6.1: Valor esperado de variables aleatorias discretas

Cuando se ensambla una gran colección de números, como en un censo, generalmente nos interesan no los números individuales, sino en ciertas cantidades descriptivas como el promedio o la mediana. En general, lo mismo es cierto para la distribución de probabilidad de una variable aleatoria de valor numérico. En esta y en la siguiente sección, discutiremos dos cantidades descriptivas de este tipo: el valor esperado y la varianza. Ambas cantidades se aplican únicamente a variables aleatorias de valor numérico, por lo que asumimos, en estas secciones, que todas las variables aleatorias tienen valores numéricos. Para dar alguna justificación intuitiva a nuestra definición, consideramos el siguiente juego.

Valor promedio

Se enrolla un dado. Si aparece un número impar, ganamos una cantidad igual a este número; si aparece un número par, perdemos una cantidad igual a este número. Por ejemplo, si un dos aparece perdemos 2, y si sale un tres ganamos 3. Queremos decidir si se trata de un juego razonable para jugar. Primero intentamos la simulación. El programa Die realiza esta simulación.

El programa imprime la frecuencia y la frecuencia relativa con la que ocurre cada resultado. También calcula las ganancias promedio. Hemos ejecutado el programa dos veces. Los resultados se muestran en la Tabla\(\PageIndex{1}\).

\(\PageIndex{1}\): Frecuencias para juego de dados.

Ganar	Frecuencia	Relativo	Frecuencia	Relativo
		Frecuencia		Frecuencia
1	17	.17	1681	.1681
-2	17	.17	1678	.1678
3	16	.16	1626	.1626
-4	18	.18	1696	.1696
5	16	.16	1686	.1686
-6	16	.16	1633	.1633

En la primera carrera hemos jugado el juego 100 veces. En esta carrera nuestra ganancia promedio es\(-.57\). Parece como si el juego fuera desfavorable, y nos preguntamos qué tan desfavorable es realmente. Para tener una mejor idea, hemos jugado el juego 10, 000 veces. En este caso nuestra ganancia promedio es\(-.4949\).

Observamos que la frecuencia relativa de cada uno de los seis resultados posibles es bastante cercana a la probabilidad 1/6 para este resultado. Esto corresponde a nuestra interpretación de frecuencia de probabilidad. También sugiere que para un número muy grande de jugadas, nuestra ganancia promedio debería ser

\[ \nonumber \begin{aligned} \mu & = & 1 \Bigl(\frac 16\Bigr) - 2\Bigl(\frac 16\Bigr) + 3 \Bigl(\frac 16\Bigr) - 4 \Bigl(\frac 16\Bigr) + 5 \Bigl(\frac 16\Bigr) - 6 \Bigl(\frac 16\Bigr) \\ & = & \frac 96 - \frac {12}6 = -\frac 36 = -.5\ .\end{aligned}\]Esto concuerda bastante bien con nuestra ganancia promedio para 10, 000 jugadas.

Observamos que el valor que hemos elegido para la ganancia promedio se obtiene tomando los posibles resultados, multiplicando por la probabilidad y sumando los resultados. Esto sugiere la siguiente definición para el resultado esperado de un experimento.

Valor esperado

Definición: valor esperado

Let\(X\) Ser una variable aleatoria discreta de valor numérico con espacio muestral\(\Omega\) y función de distribución\(m(x)\). El valor esperado\(E(X)\) se define por

\[\nonumber E(X) = \sum_{x \in \Omega} x m(x)\ ,\]

siempre que esta suma converja absolutamente.

A menudo nos referimos al valor esperado como la media y denotamos\(E(X)\) por\(\mu\) para abreviar. Si la suma anterior no converge absolutamente, entonces decimos que\(X\) no tiene un valor esperado.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\):

Que un experimento consista en lanzar una moneda justa tres veces. Vamos a\(X\) denotar el número de cabezas que aparecen. Entonces los posibles valores de\(X\) son\(0, 1, 2\) y\(3\). Las probabilidades correspondientes son\(1/8, 3/8, 3/8,\) y\(1/8\). Así, el valor esperado de\(X\) iguales

\[\nonumber [0\biggl(\frac 18\biggr) + 1\biggl(\frac 38\biggr) + 2\biggl(\frac 38\biggr) + 3\biggl(\frac 18\biggr) = \frac 32\ .\]Posteriormente en esta sección veremos una forma más rápida de calcular este valor esperado, basado en el hecho de que se\(X\) puede escribir como una suma de variables aleatorias más simples.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\):

Supongamos que lanzamos una moneda justa hasta que primero aparezca una cabeza, y dejemos\(X\) representar el número de tiradas que se hicieron. Entonces los posibles valores de\(X\) son\(1, 2, \ldots\), y la función de distribución de\(X\) se define por\[m(i) = {1\over {2^i}}\ .\] (Esta es solo la distribución geométrica con parámetro\(1/2\).) Por lo tanto, tenemos\[\begin{aligned} E(X) & = &\sum_{i = 1}^\infty i {1\over{2^i}} \\ & = & \sum_{i = 1}^\infty {1\over{2^i}} + \sum_{i = 2}^\infty {1\over{2^i}} + \cdots \\ & = & 1 + {1\over 2} + {1\over{2^2}} + \cdots \\ & = & 2\ .\end{aligned}\]

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Supongamos que volteamos una moneda hasta que primero aparezca una cabeza, y si el número de tiradas es igual\(n\), entonces se nos paga\(2^n\) dólares. ¿Cuál es el valor esperado del pago?

Contestar

Dejamos\(Y\) representar el pago. Entonces,

\[P(Y = 2^n) = {1\over{2^n}}\ ,\]para\(n \ge 1\). Así,\[E(Y) = \sum_{n = 1}^\infty 2^n {1\over{2^n}}\ ,\] que es una suma divergente. Por lo tanto, no\(Y\) tiene expectativa. Este ejemplo se llama el. El hecho de que la suma anterior sea infinita sugiere que un jugador debe estar dispuesto a pagar cualquier cantidad fija por juego por el privilegio de jugar a este juego. Se le pide al lector que considere cuánto estaría dispuesto a pagar por este privilegio. Es poco probable que la respuesta del lector sea de más de 10 dólares; ahí radica la paradoja.

En la historia temprana de la probabilidad, diversos matemáticos dieron formas de resolver esta paradoja. Una idea (debido a G. Cramer) consiste en asumir que la cantidad de dinero en el mundo es finita. Asume así que hay algún valor fijo de\(n\) tal manera que si el número de lanzamientos es igual o superior\(n\), el pago es de\(2^n\) dólares. Se pide al lector que muestre en Ejercicio\(\PageIndex{20}\) que el valor esperado del pago es ahora finito.

Daniel Bernoulli y Cramer también consideraron otra forma de asignar valor al pago. Su idea era que el valor de un pago es alguna función del pago; tal función ahora se llama función de utilidad. Ejemplos de funciones de utilidad razonables pueden incluir la función de raíz cuadrada o la función de logaritmo. En ambos casos, el valor de los\(2n\) dólares es inferior al doble del valor de los\(n\) dólares. Se puede demostrar fácilmente que en ambos casos, la utilidad esperada del pago es finita (ver Ejercicio\(\PageIndex{20}\).

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

\(T\)Sea el momento del primer éxito en un proceso de juicios de Bernoulli. Luego tomamos como espacio de muestra\(\Omega\) los enteros\(1,~2,~\ldots\\) y asignamos la distribución geométrica

\[m(j) = P(T = j) = q^{j - 1}p .\]

Por lo tanto,\[\begin{align} E(T) & = & 1 \cdot p + 2qp + 3q^2p +\cdots \\ & = & p(1 + 2q + 3q^2 +\cdots ) .\end{align}\]

Ahora si\(|x| < 1\), entonces\[1 + x + x^2 + x^3 + \cdots = \frac{1}{1 - x} .\] Diferenciando esta fórmula,\[1 + 2x + 3x^2 +\cdots = \frac{1}{(1 - x)^2} ,\] lo conseguimos\[E(T) = \frac{p}{(1 - q)^2} = \frac{p}{p^2} = \frac{1}{p} .\] En particular, vemos que si lanzamos una moneda justa una secuencia de veces, el tiempo esperado hasta las primeras cabezas es 1/ (1/2) = 2. Si rodamos un dado una secuencia de veces, el número esperado de rollos hasta los primeros seis es 1/ (1/6) = 6.

Interpretación del Valor Esperado

En las estadísticas, uno se preocupa frecuentemente por el valor promedio de un conjunto de datos. El siguiente ejemplo muestra que las ideas de valor promedio y valor esperado están muy estrechamente relacionadas.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Las alturas, en pulgadas, de las mujeres en el equipo de baloncesto de Swarthmore son de 5' 9", 5' 9", 5' 6", 5' 8", 5' 11", 5' 5", 5' 7", 5' 6", 5' 6", 5' 7", 5' 10" y 6' 0".

Un estadístico calcularía la altura promedio (en pulgadas) de la siguiente manera: También\[\frac{69 + 69 + 66 + 68 + 71 + 65 + 67 + 66 + 66 + 67 + 70 + 72}{12} = 67.9\ .\] se puede interpretar este número como el valor esperado de una variable aleatoria. Para ver esto, que un experimento consista en elegir a una de las mujeres al azar, y dejar\(X\) denotar su estatura. Entonces el valor esperado de\(X\) es igual a 67.9.

Por supuesto, al igual que con la interpretación de frecuencia de la probabilidad, interpretar el valor esperado como un resultado promedio requiere una mayor justificación. Sabemos que para cualquier experimento finito el promedio de los resultados no es predecible. Sin embargo, eventualmente probaremos que el promedio generalmente estará cerca de\(E(X)\) si repetimos el experimento una gran cantidad de veces. Primero necesitamos desarrollar algunas propiedades del valor esperado. Utilizando estas propiedades, y las del concepto de la varianza a introducir en la siguiente sección, podremos probar el Este teorema justificará matemáticamente tanto nuestro concepto de frecuencia de probabilidad como la interpretación del valor esperado como el valor promedio a esperar en un gran número de experimentos.

Expectativa de una función de una variable aleatoria

Supongamos que\(X\) es una variable aleatoria discreta con espacio de muestra\(\Omega\), y\(\phi(x)\) es una función de valor real con dominio\(\Omega\). Entonces\(\phi(X)\) es una variable aleatoria de valor real. Una forma de determinar el valor esperado de\(\phi(X)\) es determinar primero la función de distribución de esta variable aleatoria, y luego usar la definición de expectativa. Sin embargo, existe una mejor manera de calcular el valor esperado de\(\phi(X)\), como se demuestra en el siguiente ejemplo.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Supongamos que una moneda es arrojada 9 veces, con\[HHHTTTTHT\ .\] el resultado El primer conjunto de tres cabezas se llama a. Hay tres corridas más en esta secuencia, a saber, las siguientes cuatro colas, la siguiente cabeza y la siguiente cola. No consideramos que los dos primeros tirados constituyan una corrida, ya que el tercer lanzamiento tiene el mismo valor que los dos primeros.

Ahora supongamos que un experimento consiste en lanzar una moneda justa tres veces. Encuentra el número esperado de corridas.

Contestar

Será útil pensar en dos variables aleatorias,\(X\) y\(Y\), asociadas con este experimento. Dejamos\(X\) denotar la secuencia de cabezas y colas que resulta cuando se realiza el experimento, y\(Y\) denotamos el número de corridas en el resultado\(X\). Los posibles resultados\(X\) y los valores correspondientes de\(Y\) se muestran en la Tabla\(\PageIndex{2}\)

\[\begin{tabular}{cc} X & Y \\ \hline HHH & 1\\ HHT & 2\\ HTH & 3\\ HTT & 2\\ THH & 2\\ THT & 3\\ TTH & 2\\ TTT & 1\\ \end{tabular}\]

Para calcular\(E(Y)\) usando la definición de expectativa, primero debemos encontrar la función\(m(y)\) de distribución de\(Y\) i.e., agruparemos esos valores de\(X\) con un valor común de\(Y\) y sumamos sus probabilidades. En este caso, calculamos que la función de distribución de\(Y\) es:\(m(1) = 1/4,\ m(2) = 1/2,\) y\(m(3) = 1/4\). Uno encuentra fácilmente eso\(E(Y) = 2\).

Ahora supongamos que no agrupamos los valores de\(X\) con un\(Y\) -valor común, sino que, para cada\(X\) -valor\(x\), multiplicamos la probabilidad de\(x\) y el valor correspondiente de\(Y\), y sumamos los resultados. Obtenemos\[1\biggl(\frac 18\biggr) +2\biggl(\frac 18\biggr) +3\biggl(\frac 18\biggr) +2\biggl(\frac 18\biggr) +2\biggl(\frac 18\biggr) +3\biggl(\frac 18\biggr) +2\biggl(\frac 18\biggr) +1\biggl(\frac 18\biggr)\ ,\] lo que equivale a 2.

Esto ilustra el siguiente principio general. Si\(X\) y\(Y\) son dos variables aleatorias, y se\(Y\) pueden escribir en función de\(X\), entonces se puede calcular el valor esperado de\(Y\) usar la función de distribución de\(X\).

Teorema\(\PageIndex{1}\)

Si\(X\) es una variable aleatoria discreta con espacio de muestra\(\Omega\) y función de distribución\(m(x)\), y si\(\phi : \Omega \to\) es una función, entonces\[E(\phi(X)) = \sum_{x \in \Omega} \phi(x) m(x)\ ,\] siempre que la serie converja absolutamente.

Prueba

La prueba de este teorema es sencilla, involucrando nada más que agrupar valores de\(X\) con un\(Y\) valor común, como en Ejemplo\(\PageIndex{6}\)

La suma de dos variables aleatorias

Muchos resultados importantes en la teoría de la probabilidad se refieren a sumas de variables aleatorias. Primero consideramos lo que significa agregar dos variables aleatorias.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Tiramos una moneda y dejamos\(X\) tener el valor 1 si la moneda sube de cabeza y 0 si la moneda sube colas. Entonces, rodamos un dado y dejamos\(Y\) denotar la cara que surge. ¿Qué\(X+Y\) significa y cuál es su distribución? Esta pregunta se responde fácilmente en este caso, al considerar, como hicimos en el Capítulo 4, la variable aleatoria conjunta\(Z = (X,Y)\), cuyos resultados son pares ordenados de la forma\((x, y)\), dónde\(0 \le x \le 1\) y\(1 \le y \le 6\). La descripción del experimento hace razonable suponer que\(X\) y\(Y\) son independientes, por lo que la función de distribución de\(Z\) es uniforme, con\(1/12\) asignado a cada resultado. Ahora es una cuestión fácil encontrar el conjunto de resultados de\(X+Y\), y su función de distribución.

En Ejemplo\(\PageIndex{1}\), la variable aleatoria\(X\) denotaba el número de cabezas que ocurren cuando una moneda justa es arrojada tres veces. Es natural pensar en\(X\) como la suma de las variables aleatorias\(X_1, X_2, X_3\), donde\(X_i\) se define como 1 si el\(i\) th lanzamiento viene a la cabeza, y 0 si el\(i\) th lanzamiento llega a las colas. Los valores esperados de los\(X_i\)'s son extremadamente fáciles de calcular. Resulta que el valor esperado de se\(X\) puede obtener simplemente sumando los valores esperados de los\(X_i\)'s Este hecho se afirma en el siguiente teorema.

Teorema\(\PageIndex{2}\)

Dejar\(X\) y\(Y\) ser variables aleatorias con valores esperados finitos. Entonces\[E(X + Y) = E(X) + E(Y)\ ,\] y si\(c\) es alguna constante, entonces\[E(cX) = cE(X)\ .\]

Prueba

Deje que los espacios de muestra de\(X\) y\(Y\) sean denotados por\(\Omega_X\) y\(\Omega_Y\),\[\Omega_X = \{x_1, x_2, \ldots\}\] y supongamos que y\[\Omega_Y = \{y_1, y_2, \ldots\}\ .\] Entonces podemos considerar que la variable\(X + Y\) aleatoria es el resultado de aplicar la función\(\phi(x, y) = x + y\) a la variable aleatoria conjunta\((X,Y)\). Entonces, por Teorema\(\PageIndex{1}\) el valor esperado de la suma de cualquier número finito de variables aleatorias es la suma de los valores esperados de las variables aleatorias individuales., tenemos

\[\begin{aligned} E(X+Y) & = &\sum_j \sum_k (x_j + y_k) P(X = x_j,\ Y = y_k) \\ & = &\sum_j \sum_k x_j P(X = x_j,\ Y = y_k) + \sum_j \sum_k y_k P(X = x_j,\ Y = y_k) \\ & = &\sum_j x_j P(X = x_j) + \sum_k y_k P(Y = y_k)\ .\end{aligned}\]

La última igualdad se deriva del hecho de que\[\sum_k P(X = x_j,\ Y = y_k)\ \ =\ \ P(X = x_j)\] y\[\sum_j P(X = x_j,\ Y = y_k)\ \ =\ \ P(Y = y_k)\ .\]

Por lo tanto,\[E(X+Y) = E(X) + E(Y)\ .\]

Si\(c\) es alguna constante,\[\begin{aligned} E(cX) & = & \sum_j cx_j P(X = x_j) \\ & = & c\sum_j x_j P(X = x_j)\\ & = & cE(X)\ .\end{aligned}\]

Es fácil demostrar por inducción matemática que el valor esperado de la suma de cualquier número finito de variables aleatorias es la suma de los valores esperados de las variables aleatorias individuales.

Es importante señalar que la independencia mutua de los summands no era necesaria como hipótesis en el Teorema\(\PageIndex{2}\) y su generalización. El hecho de que las expectativas agreguen, sean o no las summands mutuamente independientes, a veces se le conoce como el Primer Misterio Fundamental de la Probabilidad.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Dejar\(Y\) ser el número de puntos fijos en una permutación aleatoria del conjunto\(\{a,b,c\}\). Para encontrar el valor esperado de\(Y\), es útil considerar la variable aleatoria básica asociada a este experimento, es decir, la variable aleatoria\(X\) que representa la permutación aleatoria. Hay seis posibles resultados de\(X\), y asignamos a cada uno de ellos la probabilidad\(1/6\) ver Tabla\(\PageIndex{3}\). Entonces podemos calcular\(E(Y)\) usando el Teorema\(\PageIndex{1}\), como\[3\Bigl({1\over 6}\Bigr) + 1\Bigl({1\over 6}\Bigr) + 1\Bigl({1\over 6}\Bigr) + 0\Bigl({1\over 6}\Bigr) + 0\Bigl({1\over 6}\Bigr) + 1\Bigl({1\over 6}\Bigr) = 1\ .\]

Tabla\(\PageIndex{3}\) Número de puntos fijos.

\(X\)	\(Y\)
\ (X\)” style="text-align:center;” class="lt-stats-3144">\(a\;\;\;b\;\;\; c\)	\ (Y\)” style="text-align:center;” class="lt-stats-3144">3
\ (X\)” style="text-align:center;” class="lt-stats-3144">\(a\;\;\; c\;\;\; b\)	\ (Y\)” style="text-align:center;” class="lt-stats-3144">1
\ (X\)” style="text-align:center;” class="lt-stats-3144">\(b\;\;\; a\;\;\; c\)	\ (Y\)” style="text-align:center;” class="lt-stats-3144">1
\ (X\)” style="text-align:center;” class="lt-stats-3144">\(b\;\;\; c\;\;\; a\)	\ (Y\)” style="text-align:center;” class="lt-stats-3144">0
\ (X\)” style="text-align:center;” class="lt-stats-3144">\(c\;\;\; a\;\;\; b\)	\ (Y\)” style="text-align:center;” class="lt-stats-3144">0
\ (X\)” style="text-align:center;” class="lt-stats-3144">\(c\;\;\; b\;\;\; a\)	\ (Y\)” style="text-align:center;” class="lt-stats-3144">1

Ahora damos una manera muy rápida de calcular el número promedio de puntos fijos en una permutación aleatoria del conjunto\(\{1, 2, 3, \ldots, n\}\). Dejar\(Z\) denotar la permutación aleatoria. Para cada uno\(i\),\(1 \le i \le n\), vamos\(X_i\) igual a 1 si se\(Z\) corrige\(i\), y 0 de lo contrario. Entonces si dejamos\(F\) denotar el número de puntos fijos en\(Z\), entonces\[F = X_1 + X_2 + \cdots + X_n\ .\] Por lo tanto, Teorema\(\PageIndex{2}\) implica que\[E(F) = E(X_1) + E(X_2) + \cdots + E(X_n)\ .\] Pero es fácil ver que para cada uno\(i\),\[E(X_i) = {1\over n}\ ,\] así\[E(F) = 1\ .\] Este método de cálculo del valor esperado suele ser muy útil. Se aplica siempre que la variable aleatoria en cuestión pueda escribirse como una suma de variables aleatorias más simples. Destacamos nuevamente que no es necesario que los summands sean mutuamente independientes.

Juicios de Bernoulli

Teorema\(\PageIndex{3}\)

\(S_n\)Sea el número de éxitos en los ensayos de\(n\) Bernoulli con probabilidad\(p\) de éxito en cada ensayo. Entonces el número esperado de éxitos es\(np\). Es decir,\[E(S_n) = np\ .\]

Prueba

Dejar\(X_j\) ser una variable aleatoria que tiene el valor 1 si el resultado\(j\) th es un éxito y 0 si es un fracaso. Entonces, para cada uno\(X_j\),\[E(X_j) = 0\cdot(1 - p) + 1\cdot p = p\ .\] ya que\[S_n = X_1 + X_2 +\cdots+ X_n\ ,\] el valor esperado de la suma es la suma de los valores esperados, tenemos\[\begin{aligned} E(S_n) & = & E(X_1) + E(X_2) +\cdots+ E(X_n) \\ & = & np\ .\end{aligned}\]

Distribución de Poisson

Recordemos que la distribución de Poisson con parámetro\(\lambda\) se obtuvo como límite de distribuciones binomiales con parámetros\(n\) y\(p\), donde se asumió que\(np = \lambda\), y\(n \rightarrow \infty\). Dado que para cada uno\(n\), la distribución binomial correspondiente tiene valor esperado\(\lambda\), es razonable adivinar que el valor esperado de una distribución de Poisson con parámetro\(\lambda\) también tiene expectativa igual a\(\lambda\). De hecho, este es el caso, y se invita al lector a mostrar esto (ver Ejercicio\(\PageIndex{21}\)).

Independencia

Si\(X\) y\(Y\) son dos variables aleatorias, no es cierto en general eso\(E(X \cdot Y) = E(X)E(Y)\). No obstante, esto es cierto si\(X\) y\(Y\) son independientes.

Teorema\(\PageIndex{4}\)

Si\(X\) y\(Y\) son variables aleatorias independientes, entonces\[E(X \cdot Y) = E(X)E(Y)\ .\]

Prueba

Supongamos que\[\Omega_X = \{x_1, x_2, \ldots\}\] y\[\Omega_Y = \{y_1, y_2, \ldots\}\] son los espacios de muestra de\(X\) y\(Y\), respectivamente. Usando el teorema\(\PageIndex{1}\), tenemos\[E(X \cdot Y) = \sum_j \sum_k x_jy_k P(X = x_j,\ Y = y_k)\ .\]

Pero si\(X\) y\(Y\) son independientes,\[P(X = x_j, Y = y_k) = P(X = x_j)P(Y = y_k)\ .\] Así,\[\begin{aligned} E(X \cdot Y) & = & \sum_j\sum_k x_j y_k P(X = x_j) P(Y = y_k) \\ & = & \left(\sum_j x_j P(X = x_j)\right) \left(\sum_k y_k P(Y = y_k)\right) \\ & = &E(X) E(Y)\ .\end{aligned}\]

Ejemplo\(\PageIndex{9}\):

Una moneda se arroja dos veces. \(X_i = 1\)si el\(i\) th lanzamiento es cabezas y 0 de lo contrario. Eso lo sabemos\(X_1\) y\(X_2\) somos independientes. Cada uno tiene valor esperado 1/2. Por lo tanto\(E(X_1 \cdot X_2) = E(X_1) E(X_2) = (1/2)(1/2) = 1/4\).

A continuación damos un ejemplo sencillo para mostrar que los valores esperados no necesitan multiplicarse si las variables aleatorias no son independientes.

Ejemplo\(\PageIndex{10}\):

Considera un solo lanzamiento de una moneda. Definimos la variable aleatoria\(X\) para que sea 1 si las cabezas se vuelven hacia arriba y 0 si las colas aparecen, y establecemos\(Y = 1 - X\). Entonces\(E(X) = E(Y) = 1/2\). Pero\(X \cdot Y = 0\) para cualquiera de los resultados. De ahí,\(E(X \cdot Y) = 0 \ne E(X) E(Y)\).

Volvemos a nuestros registros ejemplo de la Sección 3.1 para otra aplicación del resultado de que el valor esperado de la suma de variables aleatorias es la suma de los valores esperados de las variables aleatorias individuales.

Registros

Ejemplo\(\PageIndex{11}\):

Empezamos a mantener registros de nevadas este año y queremos encontrar el número esperado de registros que ocurrirán en los próximos\(n\) años. El primer año es necesariamente un registro. El segundo año será un récord si la nevada en el segundo año es mayor que la del primer año. Por simetría, esta probabilidad es 1/2. De manera más general,\(X_j\) sea 1 si el año\(j\) th es un registro y 0 de lo contrario. Para encontrar\(E(X_j)\), solo necesitamos encontrar la probabilidad de que el año\(j\) th sea un registro. Pero el récord de nevadas de los primeros\(j\) años es igualmente probable que caiga en cualquiera de estos años, así que\(E(X_j) = 1/j\). Por lo tanto, si\(S_n\) es el número total de registros observados en los primeros\(n\) años,

\[E(S_n) = 1 + \frac 12 + \frac 13 +\cdots+ \frac 1n\ .\]

Se trata de la famosa serie armónica divergente. Es fácil demostrar que

\[E(S_n) \sim \log n\]

como\(n \rightarrow \infty\). Una aproximación más precisa\(E(S_n)\) es dada por la expresión

\[\log n + \gamma + {1\over {2n}}\ ,\]

donde\(\gamma\) denota la constante de Euler, y es aproximadamente igual a .5772.

Por lo tanto, en diez años el número esperado de registros es aproximadamente\(2.9298\); el valor exacto es la suma de los diez primeros términos de la serie armónica que es 2.9290.

Dados

Ejemplo\(\PageIndex{12}\):

En el juego de dados, el jugador hace una apuesta y tira un par de dados. Si la suma de los números es 7 u 11 el jugador gana, si es 2, 3 o 12 el jugador pierde. Si algún otro número resulta, digamos\(r\), entonces\(r\) se convierte en el punto del jugador y continúa rodando hasta que se produce uno\(r\) o 7. Si\(r\) sube primero gana, y si 7 sale primero pierde. El programa Craps simula jugar a este juego varias veces.

Hemos ejecutado el programa para 1000 jugadas en las que el jugador apuesta 1 dólar cada vez. Las ganancias promedio del jugador fueron\(-.006\). El juego de dados parecería ser sólo un poco desfavorable. Calculemos las ganancias esperadas en una sola jugada y veamos si este es el caso. Construimos una medida de árbol de dos etapas como se muestra en la Figura\(\PageIndex{1}\).

La primera etapa representa las sumas posibles para su primer rollo. La segunda etapa representa los posibles resultados para el juego si no ha terminado en la primera tirada. En esta etapa estamos representando los posibles resultados de una secuencia de rollos requeridos para determinar el resultado final. Las probabilidades de rama para la primera etapa se calculan de la manera habitual asumiendo que todas las 36 posibilidades de resultados para el par de dados son igualmente probables. Para la segunda etapa suponemos que el juego acabará eventualmente, y calculamos las probabilidades condicionales para obtener ya sea el punto o un 7. Por ejemplo, supongamos que el punto del jugador es 6. Entonces el juego terminará cuando ocurra una de las once parejas,,,,,,\((1,5)\),\((2,4)\),,\((3,3)\),\((4,2)\),,\((5,1)\),\((1,6)\),\((2,5)\),,\((3,4)\),\((4,3)\),,\((5,2)\),\((6,1)\),,,. Suponemos que cada uno de estos pares posibles tiene la misma probabilidad. Entonces el jugador gana en los primeros cinco casos y pierde en los últimos seis. Así la probabilidad de ganar es 5/11 y la probabilidad de perder es 6/11. A partir de las probabilidades de ruta, podemos encontrar la probabilidad de que el jugador gane 1 dólar; es 244/495. La probabilidad de perder es entonces 251/495. Así, si\(X\) es su ganador por una apuesta en dólares,

\[\begin{aligned} E(X) & = & 1\Bigl(\frac {244}{495}\Bigr) + (-1)\Bigl(\frac {251}{495}\Bigr) \\ & = & -\frac {7}{495} \approx -.0141\ .\end{aligned}\]

El juego es desfavorable, pero sólo ligeramente. La ganancia esperada del jugador en\(n\) jugadas es\(-n(.0141)\). Si no\(n\) es grande, esta es una pequeña pérdida esperada para el jugador. El casino realiza una gran cantidad de jugadas y así puede permitirse una pequeña ganancia promedio por jugada y aún así esperar una gran ganancia.

Ruleta

Ejemplo\(\PageIndex{13}\):

En Las Vegas, una rueda de ruleta tiene 38 ranuras numeradas 0, 00, 1, 2,..., 36. Las ranuras 0 y 00 son verdes, y la mitad de las 36 ranuras restantes son rojas y la mitad son negras. Un crupier hace girar la rueda y lanza una bola de marfil. Si apuestas 1 dólar en rojo, ganas 1 dólar si la pelota se detiene en una ranura roja, y de lo contrario pierdes un dólar. Deseamos calcular el valor esperado de tus ganancias, si apuestas 1 dólar al rojo.

Deja\(X\) ser la variable aleatoria que denota tus ganancias en una apuesta de 1 dólar en rojo en la ruleta de Las Vegas. Entonces la distribución de\(X\) viene dada por\[m_{X} = \pmatrix{ -1 & 1 \cr 20/38 & 18/38 \cr},\] y se puede calcular fácilmente (ver Ejercicio\(\PageIndex{5}\)) que\[E(X) \approx -.0526\ .\]

Consideramos ahora el juego de la ruleta en Montecarlo, y seguimos el tratamiento de Sagan. ¹ En el juego de ruleta en Montecarlo solo hay uno 0. Si apuesta 1 franco en rojo y aparece un 0, entonces, dependiendo del casino, se pueden ofrecer una o más de las siguientes opciones:

(a) Obtienes 1/2 de tu apuesta de vuelta, y el casino recibe la otra mitad de tu apuesta.

(b) Su apuesta se pone “en prisión”, lo que denotaremos por\(P_1\). Si aparece rojo en el siguiente turno, recuperas tu apuesta (pero no ganas dinero). Si aparece negro o 0, pierdes tu apuesta.

(c) Su apuesta se pone en prisión\(P_1\), como antes. Si aparece rojo en el siguiente turno, recuperas tu apuesta, y si aparece negro en el siguiente turno, entonces pierdes tu apuesta. Si aparece un 0 en el siguiente turno, entonces tu apuesta se pone en doble prisión, lo que denotaremos por\(P_2\). Si tu apuesta está en prisión doble, y si aparece rojo en el siguiente turno, entonces tu apuesta vuelve a la cárcel\(P_1\) y el juego avanza como antes. Si tu apuesta está en doble prisión, y si negra o 0 suben en el siguiente turno, entonces pierdes tu apuesta. Referimos al lector a Figura\(\PageIndex{2}\), donde se muestra un árbol para esta opción. En esta cifra,\(S\) está la posición inicial,\(W\) significa que ganas tu apuesta,\(L\) significa que pierdes tu apuesta, y\(E\) significa que rompes el par.

Es interesante comparar las ganancias esperadas de una apuesta de 1 franco al rojo, bajo cada una de estas tres opciones. Dejamos los dos primeros cálculos como ejercicio (ver Ejercicio\(\PageIndex{37}\)). Supongamos que eliges jugar alternativa (c). El cálculo para este caso ilustra la forma en que los primeros probabilistas franceses trabajaron problemas como este.

Supongamos que apuestas al rojo, eliges la alternativa (c), y aparece un 0. Sus posibles resultados futuros se muestran en el diagrama de árbol de la Figura\(\PageIndex{3}\). Asume que tu dinero está en la primera prisión y deja\(x\) ser la probabilidad de que pierdas tu franco. Del diagrama de árbol vemos que\[x = \frac {18}{37} + \frac 1{37}P({\rm you\ lose\ your\ franc\ }|\ {\rm your\ franc\ is \ in\ }P_2)\ .\] También,\[P({\rm you\ lose\ your\ franc\ }|\ {\rm your\ franc\ is \ in\ }P_2) = \frac {19}{37} + \frac{18}{37}x\ .\] Entonces, tenemos\[x = \frac{18}{37} + \frac 1{37}\Bigl(\frac {19}{37} + \frac{18}{37}x\Bigr)\ .\] Resolviendo para\(x\), obtenemos\(x = 685/1351\). Así, a partir de\(S\), la probabilidad de que pierdas tu apuesta es igual\[\frac {18}{37} + \frac 1{37}x = \frac{25003}{49987}\ .\]

Para encontrar la probabilidad de que ganes cuando apuestas al rojo, tenga en cuenta que solo puede ganar si el rojo aparece en el primer turno, y esto sucede con probabilidad 18/37. Así tus ganancias esperadas son\[1 \cdot {\frac{18}{37}} -1 \cdot {\frac {25003}{49987}} = -\frac{687}{49987} \approx -.0137\ .\]

Es interesante señalar que la opción más romántica (c) es menos favorable que la opción (a) (ver Ejercicio\(\PageIndex{37}\)).

Si apuestas 1 dólar en el número 17, entonces la función de distribución para tus ganancias\(X\) es\[P_X = \pmatrix{ -1 & 35 \cr 36/37 & 1/37 \cr}\ ,\] y las ganancias esperadas son\[-1 \cdot {\frac{36}{37}} + 35 \cdot {\frac 1{37}} = -\frac 1{37} \approx -.027\ .\] Así, en Montecarlo diferentes apuestas tienen diferentes valores esperados. En Las Vegas casi todas las apuestas tienen el mismo valor esperado de\(-2/38 = -.0526\) (ver Ejercicios\(\PageIndex{4}\) y\(\PageIndex{5}\)).

Expectativa condicional

Definición

Si\(F\) es algún evento y\(X\) es una variable aleatoria con espacio de muestra\(\Omega = \{x_1, x_2, \ldots\}\), entonces la expectativa condicional se define por La expectativa\[E(X|F) = \sum_j x_j P(X = x_j|F)\ .\] condicional se usa con mayor frecuencia en la forma proporcionada por el siguiente teorema.

Teorema\(\PageIndex{5}\)

Dejar\(X\) ser una variable aleatoria con espacio muestral\(\Omega\). Si\(F_1\),\(F_2\),...,\(F_r\) son eventos tales que\(F_i \cap F_j = \emptyset\) para\(i \ne j\) y\(\Omega = \cup_j F_j\), entonces\[E(X) = \sum_j E(X|F_j) P(F_j)\ .\]

Prueba

Tenemos\[\begin{aligned} \sum_j E(X|F_j) P(F_j) & = & \sum_j \sum_k x_k P(X = x_k|F_j) P(F_j) \\ & = & \sum_j \sum_k x_k P(X = x_k\,\, {\rm and}\,\, F_j\,\,{\rm occurs}) \\ & = & \sum_k \sum_j x_k P(X = x_k\,\,{\rm and}\,\,F_j\,\,{\rm occurs}) \\ & = & \sum_k x_k P(X = x_k) \\ & = & E(X)\ .\end{aligned}\]

Ejemplo\(\PageIndex{14}\):

Deja\(T\) ser el número de rollos en una sola jugada de dados. Podemos pensar en una sola obra como un proceso de dos etapas. La primera etapa consiste en un solo rollo de un par de dados. La jugada ha terminado si esta tirada es un 2, 3, 7, 11 o 12. De lo contrario, se establece el punto del jugador, y comienza la segunda etapa. Esta segunda etapa consiste en una secuencia de tiradas que termina cuando se rueda ya sea el punto del jugador o un 7. Registramos los resultados de este experimento de dos etapas utilizando las variables aleatorias\(X\) y\(S\), donde\(X\) denota el primer rollo, y\(S\) denota el número de rollos en la segunda etapa del experimento (por supuesto, a veces\(S\) es igual a 0). Tenga en cuenta que\(T = S+1\). Entonces por teorema\(\PageIndex{5}\)

\[E(T) = \sum_{j = 2}^{12} E(T|X = j) P(X = j)\ .\]

Si\(j = 7\), 11 o 2, 3, 12, entonces\(E(T|X = j) = 1\). Si\(j = 4, 5, 6, 8, 9,\) o\(10\), podemos usar Ejemplo\(\PageIndex{4}\) para calcular el valor esperado de\(S\). En cada uno de estos casos, seguimos rodando hasta que obtenemos ya sea un 7\(j\) o un 7. Así,\(S\) se distribuye geométricamente con parámetro\(p\), del cual depende\(j\). Si\(j = 4\), por ejemplo, el valor de\(p\) es\(3/36 + 6/36 = 1/4\). Así, en este caso, el número esperado de rollos adicionales es\(1/p = 4\), así\(E(T|X = 4) = 1 + 4 = 5\). La realización de los cálculos correspondientes para los demás valores posibles de\(j\) y utilizando el Teorema\(\PageIndex{5}\) da

\[\begin{aligned} E(T) & = & 1\Bigl(\frac {12}{36}\Bigr) + \Bigl(1 + \frac {36}{3 + 6}\Bigr)\Bigl(\frac 3{36}\Bigr) + \Bigl(1 + \frac {36}{4 + 6}\Bigr)\Bigl(\frac 4{36}\Bigr) \\ & & + \Bigl(1 + \frac {36}{5 + 6}\Bigr)\Bigl(\frac 5{36}\Bigr) + \Bigl(1 + \frac {36}{5 + 6}\Bigr)\Bigl(\frac 5{36}\Bigr) \\ & & + \Bigl(1 + \frac {36}{4 + 6}\Bigr)\Bigl(\frac 4{36}\Bigr) + \Bigl(1 + \frac {36}{3 + 6}\Bigr)\Bigl(\frac 3{36}\Bigr) \\ & = & \frac {557}{165} \\ & \approx & 3.375\dots\ .\end{aligned}\]

Martingales

Podemos extender la noción de equidad a un jugador que juega una secuencia de juegos usando el concepto de expectativa condicional.

Ejemplo\(\PageIndex{15}\)

\(S_n\)Sea\(S_1\),\(S_2\),..., la fortuna acumulada de Pedro al jugar cabezas o colas (ver Ejemplo 1.1.4). Entonces\[E(S_n | S_{n - 1} = a,\dots,S_1 = r) = \frac 12 (a + 1) + \frac 12 (a - 1) = a\ .\]

Observamos que la fortuna esperada de Peter después de la siguiente jugada es igual a su fortuna actual. Cuando esto ocurre, decimos que el juego es Un juego limpio también se llama martingales. Si la moneda está sesgada y sube de cabeza con probabilidad\(p\) y colas con probabilidad\(q = 1 - p\), entonces\[E(S_n | S_{n - 1} = a,\dots,S_1 = r) = p (a + 1) + q (a - 1) = a + p - q\ .\] Así\(p < q\), si, este juego es desfavorable, y si\(p > q\), es favorable.

Si estás en un casino, verás jugadores adoptando elaborados de juego para tratar de hacer que los juegos desfavorables sean favorables. Dos de estos sistemas, el sistema de duplicación martingala y el sistema Labouchere más conservador, se describieron en los Ejercicios 1.1.9 y 1.1.10. Desafortunadamente, tales sistemas no pueden cambiar ni siquiera un juego limpio en un juego favorable.

Aun así, es un pasatiempo favorito de muchas personas desarrollar sistemas de juego para juegos de azar y para otros juegos como el mercado de valores. Cerramos esta sección con una simple ilustración de tal sistema.

Precios de Acciones

Ejemplo\(\PageIndex{16}\)

Supongamos que una acción aumenta o disminuye de valor cada día en 1 dólar, cada una con probabilidad 1/2. Entonces podemos identificar este modelo simplificado con nuestro familiar juego de cabezas o colas. Suponemos que un comprador, el señor Ace, adopta la siguiente estrategia. Compra las acciones el primer día a su precio\(V\). Luego espera a que el precio de la acción aumente en uno a\(V + 1\) y venda. Luego continúa vigilando las acciones hasta que su precio vuelve a caer a\(V\). Vuelve a comprar y espera a que suba\(V + 1\) y venda. Así mantiene la acción en intervalos durante los cuales aumenta en 1 dólar. En cada uno de esos intervalos, obtiene una ganancia de 1 dólar. No obstante, suponemos que solo puede hacer esto por un número finito de días de negociación. Así puede perder si, en el último intervalo que ostenta la acción, no vuelve a levantarse\(V + 1\); y esta es la única forma en que puede perder. En la Figura [fig 6.3] ilustramos una historia típica si el señor Ace debe detenerse en veinte días. El señor Ace mantiene las acciones bajo su sistema durante los días señalados por líneas discontinuas. Observamos que para la historia mostrada en la Figura [fig 6.3], su sistema le da una ganancia de 4 dólares.

Hemos escrito un programa StockSystem para simular la fortuna del señor Ace si usa su sistema durante un período\(n\) de un día. Si uno ejecuta este programa una gran cantidad de veces, pues\(n = 20\), digamos, uno encuentra que sus ganancias esperadas están muy cerca de 0, pero la probabilidad de que esté por delante después de 20 días es significativamente mayor a 1/2. Para valores pequeños de\(n\), se puede calcular la distribución exacta de las ganancias. La distribución para el caso\(n = 20\) se muestra en la Figura [fig 6.3.1]. Usando esta distribución, es fácil calcular que el valor esperado de sus ganancias es exactamente 0. Esta es otra instancia del hecho de que un juego limpio (una martingala) sigue siendo justo bajo sistemas de juego bastante generales.

Si bien el valor esperado de sus ganancias es 0, la probabilidad de que Mr. Ace esté adelante después de 20 días es de aproximadamente .610. De esta manera, podría decirle a sus amigos que su sistema le da más posibilidades de adelantarse que el de alguien que simplemente compra la acción y la sostiene, si nuestro sencillo modelo aleatorio es correcto. Se han realizado varios estudios para determinar qué tan aleatorio es el mercado de valores.

Observaciones Históricas

Con la Ley de Números Grandes para reforzar la interpretación de frecuencia de la probabilidad, nos parece natural justificar la definición del valor esperado en términos del resultado promedio sobre un gran número de repeticiones del experimento. El concepto de valor esperado se utilizó antes de definirlo formalmente; y cuando se utilizó, se consideró no como un valor promedio sino como el valor apropiado para una apuesta. Por ejemplo, recordemos, de la sección Observaciones Históricas del Capítulo 1, Sección 1.2, la manera de Pascal de encontrar el valor de una serie de tres juegos que tuvo que ser cancelada antes de que se termine.

Pascal observó primero que si cada jugador solo tiene un juego para ganar, entonces la apuesta de 64 pistolas debe dividirse de manera uniforme. Entonces consideró el caso donde un jugador ha ganado dos juegos y el otro.

Entonces considere, señor, si gana el primer hombre, consigue 64 pistolas, si pierde obtiene 32. Así, si no desean arriesgar este último juego, sino que desean separarse sin jugarlo, el primer hombre debe decir: “Estoy seguro de que conseguiré 32 pistolas, aunque pierda todavía las consigo; pero en cuanto a las otras 32 pistolas, tal vez las consiga, quizá las consiga, quizá las consiga, las posibilidades son iguales. Entonces dividamos estas 32 pistolas por la mitad y demos la mitad a mí así como a mis 32 que seguro son mías”. Entonces tendrá 48 pistolas y las otras 16. ²

Tenga en cuenta que Pascal redujo el problema a una apuesta simétrica en la que cada jugador obtiene la misma cantidad y toma como obvio que en este caso las apuestas deben dividirse en partes iguales.

El primer estudio sistemático del valor esperado aparece en el libro de Huygens. Al igual que Pascal, Huygens encuentra el valor de una apuesta asumiendo que la respuesta es obvia para ciertas situaciones simétricas y usa esto para deducir lo esperado para la situación general. Esto lo hace por pasos. Su primera proposición es

Prop. I. Si espero\(a\) o\(b\), cualquiera de los cuales, con igual probabilidad, pueda caer en mí, entonces mi Expectativa vale\((a + b)/2\), es decir, la mitad Suma de\(a\) y\(b\). ³

Huygens demostró esto de la siguiente manera: Supongamos que dos jugadores A y B juegan un juego en el que cada jugador pone una apuesta de\((a + b)/2\) con igual probabilidad de ganar la apuesta total. Entonces el valor del juego para cada jugador es\((a + b)/2\). Por ejemplo, si el juego tuviera que ser cancelado claramente cada jugador solo debería recuperar su apuesta original. Ahora bien, por simetría, este valor no se cambia si agregamos la condición de que el ganador del juego tenga que pagar al perdedor una cantidad\(b\) como premio de consolación. Entonces para el jugador A el valor sigue siendo\((a + b)/2\). Pero, ¿cuáles son sus posibles resultados para el juego modificado? Si gana obtiene la apuesta total\(a + b\) y debe pagar B una cantidad\(b\) así termina con\(a\). Si pierde obtiene una cantidad\(b\) del jugador B. Así gana el jugador A\(a\) o\(b\) con iguales posibilidades y el valor para él es\((a + b)/2\).

Huygens ilustró esta prueba en términos de un ejemplo. Si se te ofrece un juego en el que tienes las mismas posibilidades de ganar 2 u 8, el valor esperado es 5, ya que este juego es equivalente al juego en el que cada jugador apuesta 5 y acepta pagar al perdedor 3 —un juego en el que el valor es obviamente 5.

La segunda propuesta de Huygens es

Prop. II. Si espero\(a\),, o\(b\)\(c\), cualquiera de los cuales, con igual facilidad, pueda suceder, entonces el Valor de mi Expectativa es\((a + b + c)/3\), o el tercero de la Suma de\(a\),\(b\), y\(c\). ⁴

Su argumento aquí es similar. Tres jugadores, A, B y C, cada apuesta\[(a+b+c)/3\] en un juego tienen las mismas posibilidades de ganar. El valor de este juego para el jugador A es claramente la cantidad que ha apostado. Además, este valor no se cambia si A entra en un acuerdo con B que si uno de ellos gana paga al otro un premio de consolación de\(b\) y con C que si uno de ellos gana le paga al otro un premio de consolación de\(c\). Por simetría estos acuerdos no cambian el valor del juego. En este juego modificado, si A gana gana la apuesta total\(a + b + c\) menos los premios de consolación\(b + c\) dándole una victoria final de\(a\). Si B gana, A gana\(b\) y si C gana, A gana\(c\). Así A se encuentra en un juego con valor\((a + b + c)/3\) y con resultados\(a\),\(b\), y\(c\) ocurriendo con igual oportunidad. Esto prueba la Proposición II.

De manera más general, este razonamiento muestra que si hay\(n\) resultados que ocurren\[a_1,\ a_2,\ \ldots,\ a_n\ ,\] todos con la misma probabilidad, el valor esperado es\[\frac {a_1 + a_2 +\cdots+ a_n}n\ .\]

En su tercera proposición Huygens consideró el caso donde ganas\(a\) o\(b\) pero con probabilidades desiguales. Asumió que hay\(p\) posibilidades de ganar\(a\), y\(q\) posibilidades de ganar\(b\), todas teniendo la misma probabilidad. Luego demostró que el valor esperado es\[E = \frac p{p + q} \cdot a + \frac q{p + q} \cdot b\ .\] Esto sigue al considerar una apuesta equivalente con\(p + q\) resultados todos ocurriendo con la misma probabilidad y con un pago de\(a\) in\(p\) de los resultados y\(b\) en\(q\) de los resultados. Esto permitió a Huygens calcular el valor esperado para experimentos con probabilidades desiguales, al menos cuando estas probabilidades son números racionales.

Así, en lugar de definir el valor esperado como promedio ponderado, Huygens asumió que se conoce el valor esperado de ciertas apuestas simétricas y dedujo los otros valores de estas. Aunque esto requiere una buena manipulación inteligente, Huygens terminó con valores que concuerdan con los que da nuestra definición moderna de valor esperado. Una ventaja de este método es que da una justificación para el valor esperado en los casos en los que no es razonable suponer que se puede repetir el experimento una gran cantidad de veces, como por ejemplo, en apostar a que al menos dos presidentes fallecieron el mismo día del año. (De hecho, tres sí; todos fueron firmantes de la Declaración de Independencia, y los tres murieron el 4 de julio).

En su libro, Huygens calculó el valor esperado de los juegos utilizando técnicas similares a las que utilizamos para calcular el valor esperado para la ruleta en Montecarlo. Por ejemplo, su proposición XIV es:

Prop. XIV. Si estuviera jugando con otro por turnos, con dos Dados, en esta Condición, que si tiro 7 gano, y si lanza 6 gana permitiéndole el primer Tiro: Para encontrar la proporción de mi Peligro a la suya. ⁵

Una descripción moderna de este juego es la siguiente. Huygens y su oponente se turnan para rodar un dado. El juego termina si Huygens rueda un 7 o su oponente tira un 6. Su oponente rueda primero. ¿Cuál es la probabilidad de que Huygens gane el juego?

Para resolver este problema Huygens dejó\(x\) ser su oportunidad de ganar cuando su oponente lanzó primero y\(y\) su oportunidad de ganar cuando lanzó primero. Después en la primera tirada su oponente gana en 5 de las 36 posibilidades. Así,\[x = \frac {31}{36} \cdot y\ .\] Pero cuando Huygens rueda gana en 6 de los 36 posibles resultados, y en los otros 30, es llevado de vuelta a donde están sus posibilidades\(x\). Así\[y = \frac 6{36} + \frac {30}{36} \cdot x\ .\] De estas dos ecuaciones Huygens encontró que\(x = 31/61\).

Otro uso temprano del valor esperado apareció en el argumento de Pascal para demostrar que una persona racional debe creer en la existencia de Dios. ⁶ Pascal dijo que tenemos que hacer una apuesta ya sea para creer o no creer. Que\(p\) denote la probabilidad de que Dios no exista. Su discusión sugiere que estamos jugando un juego con dos estrategias, creer y no creer, con pagos como se muestra en la Tabla [tabla 6.4].

\[\nonumber \begin{array}{ccc} & \text{God does not exist} & God exists \\ & \\ & \p & 1 - p \end{array}\]

\[\nonumber \begin{array}{l|c|c|}believe & -u & v \\ not believe & 0 & -x \end{array}\]

Aquí\(-u\) representa el costo para ti de dejar pasar algunos placeres mundanos como consecuencia de creer que Dios existe. Si no crees, y Dios es un Dios vengativo, perderás\(x\). Si Dios existe y crees que ganarás v. Ahora para determinar cuál es la mejor estrategia debes comparar los dos valores esperados\[p(-u) + (1 - p)v \qquad {\rm and} \qquad p0 + (1 - p)(-x),\] y elegir el mayor de los dos. En general, la elección dependerá del valor de\(p\). Pero Pascal asumió que el valor de\(v\) es infinito y así la estrategia de creer es la mejor sin importar la probabilidad que asignes para la existencia de Dios. Este ejemplo es considerado por algunos como el comienzo de la teoría de la decisión. Los análisis de decisiones de este tipo aparecen hoy en día en muchos campos y, en particular, son una parte importante del diagnóstico médico y las decisiones empresariales corporativas.

Otro uso temprano del valor esperado fue decidir el precio de las anualidades. El estudio de la estadística tiene su origen en el uso de las facturas de mortalidad guardadas en las parroquias de Londres a partir de 1603. Estos registros llevaban un recuento semanal de bautizos y entierros. De estos John Graunt hizo estimaciones para la población de Londres y también proporcionó los primeros datos de mortalidad, ⁷ mostrados en la Tabla [tabla 6.5].

\[\nonumber \begin{array}{cc} & \\ \hline Age & Survivors \\ \hline 0 & 100 \\ 6 & 64 \\ 16 & 40 \\ 26 & 25 \\ 36 & 16 \\ 46 & 10 \\ 56 & 6 \\ 66 & 3 \\ 76 & 1 \\ \hline \end{array}\]

Como observa Hacking, Graunt aparentemente construyó esta tabla asumiendo que después de los 6 años hay una probabilidad constante de alrededor de 5/8 de sobrevivir por otra década. ⁸ Por ejemplo, de las 64 personas que sobreviven hasta los 6 años, 5/8 de 64 o 40 sobreviven a los 16, 5/8 de estas 40 o 25 sobreviven a los 26, y así sucesivamente. Por supuesto, redondeó sus cifras a toda la persona más cercana.

Claramente, una tasa de mortalidad constante no puede ser correcta en todo el rango, y las tablas posteriores proporcionadas por Halley fueron más realistas al respecto. ⁹

Una anualidad terminal proporciona una cantidad fija de dinero durante un periodo de\(n\) años. Para determinar el precio de una anualidad terminal solo se necesita conocer la tasa de interés adecuada. Una renta vitalicia proporciona una cantidad fija durante cada año de vida del comprador. El precio apropiado para una renta vitalicia es el valor esperado de la anualidad terminal evaluada para la vida útil aleatoria del comprador. Así, el trabajo de Huygens en la introducción del valor esperado y el trabajo de Graunt y Halley en la determinación de las tablas de mortalidad llevaron a un método más racional para fijar los precios de las anualidades. Este fue uno de los primeros usos serios de la teoría de la probabilidad fuera de las casas de juego.

Aunque el valor esperado juega un papel ahora en todas las ramas de la ciencia, conserva su importancia en el casino. En 1962, el libro de Edward Thorp Beat the Dealer ¹⁰ proporcionó al lector una estrategia para jugar al popular juego de casino de blackjack que aseguraría al jugador una ganancia positiva esperada. Este libro cambió para siempre la creencia de los casinos de que no podían ser vencidos.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Una carta se extrae al azar de una baraja que consiste en cartas numeradas del 2 al 10. Un jugador gana 1 dólar si el número en la carta es impar y pierde 1 dólar si el número si es par. ¿Cuál es el valor esperado de sus ganancias?

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Una carta es extraída al azar de una baraja de naipes. Si es rojo, el jugador gana 1 dólar; si es negro, el jugador pierde 2 dólares. Encuentra el valor esperado del juego.

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

En una clase hay 20 alumnos: 3 son 5' 6", 5 son 5'8", 4 son 5'10", 4 son 6' y 4 son 6' 2". Se elige al azar a un alumno. ¿Cuál es la estatura esperada del alumno?

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

En Las Vegas la rueda de ruleta tiene un 0 y un 00 y luego los números del 1 al 36 marcados en ranuras iguales; la rueda se hace girar y una bola se detiene aleatoriamente en una ranura. Cuando un jugador apuesta 1 dólar a un número, recibe 36 dólares si la pelota se detiene en este número, por una ganancia neta de 35 dólares; de lo contrario, pierde su apuesta en dólares. Encuentra el valor esperado para sus ganancias.

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

En una segunda versión de la ruleta en Las Vegas, un jugador apuesta al rojo o al negro. La mitad de los números del 1 al 36 son rojos, y la mitad son negros. Si un jugador apuesta un dólar al negro, y si el balón se detiene en un número negro, recupera su dólar y otro dólar. Si el balón se detiene en un número rojo o en 0 o 00 pierde su dólar. Encuentra las ganancias esperadas para esta apuesta.

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Un dado se enrolla dos veces. Dejar\(X\) denotar la suma de los dos números que aparecen hacia arriba, y\(Y\) la diferencia de los números (específicamente, el número en la primera tirada menos el número en el segundo). \(E(XY) = E(X)E(Y)\)Demuéstralo. ¿Son\(X\) e\(Y\) independientes?

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Demostrar que, si\(X\) y\(Y\) son variables aleatorias que toman solo dos valores cada una, y if\(E(XY) = E(X)E(Y)\), entonces\(X\) y\(Y\) son independientes.

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Una familia real tiene hijos hasta que tiene un niño o hasta que tiene tres hijos, lo que ocurra primero. Supongamos que cada niño es un niño con probabilidad 1/2. Encuentra el número esperado de niños en esta familia real y el número esperado de niñas.

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

Si el primer rollo en un juego de dados no es ni natural ni de dados, el jugador puede hacer una apuesta adicional, igual a su original, que hará su punto antes de que aparezca un siete. Si su punto es cuatro o diez se le paga en\(2 : 1\) probabilidades; si es un cinco o nueve se le paga en probabilidades\(3 : 2\); y si es un seis u ocho se le paga en probabilidades\(6 : 5\). Encuentra las ganancias esperadas del jugador si hace esta apuesta adicional cuando tiene la oportunidad.

Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

En Ejemplo\(\PageIndex{16}\) supongamos que Mr. Ace decide comprar la acción y retenerla hasta que suba 1 dólar y luego vender y no volver a comprar. Modificar el programa StockSystem para encontrar la distribución de sus ganancias bajo este sistema después de un periodo de veinte días. Encuentra la ganancia esperada y la probabilidad de que salga adelante.

Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

El 26 de septiembre de 1980, el New York Times informó que un misterioso extraño entró en un casino de Las Vegas, colocó una sola apuesta de 777.000 dólares en la línea de “no pases” en la mesa de basura, y se fue con más de 1.5 millones de dólares. En la apuesta de “no pases”, el apostador está esencialmente apostando con la casa. Se produce una excepción si el rodillo rueda un 12 en el primer rollo. En este caso, el rodillo pierde y el “no pase” mejor solo recupera la apuesta de dinero en lugar de ganar. Demuestre que el apostador de “no pases” tiene una apuesta más favorable que el rodillo.

Ejercicio\(\PageIndex{12}\)

Recordemos que en el sistema de doblaje martingales (ver Ejercicio 1.1.10), el jugador duplica su apuesta cada vez que pierde. Supongamos que estás jugando a la ruleta en una donde no hay 0's, y apuestas al rojo cada vez. Entonces ganas con probabilidad 1/2 cada vez. Supongamos que ingresas al casino con 100 dólares, comienzas con una apuesta de 1 dólar y empleas el sistema martingala. Se detiene tan pronto como haya ganado una apuesta, o en el improbable caso de que el negro aparezca seis veces seguidas para que esté bajando 63 dólares y no pueda hacer la apuesta requerida de 64 dólares. Encuentra tus ganancias esperadas bajo este sistema de juego.

Ejercicio\(\PageIndex{13}\)

Tienes 80 dólares y juegas el siguiente juego. Una urna contiene dos bolas blancas y dos bolas negras. Sacas las bolas una a la vez sin reemplazo hasta que todas las bolas se hayan ido. En cada sorteo, apuestas la mitad de tu fortuna actual a que sacarás una bola blanca. ¿Cuál es tu fortuna final esperada?

Ejercicio\(\PageIndex{14}\)

En el problema de comprobación de sombrero (ver Ejemplo 3.2.8.), se asumió que\(N\) las personas revisan sus sombreros y los sombreros se devuelven al azar. Que\(X_j = 1\) si la persona\(j\) th obtiene su sombrero y 0 de lo contrario. Encontrar\(E(X_j)\) y\(E(X_j \cdot X_k)\) por\(j\) no igual a\(k\). ¿Son\(X_j\) e\(X_k\) independientes?

Ejercicio\(\PageIndex{15}\)

Una caja contiene dos bolas de oro y tres bolas de plata. Se le permite elegir sucesivamente bolas de la caja al azar. Ganas 1 dólar cada vez que dibujas una bola de oro y pierdes 1 dólar cada vez que dibujas una bola de plata. Después de un empate, la pelota no es reemplazada. Demuestre que, si empatas hasta que estés por delante por 1 dólar o hasta que no haya más bolas de oro, este es un juego favorable.

Ejercicio\(\PageIndex{16}\)

Gerolamo Cardano en su libro, The Gambling Scholar escrito a principios del siglo XVI, considera el siguiente juego de carnaval. Hay seis dados. Cada uno de los dados tiene cinco lados en blanco. El sexto lado tiene un número entre 1 y 6, un número diferente en cada dado. Se tiran los seis dados y el jugador gana un premio dependiendo del total de los números que aparezcan.

1. Encontrar, como lo hizo Cardano, el total esperado sin encontrar su distribución.

2. Se entregaron grandes premios por grandes totales con una módica tarifa para jugar el juego. Explique por qué se podría hacer esto.

Ejercicio\(\PageIndex{17}\)

\(X\)Sea la primera vez que a ocurre en una secuencia infinita de ensayos de Bernoulli con probabilidad\(p\) de éxito. Vamos\(p_k = P(X = k)\) para\(k = 1\), 2,... \(p_k = p^{k - 1}q\)Demuéstralo donde\(q = 1 - p\). \(\sum_k p_k = 1\)Demuéstralo. \(E(X) = 1/q\)Demuéstralo. ¿Cuál es el número esperado de tiradas de una moneda que se requiere para obtener la primera cola?

Ejercicio\(\PageIndex{18}\)

Exactamente una de seis llaves similares abre cierta puerta. Si intentas las llaves, una tras otra, ¿cuál es el número esperado de claves que tendrás que probar antes del éxito?

Ejercicio\(\PageIndex{19}\)

Se realiza un examen de opción múltiple. Un problema tiene cuatro respuestas posibles, y exactamente una respuesta es correcta. Al alumno se le permite elegir un subconjunto de las cuatro respuestas posibles como su respuesta. Si su subconjunto elegido contiene la respuesta correcta, el alumno recibe tres puntos, pero pierde un punto por cada respuesta incorrecta en su subconjunto elegido. Demuestre que si solo adivina un subconjunto de manera uniforme y aleatoria su puntaje esperado es cero.

Ejercicio\(\PageIndex{20}\)

Se le ofrece el siguiente juego para jugar: se arroja una moneda justa hasta que aparezca la cabeza por primera vez (ver Ejemplo 6.1.3). Si esto ocurre en el primer lanzamiento recibes 2 dólares, si ocurre en el segundo lanzamiento recibes\(2^2 = 4\) dólares y, en general, si aparecen cabezas por primera vez en el\(n\) th lanzamiento recibes\(2^n\) dólares.

1. Demuestra que el valor esperado de tus ganancias no existe (es decir, viene dado por una suma divergente) para este juego. ¿Significa esto que este juego es favorable sin importar cuánto pagues por jugarlo?

2. Supongamos que solo recibes\(2^{10}\) dólares si se requiere algún número mayor o igual a diez tiradas para obtener la primera cabeza. Demuestra que tu valor esperado para este juego modificado es finito y encuentra su valor.

3. Supongamos que pagas 10 dólares por cada jugada del juego original. Escribe un programa para simular 100 jugadas del juego y ver cómo te va.

4. Ahora supongamos que la utilidad de los\(n\) dólares es\(\sqrt n\). Escriba una expresión para la utilidad esperada del pago, y demuestre que esta expresión tiene un valor finito. Estimar este valor. Repita este ejercicio para el caso de que sea la función de utilidad\(\log(n)\).

Ejercicio\(\PageIndex{21}\)

Let\(X\) Ser una variable aleatoria que es Poisson distribuida con parámetro\(\lambda\). \(E(X) = \lambda\)Demuéstralo. Pista: Recordemos que\[e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots\,.\]

Ejercicio\(\PageIndex{22}\)

Recordemos que en Ejercicio =1.1.4, consideramos un pueblo con dos hospitales. En el hospital grande nacen unos 45 bebés cada día, y en el hospital más pequeño nacen unos 15 bebés cada día. Nos interesó adivinar qué hospital tendría en promedio el mayor número de días con la propiedad que más del 60 por ciento de los niños nacidos ese día son niños. Por cada hospital encuentran el número esperado de días en un año que tienen la propiedad de que más del 60 por ciento de los niños nacidos ese día eran niños.

Ejercicio\(\PageIndex{23}\)

Una compañía de seguros tiene 1, 000 pólizas para hombres mayores de 50 años. La compañía estima que la probabilidad de que un hombre de 50 años muera dentro de un año es de .01. Estimar el número de reclamos que la empresa puede esperar de los beneficiarios de estos hombres dentro de un año.

Ejercicio\(\PageIndex{24}\)

Usando la tabla de vida para 1981 en el Apéndice C, escribir un programa para computar la vida esperada para hombres y mujeres de cada edad posible de 1 a 85. Comparar los resultados para machos y hembras. Comentar si el seguro de vida debe tener un precio diferente para hombres y mujeres.

Ejercicio *\(\PageIndex{25}\)

Una baraja de cartas ESP consta de 20 cartas cada una de dos tipos: digamos diez estrellas, diez círculos (normalmente hay cinco tipos). Se baraja la baraja y las cartas aparecen una a la vez. Usted, el presunto percipiente, debe nombrar el símbolo en cada tarjeta antes de que se presente.

Supongamos que en realidad solo estás adivinando las cartas. Si no llegas a ver cada tarjeta después de haber hecho tu conjetura, entonces es fácil calcular el número esperado de conjeturas correctas, es decir, diez.

Si, por otro lado, estás adivinando con información, es decir, si ves cada carta después de tu conjetura, entonces, por supuesto, podrías esperar obtener una puntuación más alta. Este es efectivamente el caso, pero calcular la expectativa correcta ya no es fácil.

Pero es fácil hacer una simulación por computadora de esta adivinación con información, para que podamos hacernos una buena idea de la expectativa por simulación. (Esto es similar a la forma en que los hábiles jugadores de blackjack convierten al blackjack en un juego favorable al observar las cartas que ya se han jugado. Ver Ejercicio\(\PageIndex{29}\).)

1. Primero, hacer una simulación de adivinar sin información, repitiendo el experimento al menos 1000 veces. Estime el número esperado de respuestas correctas y compare su resultado con la expectativa teórica.

2. ¿Cuál es la mejor estrategia para adivinar con información?

3. Hacer una simulación de adivinar con información, utilizando la estrategia en (b). Repita el experimento al menos 1000 veces, y estime la expectativa en este caso.

4. \(S\)Sea el número de estrellas y\(C\) el número de círculos en la baraja. \(h(S,C)\)Dejen ser las ganancias esperadas usando la estrategia de adivinación óptima en (b). Demostrar que\(h(S,C)\) satisface la relación de recursión\[h(S,C) = \frac S{S + C} h(S - 1,C) + \frac C{S + C} h(S,C - 1) + \frac {\max(S,C)}{S + C}\ ,\] y\(h(0,0) = h(-1,0) = h(0,-1) = 0\). Usando esta relación, escribe un programa para computar\(h(S,C)\) y encontrar\(h(10,10)\). Compara el valor calculado de\(h(10,10)\) con el resultado de tu simulación en (c). Para más información sobre este ejercicio y Ejercicio\(\PageIndex{26}\) ver Diaconis y Graham. ¹¹

Ejercicio\(\PageIndex{26}\)

Considere el problema ESP como se describe en Ejercicio\(\PageIndex{25}\). De nuevo estás adivinando con información, y estás usando la estrategia de adivinación óptima de adivinar estrellas si el mazo restante tiene más estrellas, círculo si más círculos, y lanzar una moneda si el número de estrellas y círculos son iguales. Supongamos que\(S \geq C\), dónde\(S\) está el número de estrellas y\(C\) el número de círculos.

Podemos trazar los resultados de un juego típico en una gráfica, donde el eje horizontal representa el número de pasos y el eje vertical representa la diferencia entre el número de estrellas y el número de círculos que se han vuelto hacia arriba. Un juego típico se muestra en la Figura [fig 6.4]. En este juego en particular, el orden en el que se entregaron las cartas es\((C,S,S,S,S,C,C,S,S,C)\). Así, en este juego en particular, había seis estrellas y cuatro círculos en la baraja. Esto significa, en particular, que cada juego que se juegue con esta baraja tendría una gráfica que termina en el punto\((10, 2)\). Definimos la línea\(L\) para que sea la línea horizontal que pasa por el punto final en la gráfica (por lo que su coordenada vertical es solo la diferencia entre el número de estrellas y círculos en la cubierta).

1. Demuestre que, cuando la caminata aleatoria está por debajo de la línea\(L\), el jugador adivina justo cuando la gráfica sube (la estrella se gira hacia arriba) y, cuando la caminata está por encima de la línea, el jugador adivina justo cuando la caminata baja (círculo vuelto hacia arriba). Demuestre desde esta propiedad que el sujeto está seguro de tener al menos conjeturas\(S\) correctas.

2. Cuando la caminata está en un punto\((x,x)\) la línea\(L\) el número de estrellas y círculos restantes es el mismo, y así el sujeto lanza una moneda. Mostrar que la probabilidad de que la caminata alcance\((x,x)\) es\[ \frac{\binom{S}{x} \binom{C}{x} }{ \binom{S + C}{2x} } \] Pista: Los resultados de\(2x\) las cartas son una distribución hipergeométrica (ver Sección [sec 5.1]).

3. Utilizando los resultados de (a) y (b) muestran que el número esperado de conjeturas correctas bajo adivinación inteligente es\[S + \sum_{x = 1}^C \frac{1}{2} \frac{ \binom{S}{x} \binom{C}{x} }{ \binom{S + C}{2x} } \]

Ejercicio\(\PageIndex{27}\)

Se ha dicho ¹² que una doctora B. Muriel Bristol declinó una taza de té afirmando que prefería una taza en la que primero se había vertido leche. La famosa estadística R. A. Fisher realizó una prueba para ver si podía decir si se le puso leche antes o después del té. Supongamos que para la prueba al Dr. Bristol se le dieron ocho tazas de té, cuatro en las que se puso la leche antes del té y cuatro en las que se puso la leche después del té.

1. ¿Cuál es el número esperado de conjeturas correctas que haría la señora si no tuviera información después de cada prueba y solo estuviera adivinando?

2. Usando el resultado de Ejercicio [exer 6.1.26] encuentra el número esperado de conjeturas correctas si se le dijo el resultado de cada suposición y utilizó una estrategia de adivinación óptima.

Ejercicio\(\PageIndex{28}\)

En un popular juego de computadora la computadora elige un número entero del 1\(n\) al azar. Al jugador se le dan\(k\) oportunidades de adivinar el número. Después de cada suposición, la computadora responde “correcta”, “demasiado pequeña” o “demasiado grande”.

1. Demuestre que si\(n \leq 2^k - 1\), entonces hay una estrategia que garantice que adivinará correctamente el número en\(k\) intentos.

2. Demuestra que si\(n \geq 2^k - 1\), hay una estrategia que te asegure de identificar uno de\(2^k - 1\) los números y por lo tanto da una probabilidad\((2^k - 1)/n\) de ganar. ¿Por qué es esta una estrategia óptima? Ilustra tu resultado en términos del caso\(n = 9\) y\(k = 3\).

Ejercicio\(\PageIndex{29}\)

En el juego de casino de blackjack al crupier se le reparten dos cartas, una boca arriba y otra boca abajo, y a cada jugador se le reparten dos cartas, ambas boca abajo. Si el repartidor está mostrando un as, el jugador puede mirar sus cartas abajo y luego hacer una apuesta llamada apuesta. (Los jugadores expertos reconocerán por qué se llama seguro). Si haces esta apuesta ganarás la apuesta si la segunda carta del repartidor es una: a saber, un diez, una jota, una reina o un rey. Si ganas, te pagan el doble de tu apuesta de seguro; de lo contrario pierdes esta apuesta. Demuestra que, si las únicas cartas que puedes ver son el as del crupier y tus dos cartas y si tus cartas no son diez cartas, entonces la apuesta de seguro es una apuesta desfavorable. Demuestre, sin embargo, que si estás jugando dos manos simultáneamente, y no tienes diez cartas, entonces es una apuesta favorable. (Thorp ¹³ ha demostrado que el juego de blackjack es favorable para el jugador si puede mantener un buen seguimiento de las cartas que se han jugado).

Ejercicio\(\PageIndex{30}\)

Supongamos que, cada vez que compres una caja de Wheaties, recibes una foto de uno de los\(n\) jugadores para los Yankees de Nueva York (ver Ejercicio [sec 3.2]. [exer 3.2.34]). Deja\(X_k\) ser el número de cajas adicionales que tienes que comprar, después de haber obtenido\(k - 1\) diferentes imágenes, para obtener la siguiente imagen nueva. Así\(X_1 = 1\),\(X_2\) es el número de cajas compradas después de esto para obtener una imagen diferente a la primera foto obtenida, y así sucesivamente.

1. Espectáculo que\(X_k\) tiene una distribución geométrica con\(p = (n - k + 1)/n\).

2. Simular el experimento para un equipo con 26 jugadores (25 serían más precisos pero queremos un número par). Realizar una serie de simulaciones y estimar el tiempo esperado requerido para obtener los primeros 13 jugadores y el tiempo esperado para obtener los segundos 13. ¿Cómo se comparan estas expectativas?

3. Demuestre que, si hay\(2n\) jugadores, el tiempo esperado para obtener la primera mitad de los jugadores es\[2n \left( \frac 1{2n} + \frac 1{2n - 1} +\cdots+ \frac 1{n + 1} \right)\ ,\] y el tiempo esperado para obtener el segundo tiempo es\[2n \left( \frac 1n + \frac 1{n - 1} +\cdots+ 1 \right)\ .\]

4. En Ejemplo [examen 6.5] declaramos que\[1 + \frac 12 + \frac 13 +\cdots+ \frac 1n \sim \log n + .5772 + \frac 1{2n}\ .\] Use esto para estimar la expresión en (c). Compara estas estimaciones con los valores exactos y también con tus estimaciones obtenidas por simulación para el caso\(n = 26\).

Ejercicio\(\PageIndex{31}\)

(Talador ¹⁴) Un gran número,\(N\), de personas son sometidas a un análisis de sangre. Esto se puede administrar de dos maneras: (1) Cada persona puede hacerse la\(N\) prueba por separado, en este caso se requieren pruebas, (2) las muestras de sangre de\(k\) las personas pueden agruparse y analizarse juntas. Si esta prueba es esta prueba basta para la\(k\) gente. Si la prueba es cada una de las\(k\) personas debe hacerse la prueba por separado, y en total, se requieren\(k + 1\) pruebas para las\(k\) personas. Supongamos que la probabilidad de\(p\) que una prueba sea positiva es la misma para todas las personas y que estos eventos sean independientes.

1. Encuentra la probabilidad de que la prueba para una muestra agrupada de\(k\) personas sea positiva.

2. ¿Cuál es el valor esperado del número\(X\) de pruebas necesarias bajo el plan (2)? (Supongamos que\(N\) es divisible por\(k\).)

3. Para pequeños\(p\), mostrar que el valor de los\(k\) cuales minimizará el número esperado de pruebas bajo el segundo plan es aproximadamente\(1/\sqrt p\).

Ejercicio\(\PageIndex{32}\)

Escribe un programa para agregar números aleatorios escogidos\([0,1]\) hasta la primera vez que la suma sea mayor a uno. Haga que su programa repita este experimento varias veces para estimar el número esperado de selecciones necesarias para que la suma de los números elegidos primero supere 1. A partir de sus experimentos, ¿cuál es su estimación para este número?

Ejercicio\(\PageIndex{33}\)

El siguiente problema discreto relacionado también da una buena pista para la respuesta al Ejercicio [exer 6.1.32]. Seleccionar aleatoriamente con reemplazo\(t_1\)\(t_2\),,...,\(t_r\) del conjunto\((1/n, 2/n, \dots, n/n)\). \(X\)Sea el valor más pequeño de\(r\) satisfacer\[t_1 + t_2 +\cdots+ t_r > 1\ .\] Entonces\(E(X) = (1 + 1/n)^n\). Para probar esto, podemos igual de bien elegir\(t_1\),,...\(t_2\),\(t_r\) aleatoriamente con reemplazo del conjunto\((1, 2, \dots, n)\) y dejar que\(X\) sea el valor más pequeño\(r\) para el cual\[t_1 + t_2 +\cdots+ t_r > n\ .\]

1. Usar Ejercicio [sec 3.2]. [exer 3.2.35.5] para demostrar que\[P(X \geq j + 1) = {n \choose j}{\Bigl(\frac {1}{n}\Bigr)^j}\ .\]

2. Demostrar que\[E(X) = \sum_{j = 0}^n P(X \geq j + 1)\ .\]

3. A partir de estos dos hechos, encuentra una expresión para\(E(X)\). Esta prueba se debe a Harris Schultz. ¹⁵

Ejercicio\(\PageIndex{34}\)

(Caja de cerillas de Banach ¹⁶) Un hombre lleva en cada uno de sus dos bolsillos delanteros una caja de cerillas que originalmente contenía\(N\) cerillas. Siempre que necesita una cerilla, elige un bolsillo al azar y saca uno de esa caja. Un día se mete la mano en un bolsillo y encuentra la caja vacía.

1. Vamos a\(p_r\) denotar la probabilidad de que el otro bolsillo contenga\(r\) coincidencias. Defina una secuencia de variables aleatorias de la siguiente manera: Dejar\(X_i = 1\) si el\(i\) sorteo es del bolsillo izquierdo, y 0 si es del bolsillo derecho. Interpretar\(p_r\) en términos de\(S_n = X_1 + X_2 +\cdots+ X_n\). Encuentra una expresión binomial para\(p_r\).

2. Escribir un programa de computadora para calcular el\(p_r\), así como la probabilidad de que el otro bolsillo contenga al menos\(r\) coincidencias, para\(N = 100\) y\(r\) de 0 a 50.

3. \((N - r)p_r = (1/2)(2N + 1)p_{r + 1} - (1/2)(r + 1)p_{r + 1}\)Demuéstralo.

4. Evaluar\(\sum_r p_r\).

5. Utilizar (c) y (d) para determinar la expectativa\(E\) de la distribución\(\{p_r\}\).

6. Usa la fórmula de Stirling para obtener una aproximación para\(E\). ¿Cuántas coincidencias debe contener cada caja para asegurar un valor de alrededor de 13 para la expectativa\(E\)? (Tomar\(\pi = 22/7\).)

Ejercicio\(\PageIndex{35}\)

Se lanza una moneda hasta que la primera vez que aparece una cabeza. Si esto ocurre en el\(n\) th lanzamiento y\(n\) es extraño ganas\(2^n/n\), pero si\(n\) es par entonces pierdes\(2^n/n\). Entonces si existen tus ganancias esperadas están dadas por la serie convergente\[1 - \frac 12 + \frac 13 - \frac 14 +\cdots\] llamada la alternante Es tentador decir que este debería ser el valor esperado del experimento. Demostrar que si tuviéramos que hacer esto, el valor esperado de un experimento dependería del orden en el que se listan los resultados.

Ejercicio\(\PageIndex{36}\)

Supongamos que tenemos una urna que contiene bolas\(c\) amarillas y bolas\(d\) verdes. Dibujamos\(k\) bolas, sin reemplazo, de la urna. Encuentra el número esperado de bolas amarillas dibujadas.: Escribe el número de bolas amarillas dibujadas como la suma de variables\(c\) aleatorias.

Ejercicio\(\PageIndex{37}\)

Se remite al lector a Ejemplo [examen 6.7] para una explicación de las diversas opciones disponibles en la ruleta Monte Carlo.

1. Calcular las ganancias esperadas de una apuesta de 1 franco en rojo bajo la opción (a).

2. Repita la parte (a) para la opción (b).

3. Compara las ganancias esperadas para las tres opciones.

Ejercicio\(\PageIndex{38}\)

(de Pittel ¹⁷) Las libretas telefónicas,\(n\) en número, se guardan en pila. La probabilidad de que el libro numerado\(i\) (donde\(1 \le i \le n\)) sea consultado para una llamada telefónica dada es\(p_i > 0\), donde la suma\(p_i\) de los's a 1. Después de usar un libro, se coloca en la parte superior de la pila. Supongamos que las llamadas son independientes y espaciadas uniformemente, y que el sistema ha sido empleado indefinidamente lejos en el pasado. Dejar\(d_i\) ser la profundidad promedio de libro\(i\) en la pila. \(d_i \le d_j\)Demuéstralo siempre\(p_i \ge p_j\). Así, en promedio, los libros más populares tienen una tendencia a estar más cerca de la parte superior de la pila.: Vamos a\(p_{ij}\) denotar la probabilidad de que el libro\(i\) esté por encima del libro\(j\). \(p_{ij} = p_{ij}(1 - p_j) + p_{ji}p_i\)Demuéstralo.

Ejercicio\(\PageIndex{39}\)

(de Propp ¹⁸) En el problema anterior,\(P\) sea la probabilidad de que en la actualidad, cada libro esté en su lugar apropiado, es decir, libro\(i\) es\(i\) th desde arriba. Encuentra una fórmula para\(P\) en términos\(p_i\) de los 's. además, encuentra el límite superior mínimo en\(P\), si se permite que los\(p_i\)'s varíen. Sugerencia: Primero encuentra la probabilidad de que el libro 1 esté en el lugar correcto. Entonces encuentra la probabilidad de que el libro 2 esté en el lugar correcto, dado que el libro 1 está en el lugar correcto. Continuar.

Ejercicio\(\PageIndex{40}\)

(de H. Shultz y B. Leonard ¹⁹) Se genera una secuencia de números aleatorios en\([0, 1)\) hasta que la secuencia ya no es monótona aumentando. Los números se eligen de acuerdo a la distribución uniforme. ¿Cuál es la longitud esperada de la secuencia? (Al calcular la longitud, se incluye el término que destruye la monotonicidad.): Dejar\(a_1,\ a_2,\ \ldots\) ser la secuencia y dejar\(X\) denotar la longitud de la secuencia. Entonces\[P(X > k) = P(a_1 < a_2 < \cdots < a_k)\ ,\] y la probabilidad en el lado derecho es fácil de calcular. Además, se puede demostrar que\[E(X) = 1 + P(X > 1) + P(X > 2) + \cdots\ .\]

Ejercicio\(\PageIndex{41}\)

\(T\)Sea la variable aleatoria que cuenta el número de 2-unshuffles realizados en un mazo\(n\) de cartas hasta que todas las etiquetas de las cartas sean distintas. Esta variable aleatoria se discutió en la Sección 3.3. Usando la Ecuación [eq 3.3.1] en esa sección, junto con la fórmula\[E(T) = \sum_{s = 0}^\infty P(T > s)\] que se probó en Ejercicio\(\PageIndex{33}\), muestran que

\[E(T) = \sum_{s = 0}^\infty \left(1 - {\binom{2^s}{n}}\frac{n!}{2^{sn}}\right) .\]

Demostrar que para\(n = 52\), esta expresión es aproximadamente igual a 11.7. (Como se indicó en el Capítulo 3, esto significa que en promedio, se requieren casi 12 barajados de riffle de una baraja de 52 cartas para que el proceso se considere aleatorio).