4.3: Paradojas

Gran parte de esta sección está basada en un artículo de Snell y Vanderbei. ¹⁸

Hay que tener mucho cuidado al tratar los problemas que involucran probabilidad condicional. El lector recordará que en el problema de Monty Hall (Ejemplo 4.1.6, si el concursante elige la puerta con el auto detrás de ella, entonces Monty tiene la opción de puertas para abrir. Hicimos una suposición de que en este caso, elegirá cada puerta con probabilidad 1/2. Entonces notamos que si se cambia esta suposición, cambia la respuesta a la pregunta original. En esta sección, estudiaremos otros ejemplos del mismo fenómeno.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\):

Considera una familia con dos hijos. Dado que uno de los niños es un niño, ¿cuál es la probabilidad de que ambos niños sean niños?

Una forma de abordar este problema es decir que el otro niño es igualmente probable que sea niño o niña, por lo que la probabilidad de que ambos niños sean niños es de 1/2. La solución del “libro de texto” sería dibujar el diagrama de árbol y luego formar el árbol condicional eliminando rutas para dejar solo aquellas rutas que sean consistentes con la información dada. El resultado se muestra en la Figura 4.12. Vemos que la probabilidad de que dos niños le den a un niño en la familia no es 1/2 sino 1/3.

Este problema y otros similares se discuten en Bar-Hillel y Falk. ¹⁹ Estos autores enfatizan que la respuesta a probabilidades condicionales de este tipo puede cambiar dependiendo de cómo se obtuvo realmente la información dada. Por ejemplo, muestran que 1/2 es la respuesta correcta para el siguiente escenario.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

El señor Smith es padre de dos hijos. Lo encontramos caminando por la calle con un joven al que orgullosamente presenta como su hijo. ¿Cuál es la probabilidad de que el otro hijo del señor Smith sea también un niño?

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Como de costumbre tenemos que hacer algunas suposiciones adicionales. Por ejemplo, asumiremos que si el señor Smith tiene un niño y una niña, es igualmente probable que elija uno para que lo acompañe en su caminata. En la Figura 4.13 mostramos el análisis de árbol de este problema y vemos que 1/2 es, efectivamente, la respuesta correcta.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\):

No es tan fácil pensar en escenarios razonables que conducirían a la clásica respuesta 1/3. Stephen Geller intentó proponerle este problema a Marilyn vos Savant. ²⁰ El problema de Geller es el siguiente: Un tendero dice que tiene dos beagles nuevos bebés que mostrarte, pero no sabe si ambos son hombres, ambas mujeres, o uno de cada sexo. Le dices que solo quieres un varón, y ella llama por teléfono al tipo que les está dando un baño. “¿Al menos uno es varón?” ella pregunta. “Sí”, te informa con una sonrisa. ¿Cuál es la probabilidad de que el otro sea masculino?

Se pide al lector que decida si el modelo que da una respuesta de 1/3 es razonable para usar en este caso.

En los ejemplos anteriores, las aparentes paradojas podrían resolverse fácilmente señalando claramente el modelo que se está utilizando y los supuestos que se están haciendo. Pasamos ahora a algunos ejemplos en los que las paradojas no se resuelven tan fácilmente.

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Dos sobres cada uno contienen una cierta cantidad de dinero. Un sobre se le da a Ali y el otro a Baba y se les dice que un sobre contiene el doble de dinero que el otro. No obstante, ninguno sabe quién tiene el premio mayor. Antes de que alguien haya abierto su sobre, a Ali se le pregunta si le gustaría cambiar su sobre con Baba. Ella razona de la siguiente manera: Supongamos que la cantidad en mi sobre es\(x\). Si cambio, terminaré\(x/2\) con probabilidad 1/2, y\(2x\) con probabilidad 1/2. Si me dieran la oportunidad de jugar a este juego muchas veces, y si tuviera que cambiar cada vez, obtendría, en promedio,\[\frac 12 \frac x2 + \frac 12 2x = \frac 54 x\ .\] Esto es mayor que mis ganancias promedio si no cambiara.

Por supuesto, a Baba se le presenta la misma oportunidad y razones de la misma manera para concluir que a él también le gustaría cambiar. Entonces cambian y cada uno piensa que su patrimonio neto acaba de subir un 25%.

Dado que ninguno de los dos ha abierto todavía ningún sobre, este proceso se puede repetir y así nuevamente cambian. Ahora están de vuelta con sus sobres originales y sin embargo piensan que su fortuna ha aumentado 25% dos veces. Por este razonamiento, podrían convencerse de que al cambiar repetidamente los sobres, podrían volverse arbitrariamente ricos. Claramente, algo está mal con el razonamiento anterior, pero ¿dónde está el error?

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Uno de los trucos para hacer paradojas es hacerlas un poco más difíciles de lo necesario para confundirnos aún más. Como ha sugerido John Finn, en esta paradoja bien podríamos haber empezado con un problema más sencillo. Supongamos que Ali y Baba saben que voy a dar entonces ya sea un sobre con $5 o uno con $10 y voy a tirar una moneda para decidir cuál darle a Ali, y luego darle la otra a Baba. Entonces Ali puede argumentar que Baba tiene\(2x\) con probabilidad\(1/2\) y\(x/2\) con probabilidad\(1/2\). Esto lleva a Ali a la misma conclusión que antes. Pero ahora está claro que esto es una tontería, ya que si Ali tiene el sobre que contiene 5 dólares, Baba no puede tener la mitad de esto, es decir, $2.50, ya que esa ni siquiera era una de las opciones. De igual manera, si Ali tiene $10, Baba no puede tener el doble, es decir 20 dólares. De hecho, en este problema más simple los posibles resultados están dados por el diagrama de árbol en la Figura 4.14. Del diagrama, queda claro que ninguno de los dos se hace mejor al conmutar.

En el ejemplo anterior, el razonamiento de Ali es incorrecto porque infiere que si la cantidad en su sobre es\(x\), entonces la probabilidad de que su sobre contenga la cantidad menor es 1/2, y la probabilidad de que su sobre contenga la cantidad mayor también es 1/2. De hecho, estas probabilidades condicionales dependen de la distribución de los montos que se colocan en los sobres.

Por definición, vamos a\(X\) denotar la variable aleatoria de valor entero positivo que representa la menor de las dos cantidades en las envolventes. Supongamos, además, que se nos da la distribución de\(X\), es decir, para cada entero positivo\(x\), se nos da el valor de\[p_x = P(X = x)\ .\] (En el ejemplo de Finn,\(p_5 = 1\), y\(p_{n} = 0\) para todos los demás valores de\(n\).) Entonces es fácil calcular la probabilidad condicional de que un sobre contenga la cantidad menor, dado que contiene\(x\) dólares. Los dos posibles puntos de muestreo son\((x, x/2)\) y\((x, 2x)\). Si\(x\) es impar, entonces el primer punto de muestra tiene probabilidad 0, ya que no\(x/2\) es un entero, por lo que la probabilidad condicional deseada es 1 que\(x\) es la cantidad menor. Si\(x\) es par, entonces los dos puntos de muestra tienen probabilidades\(p_{x/2}\) y\(p_x\), respectivamente, por lo que la probabilidad condicional que\(x\) es la cantidad menor es la\[\frac{p_x}{p_{x/2} + p_x}\ ,\] que no necesariamente es igual a 1/2.

Steven Brams y D. Marc Kilgour ²¹ estudian el problema, para diferentes distribuciones, de si uno debe o no cambiar de sobres, si el objetivo de uno es maximizar las ganancias promedio a largo plazo. Deja\(x\) que sea la cantidad en tu sobre. Demuestran que para cualquier distribución de\(X\), hay al menos un valor de\(x\) tal que debes cambiar. Dan un ejemplo de una distribución para la que hay exactamente un valor de\(x\) tal que debes cambiar (ver Ejercicio 4.3.5). Quizás el caso más interesante es una distribución en la que siempre debes cambiar. Damos ahora este ejemplo.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Supongamos que tenemos dos sobres frente a nosotros, y que un sobre contiene el doble de la cantidad de dinero que el otro (ambos montos son enteros positivos). Se nos da uno de los sobres, y se nos pregunta si nos gustaría cambiar.

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Como anteriormente, dejamos\(X\) denotar la menor de las dos cantidades en los sobres, y vamos Ahora\[p_x = P(X = x)\ .\] estamos en una posición en la que podemos calcular las ganancias promedio a largo plazo, si cambiamos. (Este promedio a largo plazo es un ejemplo de un concepto probabilístico conocido como expectativa, y se discutirá en el Capítulo 6.) Dado que uno de los dos puntos de muestreo ha ocurrido, la probabilidad de que sea el punto\((x, x/2)\) es\[\frac{p_{x/2}}{p_{x/2} + p_x}\ ,\] y la probabilidad de que sea el punto\((x, 2x)\) es\[\frac{p_x}{p_{x/2} + p_x}\ .\] Así, si cambiamos, nuestras ganancias promedio a largo plazo son\[\frac{p_{x/2}}{p_{x/2} + p_x}\frac x2 + \frac{p_x}{p_{x/2} + p_x} 2x\ .\] Si esto es mayor que\(x\), entonces paga en el largo corre para que cambiemos. Algún álgebra rutinaria muestra que la expresión anterior es mayor que\(x\) si y solo si\

[\ frac {p_ {x/2}} {p_ {x/2} + p_x} <\ frac 23\. \ label {eq 4.3.1}\]

Es interesante considerar si existe una distribución en los enteros positivos tal que la desigualdad sea cierta para todos los valores pares de\(x\). Brams y Kilgour ²² dan el siguiente ejemplo.

Definimos de la\(p_x\) siguiente manera:\[p_x = \left \{ \matrix{ \frac 13 \Bigl(\frac 23\Bigr)^{k-1}, & \mbox{if}\,\, x = 2^k, \cr 0, & \mbox{otherwise.}\cr }\right.\] Es fácil calcular (ver Ejercicio 4.3.4) que para todos los valores relevantes de\(x\), tenemos\[\frac{p_{x/2}}{p_{x/2} + p_x} = \frac 35\ ,\] lo que significa que la desigualdad es siempre cierta.

Hasta el momento, hemos podido resolver paradojas al exponer claramente los supuestos que se están haciendo y precisando los modelos que se están utilizando. Terminamos esta sección describiendo una paradoja que no podemos resolver.

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Supongamos que tenemos dos sobres frente a nosotros, y nos dicen que los sobres contienen\(X\) y\(Y\) dólares, respectivamente, donde\(X\) y\(Y\) son enteros positivos diferentes. Elegimos al azar uno de los sobres, y lo abrimos, revelando\(X\), digamos. ¿Es posible determinar, con probabilidad mayor a 1/2, si\(X\) es el menor de los dos montos en dólares?

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Aunque no tengamos conocimiento de la distribución conjunta de\(X\) y\(Y\), ¡la respuesta sorprendente es sí! Aquí te explicamos cómo hacerlo. Lanza una moneda justa hasta que aparezca la primera vez que aparezca esa cabeza. Dejar\(Z\) denotar el número de tiradas requeridas más 1/2. Si\(Z > X\), entonces decimos que\(X\) es la menor de las dos cantidades, y si\(Z < X\), entonces decimos que\(X\) es la mayor de las dos cantidades.

Primero, si\(Z\) se encuentra entre\(X\) y\(Y\), entonces estamos seguros de ser correctos. Dado que\(X\) y\(Y\) son desiguales,\(Z\) se encuentra entre ellos con probabilidad positiva. Segundo, si no\(Z\) está entre\(X\) y\(Y\), entonces\(Z\) es o mayor que ambos\(X\) y\(Y\), o es menor que ambos\(X\) y\(Y\). En cualquier caso,\(X\) es la menor de las dos cantidades con probabilidad 1/2, por consideraciones de simetría (recuerde, elegimos la envolvente al azar). Así, la probabilidad de que estemos en lo correcto es mayor a 1/2.

Ejercicios

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Una de las primeras paradojas de probabilidad condicional fue proporcionada por Bertrand. ²³ Se llama la Paradoja del Bot. Un gabinete tiene tres cajones. En el primer cajón hay dos bolas de oro, en el segundo cajón hay dos bolas de plata, y en el tercer cajón hay una bola de plata y una de oro. Se escoge un cajón al azar y se elige una bola al azar de las dos bolas del cajón. Dado que se dibujó una bola de oro, ¿cuál es la probabilidad de que se eligiera el cajón con las dos bolas de oro?

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

El siguiente problema se llama el problema de los dos ases. Este problema, que data de 1936, ha sido atribuido al matemático inglés J. H. C. Whitehead (ver Gridgeman ²⁴). Este problema también fue presentado a Marilyn vos Savant por el maestro de los acertijos matemáticos Martin Gardner, quien señala que es uno de sus favoritos.

Se ha repartido una mano de puente, es decir, se reparten trece cartas a cada jugador. Dado que tu pareja tiene al menos un as, ¿cuál es la probabilidad de que tenga al menos dos ases? Dado que tu pareja tiene el as de corazones, ¿cuál es la probabilidad de que tenga al menos dos ases? Responde estas preguntas para una versión de bridge en la que hay ocho cartas, es decir, cuatro ases y cuatro reyes, y a cada jugador se le reparten dos cartas. (El lector puede desear resolver el problema con una baraja de 52 cartas.)

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

En el ejercicio anterior, es natural preguntar “¿Cómo obtenemos la información de que la mano dada tiene un as?” Gridgeman considera dos formas diferentes de obtener esta información. (De nuevo, supongamos que la baraja consta de ocho cartas.)

1. Supongamos que a la persona que sostiene la mano se le pide que “Nombra un as en tu mano” y responde “El as de los corazones”. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga un segundo as?
2. Supongamos que a la persona que sostiene la mano se le hace la pregunta más directa “¿Tienes el as de corazones?” y la respuesta es sí. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga un segundo as?

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Usando la notación introducida en el Ejemplo 4.3.5, mostrar que en el ejemplo de Brams y Kilgour, si\(x\) es una potencia positiva de 2, entonces\[\frac{p_{x/2}}{p_{x/2} + p_x} = \frac 35\ .\]

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Usando la notación introducida en el Ejemplo 4.3.5, deje\[p_x = \left \{ \matrix{ \frac 23 \Bigl(\frac 13\Bigr)^k, & \mbox{if}\,\, x = 2^k, \cr 0, & \mbox{otherwise.}\cr }\right.\] Mostrar que hay exactamente un valor de\(x\) tal que si su sobre contiene\(x\), entonces debe cambiar.

Ejercicio *\(\PageIndex{6}\)

(Solo para jugadores de bridge. De Sutherland. ²⁵) Supongamos que somos el declarante en una mano de puente, y tenemos al rey, 9, 8, 7, y 2 de cierto palo, mientras que el maniquí tiene el as, 10, 5, y 4 del mismo palo. Supongamos que queremos jugar este palo de tal manera que se maximice la probabilidad de no tener perdedores en el palo. Comenzamos por llevar a los 2 al as, y notamos que la reina cae a nuestra izquierda. Luego lideramos el 10 desde el maniquí, y nuestro oponente derecho juega el seis (después de jugar los tres en la primera ronda). ¿Deberíamos finura o jugar para el drop?