7.1: Sumas de variables aleatorias discretas

En este capítulo pasamos a la importante cuestión de determinar la distribución de una suma de variables aleatorias independientes en términos de las distribuciones de los constituyentes individuales. En esta sección consideramos solo sumas de variables aleatorias discretas, reservando el caso de variables aleatorias continuas para la siguiente sección.

Consideramos aquí solo variables aleatorias cuyos valores son enteros. Sus funciones de distribución se definen entonces en estos enteros. Encontraremos conveniente asumir aquí que estas funciones de distribución están definidas para todos los enteros, definiéndolas para que sean 0 donde no se definan de otra manera.

Convoluciones

Supongamos que X e Y son dos variables aleatorias discretas independientes con funciones de distribución\(m_1(x)\) y\(m_2(x)\). Dejar Z = X + Y. Nos gustaría determinar la función de distribución m3 (x) de Z. Para ello, basta con determinar la probabilidad de que Z tome el valor z, donde z es un entero arbitrario. Supongamos que X = k, donde k es algún entero. Entonces Z = z si y solo si Y = z − k Así que el evento Z = z es la unión de los eventos disjuntos por pares.

\[(X=k) \text{ and } (Y= z - k)\]

donde k corre sobre los enteros. Dado que estos eventos son desarticulados por pares, tenemos

\[P(Z=z) = \sum_{k=-\infty}^\infty P(X=k) \cdot P(Y=z-k)\]

Así, hemos encontrado la función de distribución de la variable aleatoria Z. Esto lleva a la siguiente definición.

Definición: convolución

Let\(X\) y\(Y\) ser dos variables aleatorias independientes de valor entero, con funciones de distribución\(m_1(x)\) y\(m_2(x)\) respectivamente. Entonces la convolución de\(m_1(x)\) y\(m_2(x)\) es la función de distribución\(m_3 = m_1 * m_2\) dada por

\[ m_3(j) = \sum_k m_1(k) \cdot m_2(j-k) ,\]

para j =.., −2, −1, 0, 1, 2,... La función m3 (x) es la función de distribución de la variable aleatoria Z = X + Y.

Es fácil ver que la operación de convolución es conmutativa, y es sencillo demostrar que también es asociativa.

Ahora deja\(S_n = X_1 + X_2 + . . . + X_n \) ser la suma de n variables aleatorias independientes de un proceso de ensayos independientes con función de distribución común m definida en los enteros. Entonces la función de distribución de\(S_1\) es m. Podemos escribir

\[ S_n = S_{n-1} + X_n \]

Así, ya que sabemos que la función de distribución de\(X_n\) es m, podemos encontrar la función de distribución de\(S_n\) por inducción.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Un dado se enrolla dos veces. Dejar\(X_1\) y\(X_2\) ser los resultados, y dejar que\( S_2 = X_1 + X_2\) sea la suma de estos resultados. Los\(X_1\) y\(X_2\) tienen la función de distribución común:

\[ m = \bigg( \begin{array}{}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \end{array} \bigg) .\]

La función de distribución de\(S_2\) es entonces la convolución de esta distribución consigo misma. Por lo tanto,

\[\begin{array}{} P(S_2 =2) & = & m(1)m(1) \\ & = & \frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6} = \frac{1}{36} \\ P(S_2 =3) & = & m(1)m(2) + m(2)m(1) \\ & = & \frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6} + \frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6} = \frac{2}{36} \\ P(S_2 =4) & = & m(1)m(3) + m(2)m(2) + m(3)m(1) \\ & = & \frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6} + \frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6} + \frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6} = \frac{3}{36}\end{array}\]

Continuando de esta manera encontraríamos\(P(S_2 = 5) = 4/36, P(S_2 = 6) = 5/36, P(S_2 = 7) = 6/36, P(S_2 = 8) = 5/36, P(S_2 = 9) = 4/36, P(S_2 = 10) = 3/36, P(S_2 = 11) = 2/36,\) y\(P(S_2 = 12) = 1/36\). La distribución para S3 sería entonces la convolución de la distribución para\(S_2\) con la distribución para\(X_3\). Así\(P(S_3 = 3) = P(S_2 = 2)P(X_3 = 1)\).

y así sucesivamente.

Esto es claramente un trabajo tedioso, y se debe escribir un programa para llevar a cabo este cálculo. Para ello, primero escribimos un programa para formar la convolución de dos densidades p y q y devolver la densidad r. Luego podemos escribir un programa para encontrar la densidad para la suma Sn de n variables aleatorias independientes con una densidad común p, al menos en el caso de que las variables aleatorias tengan un número finito de posibles valores.

Ejecutar este programa para el ejemplo de enrollar un dado n veces para n = 10, 20, 30 da como resultado las distribuciones que se muestran en la Figura 7.1. Vemos que, como en el caso de los juicios de Bernoulli, las distribuciones se convierten en campanas. Discutiremos en el Capítulo 9 un teorema muy general llamado Teorema del Límite Central que explicará este fenómeno.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Un método bien conocido para evaluar una mano de puente es: a un as se le asigna un valor de 4, a un rey 3, a una reina 2 y a un gato 1. A todas las demás tarjetas se les asigna un valor de 0. El conteo de puntos de la mano es entonces la suma de los valores de las cartas en la mano. (En realidad es más complicado que esto, tomando en cuenta los vacíos en los trajes, y así sucesivamente, pero consideramos aquí esta forma simplificada del recuento de puntos.) Si una carta es repartida al azar a un jugador, entonces el conteo de puntos para esta carta tiene distribución

\[ p_x = \bigg( \begin{array}{} 0&1 & 2 & 3 & 4 \\ 36/52 & 4/52 & 4/52 & 4/52 & 4/52 \end{array} \bigg) \].

Consideremos la mano total de 13 cartas como 13 pruebas independientes con esta distribución común. (Nuevamente esto no es del todo correcto porque asumimos aquí que siempre estamos eligiendo una carta de una baraja completa). Entonces la distribución para el conteo de puntos C para la mano se puede encontrar desde el programa nFoldConvolution usando la distribución para una sola tarjeta y eligiendo n = 13. Se dice que un jugador con un conteo de puntos de 13 o más tiene una oferta de apertura. La probabilidad de tener una oferta de apertura es entonces

\[P(C \geq 13) \].

Ya que tenemos la distribución de C, es fácil calcular esta probabilidad. Haciendo esto encontramos que

\[ P(C \geq 13) = .2485,\]

de manera que aproximadamente una de cada cuatro manos debería ser una oferta de apertura de acuerdo con este modelo simplificado. Una discusión más realista de este problema se puede encontrar en Epstein, La teoría del juego y la lógica estadística. \(^1\)

Para ciertas distribuciones especiales es posible encontrar una expresión para la distribución que resulta de convolucionar la distribución consigo misma n veces. La convolución de dos distribuciones binomiales, una con parámetros m y p y la otra con parámetros n y p, es una distribución binomial con parámetros\((m + n)\) y\(p\). Este hecho se desprende fácilmente de una consideración del experimento que consiste en lanzar primero una moneda m veces, y luego lanzarla n veces más.

La convolución de k distribuciones geométricas con el parámetro común p es una distribución binomial negativa con los parámetros p y k. Esto se puede ver considerando el experimento que consiste en lanzar una moneda hasta que aparezca la k ésima cabeza.

Ejercicios

\(\PageIndex{1}\)

Un dado se enrolla tres veces. Encuentra la probabilidad de que la suma de los resultados sea (a) mayor que 9 (b) un número impar.

\(\PageIndex{2}\)

El precio de una acción en un día de negociación determinado cambia según la distribución

\[ p_X = \bigg( \begin{array}{} -1 & 0 & 1 & 2 \\ 1/4 & 1/2 & 1/8 & 1/8 \end{array} \bigg) \].

Encuentre la distribución para cambio en el precio de las acciones después de dos días de negociación (independientes).

\(\PageIndex{3}\)

Dejar\(X_1\) y\(X_2\) ser variables aleatorias independientes con distribución común

\[ p_X = \bigg( \begin{array}{} 0 & 1 & 2 \\ 1/2 & 3/8 & 1/2 \end{array} \bigg) \].

Encuentra la distribución de la suma\(X_1\) +\(X_2\).

\(\PageIndex{4}\)

En una jugada de cierto juego ganas una cantidad X con distribución

\[ p_X = \bigg( \begin{array}{} 1 & 2 & 3 \\ 1/4 & 1/4 & 1/2 \end{array} \bigg) \].

Usando el programa nFoldConvolution encuentra la distribución de tus ganancias totales después de diez jugadas (independientes). Trazar esta distribución.

\(\PageIndex{5}\)

Considera los dos experimentos siguientes: el primero tiene el resultado X tomando los valores 0, 1 y 2 con probabilidades iguales; el segundo da como resultado un resultado (independiente) Y tomando el valor 3 con probabilidad 1/4 y 4 con probabilidad 3/4. Encuentra la distribución de

\[ \begin{array}{} (a) & Y+X \\ (b) & Y-X \end{array}\]

\(\PageIndex{6}\)

Las personas llegan a una cola según el siguiente esquema: Durante cada minuto de tiempo llega 0 o 1 persona. La probabilidad de que llegue 1 persona es p y que ninguna persona llegue es\(q = 1 − p\). Dejar\(C_r\) ser el número de clientes que llegan en los primeros r minutos. Considera un proceso de ensayos de Bernoulli con éxito si una persona llega en una unidad de tiempo y falla si ninguna persona llega en una unidad de tiempo. \(T_r\)Sea el número de fracasos antes del r º éxito.

\[ \begin{array}{} (a) & What is the distribution for \(T_r\) \\ (b) & What is the distribution \(C_r\) \\ (c) Find the mean and variance for the number of customers arriving in the first r minutes \end{array}\]

\(\PageIndex{7}\)

(a) Un dado se enrolla tres veces con resultados\(X_1, X_2\) y\(X_3\). Dejar\(Y_3\) ser el valor máximo obtenido. Demostrar que

\[P(Y_3 \leq j) = P(X_1 \leq j)^3\]

Utilice este encontrar la distribución de\(Y_3\). ¿\(Y_3\)Tiene una distribución en forma de campana?

(b) Ahora deja\(Y_n\) ser el valor máximo cuando se lanzan n dados. Encuentra la distribución de\(Y_n\). ¿Esta distribución tiene forma de campana para grandes valores de n?

\(\PageIndex{8}\)

Un beisbolista va a jugar en la Serie Mundial. Con base en su juego de temporada, estimas que si llega a batear cuatro veces en un juego el número de hits que obtendrá tiene una distribución

\[ p_X = \bigg( \begin{array}{} 0&1&2&3&4\\.4&.2&.2&.1&.1 \end{array} \bigg) \]

Supongamos que el jugador llega a batear cuatro veces en cada juego de la serie.

(a) Que X denote el número de hits que obtiene en una serie. Usando el programa nFoldConvolution, encuentra la distribución de X para cada una de las longitudes de serie posibles: cuatro juegos, cinco juegos, seis juegos, siete juegos.

(b) Utilizando una de las distribuciones que se encuentran en la parte (a), encuentra la probabilidad de que su promedio de bateo supere .400 en una serie de cuatro juegos. (El promedio de bateo es el número de golpes dividido por el número de veces al bate).

c) Dada la distribución pX, ¿cuál es su promedio de bateo a largo plazo?

\(\PageIndex{9}\)

Demuestra que no puedes cargar dos dados de tal manera que las probabilidades para cualquier suma de 2 a 12 sean las mismas. (Asegúrese de considerar el caso donde uno o más lados aparecen con probabilidad cero.)

\(\PageIndex{10}\)

(Lévy\(^2\)) Supongamos que n es un entero, no primo. Demuestre que puede encontrar dos distribuciones a y b en los enteros no negativos de tal manera que la convolución de a y b es la distribución equiprobable en el conjunto 0, 1, 2,.., n − 1. Si n es prime esto no es posible, pero la prueba no es tan fácil. (Supongamos que ni a ni b se concentran en 0.)

\(\PageIndex{11}\)

Supongamos que estás jugando a los dados con dados que se cargan de la siguiente manera: las caras dos, tres, cuatro y cinco todas vienen con la misma probabilidad (1/6) + r. caras uno y seis vienen con probabilidad (1/6) − 2r, con\(0 < r < .02.\) Escribe un programa de computadora para encontrar la probabilidad de ganar en dados con estos dados, y usando tu programa encuentra qué valores de r hacen de los dados un juego favorable para el jugador con estos dados.