Saltar al contenido principal

# 5.24: La distribución del triángulo

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$

$$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$

$$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$

$$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$$

$$\newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}}$$

$$\newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}}$$

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$$ $$\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$$ $$\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$$ $$\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$$ $$\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$$ $$\newcommand{\evec}{\mathbf e}$$ $$\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$$ $$\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$$ $$\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$$ $$\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$$ $$\newcommand{\svec}{\mathbf s}$$ $$\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$$ $$\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$$ $$\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$$ $$\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$$ $$\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$$ $$\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$$ $$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$$ $$\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$$ $$\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$$ $$\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$$ $$\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$$ $$\newcommand{\real}{\mathbb R}$$ $$\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$$ $$\newcommand{\bcal}{\cal B}$$ $$\newcommand{\ccal}{\cal C}$$ $$\newcommand{\scal}{\cal S}$$ $$\newcommand{\wcal}{\cal W}$$ $$\newcommand{\ecal}{\cal E}$$ $$\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$$ $$\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$$ $$\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$$ $$\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$$ $$\newcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\col}{\text{Col}}$$ $$\renewcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$$ $$\newcommand{\var}{\text{Var}}$$ $$\newcommand{\corr}{\text{corr}}$$ $$\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$$ $$\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$$ $$\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$$ $$\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$$ $$\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$$ $$\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$$ $$\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$$ $$\newcommand{\lt}{<}$$ $$\newcommand{\gt}{>}$$ $$\newcommand{\amp}{&}$$ $$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$$
$$\newcommand{\R}{\mathbb{R}}$$$$\newcommand{\N}{\mathbb{N}}$$$$\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}$$$$\newcommand{ \E}{\mathbb{E}}$$$$\newcommand{\P}{\mathbb{P}}$$$$\newcommand{\var}{\text{var}}$$$$\newcommand{\sd}{\text{sd}}$$$$\newcommand{\bs}{\boldsymbol}$$$$\newcommand{\sgn}{\text{sgn}}$$$$\newcommand{\skw}{\text{skew}}$$$$\newcommand{\kur}{\text{kurt}}$$

Al igual que la distribución del semicírculo, la distribución del triángulo se basa en una forma geométrica simple. La distribución surge de forma natural cuando las variables aleatorias distribuidas uniformemente se transforman de diversas maneras.

## La distribución estándar del triángulo

### Funciones de distribución

La distribución triangular estándar con vértice en$$p \in [0, 1]$$ (equivalentemente, parámetro shape$$p$$) es una distribución continua$$[0, 1]$$ con la función de densidad de probabilidad$$g$$ descrita de la siguiente manera:

1. Si$$p = 0$$ entonces$$g(x) = 2 (1 - x)$$ por$$x \in [0, 1]$$
2. Si$$p = 1$$ entonces$$g(x) = 2 x$$ por$$x \in [0, 1]$$.
3. Si$$p \in (0, 1)$$ entonces$g(x) = \begin{cases} \frac{2x}{p}, & x \in [0, p] \\ \frac{2 (1 - x)}{1 - p}, & x \in [p, 1] \end{cases}$

La forma de la función de densidad de probabilidad justifica la distribución del nombre triángulo.

La gráfica de$$g$$, junto con el dominio$$[0, 1]$$, forma un triángulo con vértices$$(0, 0)$$,$$(1, 0)$$, y$$(p, 2)$$. El modo de distribución es$$x = p$$.

1. Si$$p = 0$$,$$g$$ es decreciente.
2. Si$$p = 1$$,$$g$$ va en aumento.
3. Si$$p \in (0, 1)$$,$$g$$ aumenta y luego disminuye.
Prueba

Usando$$[0, 1]$$ como base, podemos calcular el área del triángulo como$$\frac{1}{2} 2 = 1$$ así vemos inmediatamente que$$g$$ es una función de densidad de probabilidad válida. Las propiedades son obvias.

Abra el simulador de distribución especial y seleccione la distribución triangular. Vary$$p$$ (pero mantenga los valores predeterminados para los otros parámetros) y anote la forma de la función de densidad de probabilidad. Para valores seleccionados de$$p$$, ejecute la simulación 1000 veces y compare la función de densidad empírica con la función de densidad de probabilidad.

La función de distribución$$G$$ se da de la siguiente manera:

1. Si$$p = 0$$,$$G(x) = 1 - (1 - x)^2$$ para$$x \in [0, 1]$$.
2. Si$$p = 1$$,$$G(x) = x^2$$ para$$x \in [0, 1]$$.
3. Si$$p \in (0, 1)$$$G(x) = \begin{cases} \frac{x^2}{p}, & x \in [0, p] \\ 1 - \frac{(1 - x)^2}{1 - p}, & x \in [p, 1] \end{cases}$
Prueba

Este resultado se desprende del cálculo estándar desde$$G(x) = \int_0^x g(t) \, dt$$.

La función quantile$$G^{-1}$$ viene dada por$G^{-1}(u) = \begin{cases} \sqrt{u p}, & u \in [0, p] \\ 1 - \sqrt{(1 - u)(1 - p)}, & u \in [p, 1] \end{cases}$

1. El primer cuartil es$$\sqrt{\frac{1}{4}p}$$ si$$p \in \left[\frac{1}{4}, 1\right]$$ y es$$1 - \sqrt{\frac{3}{4} (1 - p)}$$ si$$p \in \left[0, \frac{1}{4}\right]$$
2. La mediana es$$\sqrt{\frac{1}{2} p}$$ si$$p \in \left[\frac{1}{2}, 1\right]$$ y es$$1 - \sqrt{\frac{1}{2}(1 - p)}$$ si$$p \in \left[0, \frac{1}{2}\right]$$.
3. El tercer cuartil es$$\sqrt{\frac{3}{4} p}$$ si$$p \in \left[\frac{3}{4}, 1\right]$$ y es$$1 - \sqrt{\frac{1}{4}(1 - p)}$$ si$$p \in \left[0, \frac{3}{4}\right]$$.

Abra la calculadora de distribución especial y seleccione la distribución triangular. Vary$$p$$ (pero mantenga los valores predeterminados para los demás parámetros) y anote la forma de la función de distribución. Para valores seleccionados de$$p$$, compute el primer y tercer cuartiles.

### Momentos

Supongamos que$$X$$ tiene la distribución triangular estándar con vértice$$p \in [0, 1]$$. Los momentos son fáciles de calcular.

Supongamos que$$n \in \N$$.

1. Si$$p = 1$$,$$\E(X^n) = 2 \big/ (n + 2)$$.
2. Si$$p \in [0, 1)$$,$\E(X^n) = \frac{2}{n + 1} p^{n+2} + \frac{2}{n + 1} \frac{1 - p^{n+1}}{1 - p} + \frac{2}{n + 2}\frac{1 - p^{n+2}}{1 - p}$
Prueba

Esto se desprende del cálculo estándar, ya que$$\E(X^n) = \int_0^1 x^n g(x) \, dx$$.

A partir de la fórmula de momento general, podemos calcular la media, varianza, asimetría y curtosis.

La media y varianza$$X$$ de

1. $$\E(X) = \frac{1}{3}(1 + p)$$
2. $$\var(X) = \frac{1}{18}[1 - p(1 - p)]$$
Prueba

Esto se desprende del resultado del momento general. Recordemos eso$$\var(X) = \E\left(X^2\right) - [\E(X)]^2$$.

Tenga en cuenta que$$\E(X)$$ aumenta de$$\frac{1}{3}$$ a$$\frac{2}{3}$$ medida que$$p$$ aumenta de 0 a 1. La gráfica de$$\var(X)$$ es una parábola que se abre hacia abajo; el valor más grande es$$\frac{1}{18}$$ cuándo$$p = 0$$ o$$p = 1$$ y el valor más pequeño es$$\frac{1}{24}$$ cuándo$$p = \frac{1}{2}$$.

Abra el simulador de distribución especial y seleccione la distribución triangular. Varíe$$p$$ (pero mantenga los valores predeterminados para los otros parámetros) y anote el tamaño y la ubicación de la barra de desviación$$\pm$$ estándar media. Para los valores seleccionados de$$p$$, ejecute la simulación 1000 veces y compare la media empírica y la desviación estándar con la media de distribución y la desviación estándar.

La asimetría de$$X$$ es$\skw(X) = \frac{\sqrt{2} (1 - 2 p)(1 + p)(2 - p)}{5[1 - p(1 - p)]^{3/2}}$ La curtosis de$$X$$ es$$\kur(X) = \frac{12}{5}$$.

Prueba

Estos resultados se derivan del resultado del momento general y las fórmulas computacionales para asimetría y curtosis.

Tenga en cuenta que$$X$$ está sesgado positivamente para$$p \lt \frac{1}{2}$$, sesgado negativamente para$$p \gt \frac{1}{2}$$, y simétrico para$$p = \frac{1}{2}$$. Más específicamente, si indicamos la dependencia del parámetro$$p$$ entonces$$\skw_{1-p}(X) = -\skw_p(X)$$. Obsérvese también que la curtosis es independiente de$$p$$, y el exceso de curtosis lo es$$\kur(X) - 3 = -\frac{3}{5}$$.

Abra el simulador de distribución especial y seleccione la distribución triangular. Varíe$$p$$ (pero mantenga los valores predeterminados para los otros parámetros) y anote el grado de simetría y el grado en que se alcanza el pico de la distribución. Para valores seleccionados de$$p$$, ejecute la simulación 1000 veces y compare la función de densidad empírica con la función de densidad de probabilidad.

Si$$X$$ tiene la distribución triangular estándar con parámetro$$p$$, entonces$$1 - X$$ tiene la distribución triangular estándar con parámetro$$1 - p$$.

Prueba

Para$$x \in [0, 1]$$,$$\P(1 - X \le x) = \P(X \ge 1 - x) = 1 - G(1 - x)$$, donde$$G$$ esta el CDF de$$X$$. El resultado ahora se desprende de la fórmula para el CDF.

La distribución triangular estándar tiene una serie de conexiones con la distribución uniforme estándar. Recordemos que una simulación de una variable aleatoria con una distribución uniforme estándar es un número aleatorio en informática.

Supongamos que$$U_1$$ y$$U_2$$ son variables aleatorias independientes, cada una con la distribución uniforme estándar. Entonces

1. $$X = \min\{U_1, U_2\}$$tiene la distribución triangular estándar con$$p = 0$$.
2. $$Y = \max\{U_1, U_2\}$$tiene la distribución triangular estándar con$$p = 1$$.
Prueba

$$U_1$$y$$U_2$$ tener CDF$$u \mapsto u$$ para$$u \in [0, 1]$$

1. $$X$$tiene CDF$$x \mapsto 1 - (1 - x)^2$$ para$$x \in [0, 1]$$
2. $$Y$$tiene CDF$$y \mapsto y^2$$ para$$y \in [0, 1]$$.

Supongamos nuevamente eso$$U_1$$ y$$U_2$$ son variables aleatorias independientes, cada una con la distribución uniforme estándar. Entonces

1. $$X = \left|U_2 - U_1\right|$$tiene la distribución triangular estándar con$$p = 0$$.
2. $$Y = \left(U_1 + U_2\right) \big/ 2$$tiene la distribución triangular estándar con$$p = \frac{1}{2}$$.
Prueba
1. Vamos$$x \in [0, 1]$$. Tenga en cuenta que el evento$$\{X \gt x\} = \left\{\left|U_2 - U_1\right| \gt x\right\}$$ es simplemente la unión de dos regiones triangulares disjuntas, cada una con base y altura de longitud$$1 - x$$. De ahí$$\P(X \le x) = 1 - (1 - x)^2$$.
2. Vamos$$y \in \left[0, \frac{1}{2}\right]$$. El evento$$\{Y \le y\} = \left\{U_1 + U_2 \le 2 y\right\}$$ es una región triangular con altura y base de longitud$$2 y$$. De ahí$$\P(Y \le y) = 2 y^2$$. Para$$y \in \left[\frac{1}{2}, 1\right]$$, el evento$$\{Y \gt y\}$$ es una regción triangular con altura y base si longitud$$2 - 2y$$. De ahí$$\P(Y \le y) = 1 - 2 (1 - y)$$.

En el resultado anterior, nótese que$$Y$$ es la media muestral de una muestra aleatoria de tamaño 2 de la distribución uniforme estándar. Dado que la función quantile tiene una expresión simple de forma cerrada, la distribución triangular estándar se puede simular usando el método de cuantil aleatorio.

Supongamos que$$U$$ es tiene la distribución uniforme estándar y$$p \in [0, 1]$$. Entonces la variable aleatoria a continuación tiene la distribución triangular estándar con el parámetro$$p$$:$X = \begin{cases} \sqrt{p U}, & U \le p \\ 1 - \sqrt{(1 -p)(1 - U)}, & p \lt U \le 1 \end{cases}$

Abra el experimento de cuantiles aleatorios y seleccione la distribución del triángulo. Variar$$p$$ (pero mantener los valores predeterminados para los otros parámetros) y anotar la forma de la función de distribución/función cuantil. Para valores seleccionados de$$p$$, ejecute el experimento 1000 veces y observe los cuantiles aleatorios. Comparar la función de densidad empírica, la media y la desviación estándar con sus contrapartes distribucionales.

La distribución triangular estándar también se puede simular utilizando el método de rechazo, que también funciona bien ya que la región$$R$$ bajo la función de densidad de probabilidad$$g$$ está delimitada. Recordemos que este método se basa en el siguiente hecho: si$$(X, Y)$$ se distribuye uniformemente en la región rectangular$$S = \{(x, y): 0 \le x \le 1, 0 \le y \le 2\}$$ que contiene$$R$$, entonces la distribución condicional de$$(X, Y)$$ dado$$(X, Y) \in R$$ se distribuye uniformemente sobre$$R$$, y por lo tanto$$X$$ tiene probabilidad función de densidad$$g$$.

Abra el experimento del método de rechazo y seleccione la distribución del triángulo. Vary$$p$$ (pero mantenga los valores predeterminados para los otros parámetros) y anote la forma de la función de densidad de probabilidad. Para valores seleccionados de$$p$$, ejecute el experimento 1000 veces y observe la gráfica de dispersión. Comparar la función de densidad empírica, la media y la desviación estándar con sus contrapartes distribucionales.

Para los valores extremos del parámetro shape, las distribuciones triangulares estándar también son distribuciones beta.

Conexiones a la distribución beta:

1. La distribución triangular estándar con parámetro shape$$p = 0$$ es la distribución beta con parámetro izquierdo$$a = 1$$ y parámetro derecho$$b = 2$$.
2. La distribución triangular estándar con parámetro shape$$p = 1$$ es la distribución beta con parámetro izquierdo$$a = 2$$ y parámetro derecho$$b = 1$$.
Prueba

Estos resultados siguen directamente de la forma del triángulo estándar PDF.

Abra el simulador de distribución especial y seleccione la distribución beta. Para los valores de los parámetros que se indican a continuación, ejecute la simulación 1000 veces y compare la función de densidad empírica, la media y la desviación estándar con sus contrapartes distribucionales.

1. $$a = 1$$,$$b = 2$$
2. $$a = 2$$,$$b = 1$$

## La distribución general del triángulo

Como tantas distribuciones estándar, la distribución triangular estándar generalmente se generaliza agregando parámetros de ubicación y escala.

### Definición

Supongamos que$$Z$$ tiene la distribución triangular estándar con vértice en$$p \in [0, 1]$$. Para$$a \in \R$$ y$$w \in (0, \infty)$$, variable aleatoria$$X = a + w Z$$ tiene la distribución de triángulo con parámetro de ubicación$$a$$, y parámetro de escala$$w$$, y parámetro de forma$$p$$

### Funciones de distribución

Supongamos que$$X$$ tiene la distribución general del triángulo dada en la definición anterior.

$$X$$tiene la función de densidad de probabilidad$$f$$ dada de la siguiente manera:

1. Si$$p = 0$$,$$f(x) = \frac{2}{w^2}(a + w - x)$$ para$$x \in [a, a + w]$$.
2. Si$$p = 1$$,$$f(x) = \frac{2}{w^2}(x - a)$$ para$$x \in [a, a + w]$$.
3. Si$$p \in (0, 1)$$,$f(x) = \begin{cases} \frac{2}{p w^2}(x - a), & x \in [a, a + p w] \\ \frac{2}{w^2 (1 - p)}(a + w - x), & x \in [a + p w, a + w] \end{cases}$
Prueba

Esto se desprende de un resultado estándar para familias a escala de ubicación. Recordemos que$f(x) = \frac{1}{w} g\left(\frac{x - a}{w}\right), \quad \frac{x - a}{w} \in [0, 1]$ donde$$g$$ está el triángulo estándar PDF con parámetro$$p$$.

Una vez más, la forma de la función de densidad de probabilidad justifica la distribución del triángulo del nombre.

La gráfica de$$f$$, junto con el dominio$$[a, a + w]$$, forma un triángulo con vértices$$(a, 0)$$,$$(a + w, 0)$$, y$$(a + p w, 2/w)$$. El modo de distribución es$$x = a + p w$$.

1. Si$$p = 0$$,$$f$$ es decreciente.
2. Si$$p = 1$$,$$f$$ va en aumento.
3. Si$$p \in (0, 1)$$,$$f$$ aumenta y luego disminuye.

Claramente, la distribución general del triángulo podría ser parametrizada por el punto final izquierdo$$a$$, el extremo derecho$$b = a + w$$ y la ubicación del vértice$$c = a + p w$$, pero la parametrización ubicación-escala-forma es mejor.

Abra el simulador de distribución especial y seleccione la distribución triangular. Varíe los parámetros$$a$$$$w$$, y$$p$$, y anote la forma y ubicación de la función de densidad de probabilidad. Para valores seleccionados de los parámetros, ejecute la simulación 1000 veces y compare la función de densidad empírica con la función de densidad de probabilidad.

La función$$F$$ de distribución de$$X$$ se da de la siguiente manera:

1. Si$$p = 0$$,$$F(x) = 1 - \frac{1}{w^2}(a + w - x)^2$$ para$$x \in [a, a + w]$$
2. Si$$p = 1$$,$$F(x) = \frac{1}{w^2}(x - a)^2$$ para$$x \in [a, a + w]$$
3. Si$$p \in (0, 1)$$,$F(x) = \begin{cases} \frac{1}{p w^2}(x - a)^2, & x \in [a, a + p w] \\ 1 - \frac{1}{w^2 (1 - p)}(a + w - x)^2, & x \in [a + p w, a + w] \end{cases}$
Prueba

Esto se desprende de un resultado estándar para familias de escala de ubicación:$F(x) = G\left(\frac{x - a}{w}\right), \quad x \in [a, a + w]$ donde$$G$$ está el triángulo estándar CDF con parámetro$$p$$.

$$X$$tiene función cuantil$$F^{-1}$$ dada por$F^{-1}(u) = a + \begin{cases} w \sqrt{u p}, & 0 \le u \le p \\ w\left[1 - \sqrt{(1 - u)(1 - p)}\right], & p \le u \le 1 \end{cases}$

1. El primer cuartil es$$a + w \sqrt{\frac{1}{4} p}$$ si$$p \in \left[\frac{1}{4}, 1\right]$$ y es$$a + w \left( 1 - \sqrt{\frac{3}{4} (1 - p)} \right)$$ si$$p \in \left[0, \frac{1}{4}\right]$$
2. La mediana es$$a + w \sqrt{\frac{1}{2} p}$$ si$$p \in \left[\frac{1}{2}, 1\right]$$ y es$$a + w \left(1 - \sqrt{\frac{1}{2} (1 - p)}\right)$$ si$$p \in \left[0, \frac{1}{2}\right]$$.
3. El tercer cuartil es$$a + w \sqrt{\frac{3}{4} p}$$ si$$p \in \left[\frac{3}{4}, 1\right]$$ y es$$a + w\left(1 - \sqrt{\frac{1}{4}(1 - p)}\right)$$ si$$p \in \left[0, \frac{3}{4}\right]$$.
Prueba

Th se desprende de un resultado estándar para familias de escala de ubicación:$$F^{-1}(u) = a + w G^{-1}(u)$$ for$$u \in [0, 1]$$, donde$$G^{-1}$$ está la función de cuantil triángulo estándar con parámetro$$p$$.

Abra el simulador de distribución especial y seleccione la distribución triangular. Varíe los parámetros$$a$$, y$$w$$$$p$$, y anote la forma y ubicación de la función de distribución. Para valores seleccionados de parámetros, compute la mediana y el primer y tercer cuartiles.

### Momentos

Supongamos nuevamente que$$X$$ tiene la distribución triangular con parámetro de ubicación$$a \in \R$$, parámetro de escala$$w \in (0, \infty)$$ y parámetro de forma$$p \in [0, 1]$$. Entonces podemos tomar$$X = a + w Z$$ donde$$Z$$ tiene la distribución triangular estándar con parámetro$$p$$. De ahí que los momentos de se$$X$$ puedan computar a partir de los momentos de$$Z$$. Usando el teorema binomial y la linealidad del valor esperado tenemos$\E(X^n) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} w^k a^{n-k} \E(Z^k), \quad n \in \N$

La media y varianza$$X$$ de

1. $$\E(X) = a + \frac{w}{3}(1 + p)$$
2. $$\var(X) = \frac{w^2}{18}[1 - p(1 - p)]$$
Prueba

Esto se desprende de los resultados para la media y varianza de la distribución estándar del triángulo, y las propiedades simples del valor esperado y la varianza.

Abra el simulador de distribución especial y seleccione la distribución triangular. Varíe los parámetros$$a$$$$w$$, y$$p$$, y anote el tamaño y la ubicación de la barra de desviación$$\pm$$ estándar media. Para valores seleccionados de los parámetros, ejecute la simulación 1000 veces y compare la media empírica y la desviación estándar con la media de distribución y la desviación estándar.

La asimetría de$$X$$ es$\skw(X) = \frac{\sqrt{2} (1 - 2 p)(1 + p)(2 - p)}{5[1 - p(1 - p)]^{3/2}}$ La curtosis de$$X$$ es$$\kur(X) = \frac{12}{5}$$.

Prueba

Estos resultados se derivan inmediatamente de la asimetría y curtosis de la distribución estándar del triángulo. Recordemos que la asimetría y curtosis se definen en términos de la puntuación estándar, que es independiente de los parámetros de ubicación y escala.

Como antes, el exceso de curtosis es$$\kur(X) - 3 = -\frac{3}{5}$$.

Dado que la distribución del triángulo es una familia de escala de ubicación, es invariante bajo transformaciones a escala de ubicación. De manera más general, la familia se cierra bajo transformaciones lineales con pendiente diferente de cero.

Supongamos que$$X$$ tiene la distribución del triángulo con el parámetro shape$$a \in \R$$, el parámetro$$w \in (0, \infty)$$ scale y el parámetro shape$$p \in [0, 1]$$. Si$$b \in \R$$ y$$c \in (0, \infty)$$ entonces

1. $$b + c X$$tiene la distribución del triángulo con parámetro de ubicación$$b + c a$$$$c w$$, parámetro de escala y parámetro de forma$$p$$.
2. $$b - c X$$tiene la distribución del triángulo con parámetro de ubicación$$b - c (a + w)$$$$c w$$, parámetro de escala y parámetro de forma$$1 - p$$.
Prueba

De la definición podemos tomar$$X = a + w Z$$ donde$$Z$$ tiene la distribución triangular estándar con parámetro$$p$$.

1. Tenga en cuenta que$$b + c X = (b + c a) + c w Z$$.
2. Tenga en cuenta que$$b - c X = b - c(a + w) + c w (1 - Z)$$, y recordar del resultado anterior que$$1 - Z$$ tiene la distribución básica del triángulo con parámetro$$1 - p$$.

Al igual que con la distribución estándar, existen varias conexiones entre la distribución triangular y la distribución uniforme continua.

Supongamos que$$V_1$$ y$$V_2$$ son independientes y se distribuyen uniformemente en el intervalo$$[a, a + w]$$, donde$$a \in \R$$ y$$w \in (0, \infty)$$. Entonces

1. $$\min\{V_1, V_2\}$$tiene la distribución del triángulo con parámetro de ubicación$$a$$$$w$$, parámetro de escala y parámetro de forma$$p = 0$$.
2. $$\max\{V_1, V_2\}$$tiene la distribución del triángulo con parámetro de ubicación$$a$$$$w$$, parámetro de escala y parámetro de forma$$p = 1$$.
Prueba

La distribución uniforme es en sí misma una familia a escala de ubicación, por lo que podemos escribir$$V_1 = a + w U_1$$ y$$V_2 = a + w U_2$$, donde$$U_1$$ y$$U_2$$ son independientes y cada uno tiene la distribución uniforme estándar. Entonces$$\min\{V_1, V_2\} = a + w \min\{U_1, U_2\}$$ y$$\max\{V_1, V_2\} = a + w \max\{U_1, U_2\}$$ así el resultado se desprende del resultado correspondiente para la distribución triangular estándar.

Supongamos nuevamente eso$$V_1$$ y$$V_2$$ son independientes y se distribuyen uniformemente en el intervalo$$[a, a + w]$$, donde$$a \in \R$$ y$$w \in (0, \infty)$$. Entonces

1. $$\left|V_2 - V_1\right|$$tiene la distribución del triángulo con el parámetro de ubicación 0, el parámetro$$w$$ de escala y el parámetro de forma$$p = 0$$.
2. $$V_1 + V_2$$tiene la distribución del triángulo con parámetro de ubicación$$2 a$$$$2 w$$, parámetro de escala y parámetro de forma$$p = \frac{1}{2}$$.
3. $$V_2 - V_1$$tiene la distribución triangular con parámetro de ubicación$$-w$$$$2 w$$, parámetro de escala y parámetro de forma$$p = \frac{1}{2}$$
Prueba

Como antes, podemos escribir$$V_1 = a + w U_1$$ y$$V_2 = a + w U_2$$, donde$$U_1$$ y$$U_2$$ son independientes y cada uno tiene la distribución uniforme estándar.

1. $$\left|V_2 - V_1\right| = w \left|U_2 - U_1\right|$$y por el resultado anterior,$$\left|U_2 - U_1\right|$$ tiene la distribución triangular estándar con parámetro$$p = 0$$.
2. $$V_1 + V_2 = 2 a + 2 w \left[\frac{1}{2}(U_1 + U_2)\right]$$y por el resultado anterior,$$\frac{1}{2}(U_1 + U_2)$$ tiene la distribución triangular estándar con parámetro$$p = \frac{1}{2}$$.
3. Vamos$$Z = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}(U_2 - U_1) = \frac{1}{2}U_2 + \frac{1}{2}(1 - U_1)$$. Dado que$$1 - U_1$$ también tiene la distribución uniforme estándar y es independiente de$$U_2$$, se deduce del resultado anterior que$$Z$$ tiene la distribución triangular básica con parámetro$$p = \frac{1}{2}$$. Pero$$V_2 - V_1 = w (U_2 - U_1) = w (2 Z - 1) = 2 w Z - w$$ y de ahí sigue el resultado.

Un caso especial de (b) conduce a una conexión entre la distribución triangular y la distribución Irwin-Hall.

Supongamos que$$U_1$$ y$$U_2$$ son variables aleatorias independientes, cada una con la distribución uniforme estándar. Después$$U_1 + U_2$$ tiene la distribución del triángulo con parámetro de ubicación$$0$$, parámetro de escala$$2$$ y parámetro de forma$$\frac{1}{2}$$. Pero esta es también la distribución del orden Irwin-Hall$$n = 2$$.

Abra el simulador de distribución especial y seleccione la distribución Irwin-Hall. Establezca$$n = 2$$ y anote la forma y ubicación de la función de densidad de probabilidad. Ejecute la simulación 1000 veces y compare la función de densidad empírica, la media y la desviación estándar con sus contrapartes distribucionales.

Dado que podemos simular una variable$$Z$$ con la distribución básica del triángulo con el parámetro$$p \in [0, 1]$$ por el método cuantil aleatorio anterior, podemos simular una variable con la distribución triangular que tiene parámetro de ubicación$$a \in \R$$, parámetro de escala y parámetro de forma$$w \in (0, \infty)$$ $$p$$por nuestra propia definición:$$X = a + w Z$$. Equivalentemente, podríamos calcular un cuantil aleatorio usando la función cuantil de$$X$$.

Abra el experimento de cuantiles aleatorios y seleccione la distribución del triángulo. Varíe el parámetro de ubicación$$a$$, el parámetro$$w$$ de escala y el parámetro shape$$p$$, y anote la forma de la función de distribución. Para valores seleccionados de los parámetros, ejecute el experimento 1000 veces y observe los cuantiles aleatorios. Comparar la función de densidad empírica, la media y la desviación estándar con sus contrapartes distribucionales.

Al igual que con la distribución estándar, la distribución general del triángulo tiene una función de densidad de probabilidad acotada en un intervalo limitado, y por lo tanto se puede simular fácilmente a través del método de rechazo.

Abra el experimento del método de rechazo y seleccione la distribución del triángulo. Varíe los parámetros y anote la forma de la función de densidad de probabilidad. Para valores seleccionados de los parámetros, ejecute el experimento 1000 veces y observe la gráfica de dispersión. Comparar la función de densidad empírica, la media y la desviación estándar con sus contrapartes distribucionales.

This page titled 5.24: La distribución del triángulo is shared under a CC BY 2.0 license and was authored, remixed, and/or curated by Kyle Siegrist (Random Services) via source content that was edited to the style and standards of the LibreTexts platform.