5.22: Distribuciones Uniformes Discretas

\(\newcommand{\R}{\mathbb{R}}\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}\)\(\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}\)\(\newcommand{\E}{\mathbb{E}}\)\(\newcommand{\P}{\mathbb{P}}\)\(\newcommand{\var}{\text{var}}\)\(\newcommand{\sd}{\text{sd}}\)\(\newcommand{\cov}{\text{cov}}\)\(\newcommand{\cor}{\text{cor}}\)\(\newcommand{\skw}{\text{skew}}\)\(\newcommand{\kur}{\text{kurt}}\)

Distribuciones uniformes en un conjunto finito

Supongamos que\( S \) es un conjunto finito no vacío. Una variable aleatoria\( X \) que toma valores\( S \) tiene la distribución uniforme en\( S \) si\[ \P(X \in A) = \frac{\#(A)}{\#(S)}, \quad A \subseteq S \]

La distribución uniforme discreta es un caso especial de la distribución uniforme general con respecto a una medida, en este caso contando la medida. La distribución corresponde a escoger un elemento de\( S \) al azar. La mayoría de los modelos clásicos de probabilidad combinatoria se basan en distribuciones uniformes discretas subyacentes. El capítulo sobre Modelos de Muestreo Finito explora varios de estos modelos.

La función de densidad de probabilidad\( f \) de\( X \) viene dada por\[ f(x) = \frac{1}{\#(S)}, \quad x \in S \]

Prueba

Esto se desprende de la definición de la función de densidad de probabilidad (discreta):\( \P(X \in A) = \sum_{x \in A} f(x) \) for\( A \subseteq S \). O más simplemente,\(f(x) = \P(X = x) = 1 / \#(S)\).

Como todas las distribuciones uniformes, la distribución uniforme discreta en un conjunto finito se caracteriza por la propiedad de densidad constante en el conjunto. Otra propiedad que comparten todas las distribuciones uniformes es la invarianza bajo condicionamiento en un subconjunto.

Supongamos que\( R \) es un subconjunto no vacío de\( S \). Entonces la distribución condicional de\( X \) dado\( X \in R \) es uniforme en\( R \).

Prueba

Para\( A \subseteq R \),\[ \P(X \in A \mid X \in R) = \frac{\P(X \in A)}{\P(X \in R)} = \frac{\#(A) \big/ \#(S)}{\#(R) \big/ \#(S)} = \frac{\#(A)}{\#(R)} \]

Si\( h: S \to \R \) entonces el valor esperado de\( h(X) \) es simplemente el promedio aritmético de los valores de\( h \):\[ \E[h(X)] = \frac{1}{\#(S)} \sum_{x \in S} h(x) \]

Prueba

Esto se deduce del cambio de teorema de variables para el valor esperado:\[ \E[h(X)] = \sum_{x \in S} f(x) h(x) = \frac 1 {\#(S)} \sum_{x \in S} h(x) \]

La entropía de\( X \) depende únicamente del número de puntos en\( S \).

La entropía de\( X \) es\( H(X) = \ln[\#(S)] \).

Prueba

Vamos\( n = \#(S) \). Entonces\[ H(X) = \E\{-\ln[f(X)]\} = \sum_{x \in S} -\ln\left(\frac{1}{n}\right) \frac{1}{n} = -\ln\left(\frac{1}{n}\right) = \ln(n) \]

Distribuciones Uniformes en Subconjuntos Finitos de\( \R \)

Sin alguna estructura adicional, no se puede decir mucho más sobre las distribuciones uniformes discretas. Así, supongamos que\( n \in \N_+ \) y que\( S = \{x_1, x_2, \ldots, x_n\} \) es un subconjunto de\( \R \) con\( n \) puntos. Supondremos que los puntos están indexados en orden, así que eso\( x_1 \lt x_2 \lt \cdots \lt x_n \). Supongamos que\( X \) tiene la distribución uniforme encendida\( S \).

La función\( f \) de densidad de probabilidad de\( X \) viene dada por\( f(x) = \frac{1}{n} \) for\( x \in S \).

La función\( F \) de distribución de\( X \) viene dada por

1. \( F(x) = 0 \)para\( x \lt x_1 \)
2. \( F(x) = \frac{k}{n} \)para\( x_k \le x \lt x_{k+1}\) y\( k \in \{1, 2, \ldots n - 1 \} \)
3. \( F(x) = 1 \)para\( x \gt x_n \)

Prueba

Esto se desprende de la definición de la función de distribución:\( F(x) = \P(X \le x) \) for\( x \in \R \).

La función cuantil\( F^{-1} \) de\( X \) viene dada por\( F^{-1}(p) = x_{\lceil n p \rceil} \) for\( p \in (0, 1] \).

Prueba

Por definición,\( F^{-1}(p) = x_k \) para\(\frac{k - 1}{n} \lt p \le \frac{k}{n}\) y\(k \in \{1, 2, \ldots, n\} \). De ello se deduce que\( k = \lceil n p \rceil \) en esta formulación.

Los momentos de\( X \) son promedios aritméticos ordinarios.

Para\( k \in \N \)\[ \E\left(X^k\right) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i^k \]

En particular,

La media y varianza\( X \) de

1. \( \mu = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i \)
2. \( \sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2 \)

Distribuciones uniformes en intervalos discretos

Nos especializamos más en el caso donde el subconjunto finito de\( \R \) es un intervalo discreto, es decir, los puntos están uniformemente espaciados.

La distribución estándar

Supongamos que\( n \in \N_+ \) y que\( Z \) tiene la distribución uniforme discreta encendida\( S = \{0, 1, \ldots, n - 1 \} \). La distribución de\( Z \) es la distribución uniforme discreta estándar con\( n \) puntos.

Por supuesto, los resultados del subapartado anterior aplican con\( x_i = i - 1 \) y\( i \in \{1, 2, \ldots, n\} \).

La función\( g \) de densidad de probabilidad de\( Z \) viene dada por\( g(z) = \frac{1}{n} \) for\( z \in S \).

Abra la Simulación de Distribución Especial y seleccione la distribución uniforme discreta. Varíe el número de puntos, pero mantenga los valores predeterminados para los demás parámetros. Anote la gráfica de la función de densidad de probabilidad. Ejecute la simulación 1000 veces y compare la función de densidad empírica con la función de densidad de probabilidad.

La función\( G \) de distribución de\( Z \) está dada por\( G(z) = \frac{1}{n}\left(\lfloor z \rfloor + 1\right) \) for\( z \in [0, n - 1] \).

Prueba

Tenga en cuenta que\(G(z) = \frac{k}{n}\) para\( k - 1 \le z \lt k \) y\( k \in \{1, 2, \ldots n - 1\} \). Así\( k - 1 = \lfloor z \rfloor \) en esta formulación.

La función cuantil\( G^{-1} \) de\( Z \) viene dada por\( G^{-1}(p) = \lceil n p \rceil - 1 \) for\( p \in (0, 1] \). En particular

1. \( G^{-1}(1/4) = \lceil n/4 \rceil - 1 \)es el primer cuartil.
2. \( G^{-1}(1/2) = \lceil n / 2 \rceil - 1 \)es la mediana.
3. \( G^{-1}(3/4) = \lceil 3 n / 4 \rceil - 1 \)es el tercer cuartil.

Prueba

Tenga en cuenta que\(G^{-1}(p) = k - 1\) para\( \frac{k - 1}{n} \lt p \le \frac{k}{n}\) y\(k \in \{1, 2, \ldots, n\} \). Así\( k = \lceil n p \rceil \) en esta formulación.

Abra la calculadora de distribución especial y seleccione la distribución uniforme discreta. Varíe el número de puntos, pero mantenga los valores predeterminados para los demás parámetros. Anote la gráfica de la función de distribución. Calcular algunos valores de la función de distribución y la función cuantil.

Para la distribución uniforme estándar, los resultados para los momentos se pueden dar en forma cerrada.

La media y varianza\( Z \) de

1. \( \E(Z) = \frac{1}{2}(n - 1) \)
2. \( \var(Z) = \frac{1}{12}(n^2 - 1) \)

Prueba

Recordemos que\ begin {align}\ sum_ {k=0} ^ {n-1} k & =\ frac {1} {2} n (n - 1)\\\ sum_ {k=0} ^ {n-1} k^2 & =\ frac {1} {6} n (n - 1) (2 n - 1)\ end {align} Por lo tanto\( \E(Z) = \frac{1}{2}(n - 1) \) y\( \E(Z^2) = \frac{1}{6}(n - 1)(2 n - 1) \). La parte b) se desprende de\( \var(Z) = \E(Z^2) - [\E(Z)]^2 \).

Abra la Simulación de Distribución Especial y seleccione la distribución uniforme discreta. Varíe el número de puntos, pero mantenga los valores predeterminados para los demás parámetros. Tenga en cuenta el tamaño y la ubicación de la barra de devación\(\pm\) estándar media. Ejecute la simulación 1000 veces y compare la media empírica y la desviación estándar con la media verdadera y la desviación estándar.

La asimetría y curtosis\( Z \) de

1. \( \skw(Z) = 0 \)
2. \( \kur(Z) = \frac{3}{5} \frac{3 n^2 - 7}{n^2 - 1} \)

Prueba

Recordemos que\ begin {align}\ sum_ {k=1} ^ {n-1} k^3 & =\ frac {1} {4} (n - 1) ^2 n^2\\\ sum_ {k=1} ^ {n-1} k^4 & =\ frac {1} {30} (n - 1) (2 n - 1) (3 n^2 - 3 n - 1)\ end {align} Por lo tanto\( \E(Z^3) = \frac{1}{4}(n - 1)^2 n \) y\( \E(Z^4) = \frac{1}{30}(n - 1)(2 n - 1)(3 n^2 - 3 n - 1) \). Los resultados se derivan ahora de los resultados sobre la media y la varaince y las fórmulas estándar para asimetría y curtosis. Por supuesto, el hecho que\( \skw(Z) = 0 \) también se desprende de la simetría de la distribución.

Tenga en cuenta que\( \skw(Z) \to \frac{9}{5} \) como\( n \to \infty \). El valor límite es la asimetría de la distribución uniforme en un intervalo.

\( Z \)tiene la función de generación de probabilidad\( P \) dada por\( P(1) = 1 \) y\[ P(t) = \frac{1}{n}\frac{1 - t^n}{1 - t}, \quad t \in \R \setminus \{1\} \]

Prueba

\[ P(t) = \E\left(t^Z\right) = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} t^k = \frac{1}{n} \frac{1 - t^n}{1 - t} \]

La distribución general

Ahora generalizamos la distribución uniforme discreta estándar agregando parámetros de ubicación y escala.

Supongamos que\( Z \) tiene la distribución uniforme discreta estándar en\( n \in \N_+ \) puntos, y eso\( a \in \R \) y\( h \in (0, \infty) \). Después\( X = a + h Z \) tiene la distribución uniforme en\( n \) puntos con parámetro de ubicación\( a \) y parámetro de escala\( h \).

Tenga en cuenta que\( X \) toma valores en\[ S = \{a, a + h, a + 2 h, \ldots, a + (n - 1) h\} \] para que\( S \) tenga\( n \) elementos, comenzando en\( a \), con tamaño de paso\( h \), un intervalo discreto. En el caso especial adicional donde\( a \in \Z \) y\( h = 1 \), tenemos un intervalo entero. Tenga en cuenta que el último punto es\( b = a + (n - 1) h \), por lo que claramente podemos parametrizar también la distribución por los puntos finales\( a \) y\( b \), y el tamaño del paso\( h \). Con esta parametrización, el número de puntos es\( n = 1 + (b - a) / h \). Para lo que resta de esta discusión, asumimos que\(X\) tiene la distribución en la definición. Nuestro primer resultado es que la distribución de\( X \) realmente es uniforme.

\( X \)tiene la función de densidad de probabilidad\( f \) dada por\( f(x) = \frac{1}{n} \) for\( x \in S \)

Prueba

Recordemos que\( f(x) = g\left(\frac{x - a}{h}\right) \) para\( x \in S \), donde\( g \) esta el PDF de\( Z \).

Abra la Simulación de Distribución Especial y seleccione la distribución uniforme discreta. Varíe los parámetros y anote la gráfica de la función de densidad de probabilidad. Para diversos valores de los parámetros, ejecute la simulación 1000 veces y compare la función de densidad empírica con la función de densidad de probabilidad.

La función\( F \) de distribución de\( x \) viene dada por\[ F(x) = \frac{1}{n}\left(\left\lfloor \frac{x - a}{h} \right\rfloor + 1\right), \quad x \in [a, b] \]

Prueba

Recordemos que\( F(x) = G\left(\frac{x - a}{h}\right) \) para\( x \in S \), donde\( G \) esta el CDF de\( Z \).

La función cuantil\( F^{-1} \) de\( X \) viene dada por\( G^{-1}(p) = a + h \left( \lceil n p \rceil - 1 \right)\) for\( p \in (0, 1] \). En particular

1. \( F^{-1}(1/4) = a + h \left(\lceil n/4 \rceil - 1\right) \)es el primer cuartil.
2. \( F^{-1}(1/2) = a + h \left(\lceil n / 2 \rceil - 1\right) \)es la mediana.
3. \( F^{-1}(3/4) = a + h \left(\lceil 3 n / 4 \rceil - 1\right) \)es el tercer cuartil.

Prueba

Recordemos que\( F^{-1}(p) = a + h G^{-1}(p) \) para\( p \in (0, 1] \), donde\( G^{-1} \) esta la función cuantil de\( Z \).

Abra la calculadora de distribución especial y seleccione la distribución uniforme discreta. Varíe los parámetros y anote la gráfica de la función de distribución. Calcular algunos valores de la función de distribución y la función cuantil.

La media y varianza\( X \) de

1. \( \E(X) = a + \frac{1}{2}(n - 1) h = \frac{1}{2}(a + b) \)
2. \( \var(X) = \frac{1}{12}(n^2 - 1) h^2 = \frac{1}{12}(b - a)(b - a + 2 h) \)

Prueba

Recordemos eso\( \E(X) = a + h \E(Z) \) y\( \var(X) = h^2 \var(Z) \), por lo que los resultados se derivan de los resultados correspondientes para la distribución estándar.

Tenga en cuenta que la media es la media de los puntos finales (y también lo es el punto medio del intervalo\( [a, b] \)) mientras que la varianza depende únicamente del número de puntos y del tamaño del paso.

Abra el Simulador de Distribución Especial y seleccione la distribución uniforme discreta. Varíe los parámetros y anote la forma y ubicación de la barra de desviación media/estándar. Para valores seleccionados de los parámetros, ejecute la simulación 1000 veces y compare la media empírica y la desviación estándar con la media verdadera y la desviación estándar.

La asimetría y curtosis\( Z \) de

1. \( \skw(X) = 0 \)
2. \( \kur(X) = \frac{3}{5} \frac{3 n^2 - 7}{n^2 - 1} \)

Prueba

Recordemos que la asimetría y curtosis se definen en términos de la puntuación estándar, y por lo tanto son la asimetría y curtosis de\( X \) son las mismas que la asimetría y curtosis de\( Z \).

\( X \)tiene función de generación de momento\( M \) dada por\( M(0) = 1 \) y\[ M(t) = \frac{1}{n} e^{t a} \frac{1 - e^{n t h}}{1 - e^{t h}}, \quad t \in \R \setminus \{0\} \]

Prueba

Tenga en cuenta que\( M(t) = \E\left(e^{t X}\right) = e^{t a} \E\left(e^{t h Z}\right) = e^{t a} P\left(e^{t h}\right) \) donde\( P \) está la función de generación de probabilidad de\( Z \).

Distribuciones Relacionadas

Dado que la distribución uniforme discreta en un intervalo discreto es una familia de escala de ubicación, se cierra trivialmente bajo transformaciones de escala de ubicación.

Supongamos que\( X \) tiene la distribución uniforme discreta en\(n \in \N_+\) puntos con parámetro de ubicación\(a \in \R\) y parámetro de escala\(h \in (0, \infty)\). Si\(c \in \R\) y\(w \in (0, \infty)\) luego\(Y = c + w X\) tiene la distribución uniforme discreta en\(n\) puntos con parámetro de ubicación\(c + w a\) y parámetro de escala\(w h\).

Prueba

Por definición podemos tomar\(X = a + h Z\) donde\(Z\) tiene la distribución uniforme estándar en\(n\) puntos. Entonces\(Y = c + w X = (c + w a) + (w h) Z\).

En términos de parametrización de punto final,\(X\) tiene extremo izquierdo\(a\), extremo derecho y tamaño de paso\(a + (n - 1) h\),\(h\) mientras que\(Y\) tiene extremo izquierdo\(c + w a\)\((c + w a) + (n - 1) wh\), extremo derecho y tamaño de paso\(wh\).

La distribución uniforme en un intervalo discreto converge a la distribución uniforme continua en el intervalo con los mismos puntos finales, ya que el tamaño del paso disminuye a 0.

Supongamos que\( X_n \) tiene la distribución uniforme discreta con puntos finales\( a \) y\( b \), y tamaño de paso\( (b - a) / n \), para cada uno\( n \in \N_+ \). Entonces la distribución de\( X_n \) converge a la distribución uniforme continua en\( [a, b] \) as\( n \to \infty \).

Prueba

El CDF\( F_n \) de\( X_n \) lo da\[ F_n(x) = \frac{1}{n} \left\lfloor n \frac{x - a}{b - a} \right\rfloor, \quad x \in [a, b] \] Pero\( n y - 1 \le \lfloor ny \rfloor \le n y \) para\( y \in \R \) así\( \lfloor n y \rfloor / n \to y \) como\( n \to \infty \). De ahí en\( F_n(x) \to (x - a) / (b - a) \)\( n \to \infty \) cuanto a\( x \in [a, b] \), y este es el CDF de la distribución uniforme continua en\( [a, b] \).