldots,\hat{\rho}(k)$ son aproximadamente variables aleatorias normales independientes e idénticamente distribuidas con media 0 y varianza$1/n$. Esta fue la base para los Métodos 1 y 2 en la Sección 1.6 (ver también Teorema 1.2.1).

Ejemplo$\PageIndex{2}$

Reconsiderar el proceso autorregresivo$(X_t\colon t\in\mathbb{Z})$ del Ejemplo 2.1.1 con$\mu=0$. Dividiendo$\gamma(h)$ por$\gamma(0)$ rendimientos que

\[ \rho(h)=\phi^{|h|},\qquad h\in\mathbb{Z}. \nonumber \]

Ahora las entradas diagonales de$\Sigma$ se calculan como

\ begin {align*}
\ sigma_ {ii} &=\ sum_ {k=1} ^\ infty\ grande [\ rho (k+i) +\ rho (k-i) -2\ rho (i)\ rho (k)\ grande] ^2\\ [.2cm]
&=\ suma_ {k=1} ^i\ phi^ {2i} (\ phi^ {-k} -\ phi^k) ^2+\ sum_ {k=i+1} ^\ infty\ phi^ {2k} (\ phi^ {-i} -\ phi^i) ^2\\ [.2cm]
& =( 1-\ phi^ {2i}) (1+\ phi^2) (1-\ phi^2) ^ {-1} -2i\ phi^ {2i}.
\ end {alinear*}