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# 5.26: La distribución U-Power

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La distribución de energía en U es una familia de distribuciones en forma de U basada en una familia simple de funciones de potencia.

## La distribución estándar de energía en U

### Funciones de distribución

La distribución de potencia U estándar con parámetro de forma$$k \in \N_+$$ es una distribución continua$$[-1, 1]$$ con función de densidad de probabilidad$$g$$ dada por$g(x) = \frac{2 k + 1}{2} x^{2 k}, \quad x \in [-1, 1]$

Prueba

A partir del cálculo simple,$$g$$ es una función de densidad de probabilidad:$\int_{-1}^1 x^{2 k} dx = \frac{2}{2 k + 1}$

La forma algebraica de la función de densidad de probabilidad explica el nombre de la distribución. La más común de las distribuciones de potencia U estándar es la distribución cuadrática U, que corresponde a$$k = 1$$.

La función estándar de densidad de probabilidad de potencia U$$g$$ satisface las siguientes propiedades:

1. $$g$$es simétrico sobre$$x = 0$$.
2. $$g$$disminuye y luego aumenta con el valor mínimo en$$x = 0$$.
3. Los modos son$$x = \pm 1$$.
4. $$g$$es cóncavo hacia arriba.
Prueba

Nuevamente, estas propiedades siguen del cálculo básico desde\ begin {align} g^\ prime (x) & =\ frac {1} {2} (2 k + 1) (2 k) x^ {2 k - 1},\ quad x\ in [-1, 1]\ g^ {\ prime\ prime} (x) & =\ frac {1} {2} (2 k + 1) (2 k) (2 k - 1) x^ {2k - 2},\ quad x\ in [-1, 1]\ end {align}

Abra el Simulador de Distribución Especial y seleccione la distribución U-power. Varíe el parámetro shape pero mantenga los valores predeterminados para los demás parámetros. Anote la gráfica de la función de densidad de probabilidad. Para valores seleccionados del parámetro shape, ejecute la simulación 1000 veces y compare la función de densidad emprical con la función de densidad de probabilidad.

La función de distribución$$G$$ dada por$G(x) = \frac{1}{2} \left(1 + x^{2 k + 1}\right), \quad x \in [-1, 1]$

Prueba

Esto se desprende del PDF anterior y cálculo simple.

La función cuantil$$G^{-1}$$ dada por$$G^{-1}(p) = (2 p - 1)^{1/(2 k + 1)}$$ for$$p \in [0, 1]$$.

1. $$G^{-1}(1 - p) = -G^{-1}(p)$$para$$p \in [0, 1]$$.
2. El primer cuartil es$$q_1 = -\frac{1}{2^{1/(2 k + 1)}}$$.
3. La mediana es 0.
4. El tercer cuartil es$$q_3 = \frac{1}{2^{1/(2 k + 1)}}$$.
Prueba

La fórmula para la función cuantil sigue inmediatamente del CDF anterior resolviendo$$p = G(x)$$ para$$x$$ en términos de$$p \in [0, 1]$$. La propiedad (a) se desprende de la simetría de la distribución alrededor de 0.

Abra la Calculadora de Distribución Especial y seleccione la distribución de energía U. Varíe el parámetro shape pero mantenga los valores predeterminados para los demás parámetros. Anote la forma de la función de distribución. Para varios valores del parámetro shape, compute algunos cuantiles.

### Momentos

Supongamos que$$Z$$ tiene la distribución de potencia U estándar con parámetro$$k \in \N_+$$. Los momentos (aproximadamente 0) son fáciles de calcular.

Vamos$$n \in \N$$. El momento del orden$$2 n + 1$$ es$$\E(Z^{2n + 1}) = 0$$. El momento del orden$$2 n$$ es$\E\left(Z^{2 n}\right) = \frac{2 k + 1}{2 (n + k) + 1}$

Prueba

Este resultado se desprende del cálculo simple. El hecho de que los momentos de orden par sean 0 también se desprende de la simetría de la distribución alrededor de 0.

Como la media es 0, los momentos alrededor de 0 son también los momentos centrales.

La media y varianza de$$Z$$ son

1. $$\E(Z) = 0$$
2. $$\var(Z) = \frac{2 k + 1}{2 k + 3}$$
Prueba

Tenga en cuenta que$$\var(Z) \to 1$$ como$$k \to \infty$$.

Abra el Simulador de Distribución Especial y seleccione la distribución U-power. Varíe el parámetro shape pero mantenga los valores predeterminados para los otros parámetros. Anote la posición y el tamaño de la barra de desviación$$\pm$$ estándar media. Para los valores seleccionados del parámetro shape, ejecute la simulación 1000 veces y compare la media empírica y la desviación stadard con la media de distribución y la desviación estándar.

La asimetría y curtosis de$$Z$$ son

1. $$\skw(Z) = 0$$
2. $$\kur(Z) = \frac{(2 k + 3)^2}{(2 k + 5)(2 k + 1)}$$
Prueba

La asimetría es 0 por la simetría de la distribución. Dado que la media es 0, la curtosis es$$\E(Z^4) / [\E(Z^2)]^2$$ y así el resultado se deduce del resultado del momento general anterior

Tenga en cuenta que$$\kur(Z) \to 1$$ como$$k \to \infty$$. El exceso de curtosis es$$\kur(Z) - 3 = \frac{(2 k + 3)^2}{(2 k + 5)(2 k + 1)} - 3$$ y así$$\kur(Z) - 3 \to -2$$ como$$k \to \infty$$.

La función de densidad de probabilidad$$g$$ de potencia U$$k = 0$$ también tiene sentido, y en este caso la distribución se reduce a la distribución uniforme en el intervalo$$[-1, 1]$$. Pero claro, esta distribución no tiene forma de U, excepto en un sentido degenerado. Hay otras conexiones a la distribución uniforme. El primero es un resultado estándar ya que la función cuantil de potencia U tiene una representación simple y cerrada:

Supongamos que$$k \in \N_+$$.

1. Si$$U$$ tiene la distribución uniforme estándar, entonces$$Z = (2 U - 1)^{1/(2 k + 1)}$$ tiene la distribución de potencia U estándar con parámetro$$k$$.
2. Si$$Z$$ tiene la distribución de potencia U estándar con parámetro$$k$$ entonces$$U = \frac{1}{2} \left(1 + Z^{2 k + 1} \right)$$ tiene la distribución uniforme estándar.

La parte (a), por supuesto, conduce al método de simulación de cuantiles aleatorios.

Abra el simulador de cuantiles aleatorios y seleccione la distribución de potencia U. Varíe el parámetro shape pero mantenga los valores predeterminados para los demás parámetros. Tenga en cuenta la forma de las funciones de distribución y densidad. Para los valores seleccionados del parámetro, ejecute la simulación 1000 veces y anote los cuantiles aleatorios. Comparar la función de densidad empírica con la función de densidad de probabilidad.

La distribución de potencia U estándar con parámetro de forma$$k \in \N_+$$ converge a la distribución uniforme discreta en$$\{-1, 1\}$$ as$$k \to \infty$$.

Prueba

Esto se desprende de la definición de convergencia en la distribución. La función de distribución de energía U$$G$$ es 0 encendido$$(-\infty, -1]$$, es 1 encendido$$[1, \infty)$$, y viene dada por la fórmula anterior on$$[-1, 1]$$. En cuanto$$k \to \infty$$,$$G(x) \to 0$$ para$$x \in (-\infty, -1)$$,$$G(x) \to \frac{1}{2}$$ para$$x \in (-1, 1)$$, y$$G(x) \to 1$$ para$$x \in (1, \infty)$$. Esto concuerda con la función de distribución de la distribución uniforme discreta en$$\{-1, 1\}$$ excepto en los puntos de discontinuidad$$\pm 1$$.

## La distribución general de energía en U

Como tantas distribuciones estándar, la distribución de energía U estándar se generaliza agregando parámetros de ubicación y escala.

### Definición

Supongamos que$$Z$$ tiene la distribución estándar de U-power con el parámetro shape$$k \in \N_+$$. Si$$\mu \in \R$$ y$$c \in (0, \infty)$$ luego$$X = \mu + c Z$$ tiene la distribución de potencia U con parámetro de forma$$k$$, parámetro de ubicación$$\mu$$ y parámetro de escala$$c$$.

Tenga en cuenta que$$X$$ tiene una distribución continua en el intervalo$$[a, b]$$ donde$$a = \mu - c$$ y$$b = \mu + c$$, por lo que la distribución también puede ser parametrizada por el parámetro shape$$k$$ y los puntos finales$$a$$ y$$b$$. Con esta parametrización, el parámetro de ubicación es$$\mu = \frac{a + b}{2}$$ y el parámetro de escala es$$c = \frac{b - a}{2}$$.

### Funciones de distribución

Supongamos que$$X$$ tiene la distribución de potencia U con parámetro de forma$$k \in \N_+$$$$\mu \in \R$$, parámetro de ubicación y parámetro de escala$$c \in (0, \infty)$$.

$$X$$tiene la función de densidad de probabilidad$$f$$ dada por$f(x) = \frac{2 k + 1}{2 c} \left(\frac{x - \mu}{c}\right)^{2 k}, \quad x \in [\mu - c, \mu + c]$

1. $$f$$es simétrico sobre$$\mu$$.
2. $$f$$disminuye y luego aumenta con el valor mínimo en$$x = \mu$$.
3. Los modos están en$$x = \mu \pm c$$.
4. $$f$$es cóncavo hacia arriba.
Prueba

Recordemos que$$f(x) = \frac{1}{c} g\left(\frac{x - \mu}{c}\right)$$ donde$$g$$ esta el PDF de$$Z$$.

Abra el Simulador de Distribución Especial y seleccione la distribución U-power. Varíe los parámetros y anote la forma y ubicación de la función de densidad de probabilidad. Para varios valores de los parámetros, ejecute la simulación 1000 veces y compare la función de densidad emprical con la función de densidad de probabilidad.

$$X$$tiene función de distribución$$F$$ dada por$F(x) = \frac{1}{2}\left[1 + \left(\frac{x - \mu}{c}\right)^{2 k + 1}\right], \quad x \in [\mu - c, \mu + c]$

Prueba

Recordemos que$$F(x) = G\left(\frac{x - \mu}{c}\right)$$ donde$$G$$ esta el CDF de$$Z$$.

$$X$$tiene función cuantil$$F^{-1}$$ dada por$$F^{-1}(p) = \mu + c (2 p - 1)^{1/(2 k + 1)}$$ for$$p \in [0, 1]$$.

1. $$F^{-1}(1 - p) = \mu - c F^{-1}(p)$$
2. El primer cuartil es$$q_1 = \mu - c \frac{1}{2^{1/(2 k + 1)}}$$
3. La mediana es$$\mu$$.
4. El tercer cuartil es$$q_3 = \mu + c \frac{1}{2^{1/(2 k + 1)}}$$
Prueba

Recordemos que$$F^{-1}(p) = \mu + c G^{-1}(p)$$ donde$$G^{-1}$$ está la función cuantil de$$Z$$.

Abra la Calculadora de Distribución Especial y seleccione la distribución de energía U. Varíe los parámetros y anote la gráfica de la función de distribución. Para diversos valores de los parámetros, compute los valores seleccionados de la función de distribución y la función cuantil.

### Momentos

Supongamos nuevamente que$$X$$ tiene la distribución de potencia U con parámetro de forma$$k \in \N_+$$$$\mu \in \R$$, parámetro de ubicación y parámetro de escala$$c \in (0, \infty)$$.

La media y varianza de$$X$$ son

1. $$\E(X) = \mu$$
2. $$\var(X) = c^2 \frac{2 k + 1}{2 k + 3}$$
Prueba

Estos resultados se derivan de la representación$$X = \mu + c Z$$ donde$$Z$$ tiene la distribución estándar de energía U con parámetro de forma$$k$$, y de la media y varianza de$$Z$$.

Tenga en cuenta que$$\var(Z) \to c^2$$ como$$k \to \infty$$

Abra el Simulador de Distribución Especial y seleccione la distribución U-power. Varíe los parámetros y anote el tamaño y la ubicación de la barra de desviación$$\pm$$ estándar media. Para diversos valores de los parámetros, ejecute la simulación 1000 veces y compare la media empírica y la desviación stadard con la media de distribución y la desviación estándar.

Los momentos sobre 0 son desordenados, pero los momentos centrales son simples.

Vamos$$n \in \N_+$$. El momento central del orden$$2 n + 1$$ es$$\E\left[(X - \mu)^{2n+1}\right] = 0$$. El momento del orden$$2 n$$ es$\E\left[(x - \mu)^{2 n}\right] = c^{2 n} \frac{2 k + 1}{2 (n + k) + 1}$

Prueba

Esto se desprende de la representación$$X = \mu + c Z$$ donde$$Z$$ tiene la distribución estándar de energía U con parámetro de forma$$k$$, y los momentos centrales de$$Z$$.

La asimetría y curtosis de$$X$$ son

1. $$\skw(X) = 0$$
2. $$\kur(X) = \frac{(2 k + 3)^2}{(2 k + 5)(2 k + 1)}$$
Prueba

Recordemos que la asimetría y curtosis se definen en términos de la puntuación estándar de$$X$$ y por lo tanto son invariantes bajo una transformación de escala de ubicación. Así, los resultados son los mismos que para la distribución estándar.

Nuevamente,$$\kur(X) \to 1$$ como$$k \to \infty$$ y el exceso de curtosis es$$\kur(X) - 3 = \frac{(2 k + 3)^2}{(2 k + 5)(2 k + 1)} - 3$$

Dado que la distribución de energía U con un parámetro de forma dado es una familia de escala de ubicación, se cierra trivialmente bajo transformaciones de escala de ubicación.

Supongamos que$$X$$ tiene la distribución de potencia U con parámetro de forma$$k \in \N_+$$$$\mu \in \R$$, parámetro de ubicación y parámetro de escala$$c \in (0, \infty)$$. Si$$\alpha \in \R$$ y$$\beta \in (0, \infty)$$, entonces$$Y = \alpha + \beta X$$ tiene la distribución de potencia U con parámetro de forma$$k$$$$\alpha + \beta \mu$$, parámetro de ubicación y parámetro de escala$$\beta c$$.

Prueba

A partir de la definición, podemos tomar$$X = \mu + c Z$$ donde$$Z$$ tiene la distribución estándar de U-power con parámetro shape$$k$$. Entonces$$Y = \alpha + \beta X = (\alpha + \beta \mu) + (\beta c) Z$$.

Como antes, dado que la función de distribución de potencia U y la función cuantil de potencia U tienen formas simples, tenemos las conexiones habituales con la distribución uniforme estándar.

Supongamos que$$k \in \N_+$$,$$\mu \in \R$$ y$$c \in (0, \infty)$$.

1. Si$$U$$ tiene la distribución uniforme estándar, entonces$$X = \mu + c (2 U - 1)^{1/(2 k + 1)}$$ tiene la distribución de potencia U con el parámetro de forma$$k$$, el parámetro$$\mu$$ de ubicación y el parámetro de escala$$c$$.
2. Si$$X$$ tiene la distribución de potencia U con parámetro de forma$$k$$$$\mu$$, parámetro de ubicación y parámetro de escala$$c$$, entonces$$U = \frac{1}{2} \left[1 + \left(\frac{X - \mu}{c}\right)^{2 k + 1} \right]$$ tiene la distribución uniforme estándar.

Nuevamente, la parte (a), por supuesto, conduce al método de simulación de cuantiles aleatorios.

Abra el simulador de cuantiles aleatorios y seleccione la distribución de potencia U. Varíe los parámetros y anote la forma de las funciones de distribución y densidad. Para valores seleccionados de los parámetros, ejecute la simulación 1000 veces y anote los cuantiles aleatorios. Comparar la función de densidad empírica con la función de densidad de probabilidad.

La distribución de potencia U con parámetros de ubicación y escala dados converge a la distribución uniforme discreta en los puntos finales a medida que aumenta el parámetro de forma.

La distribución de potencia U con parámetro de forma$$k \in \N_+$$$$\mu \in \R$$, parámetro de ubicación y parámetro de escala$$c \in (0, \infty)$$ converge a la distribución uniforme discreta en$$\{\mu - c, \mu + c\}$$ as$$k \to \infty$$.

Prueba

Esto se desprende del resultado de convergencia para la distribución estándar y las propiedades básicas de convergencia en distribución.

La distribución de potencia U es una familia exponencial general en el parámetro shape, si los parámetros de ubicación y escala son fijos.

Supongamos que$$X$$ tiene la distribución de potencia U con el parámetro de forma no especificado$$k \in \N_+$$, pero con el parámetro de ubicación$$\mu \in \R$$ y el parámetro de escala especificados$$c \in (0, \infty)$$. Después$$X$$ tiene una distribución exponencial de un parámetro con parámetros naturales$$2 k$$ y estadísticas naturales$$\ln\left(\frac{X - \mu}{c}\right)$$.

Prueba

Esto se desprende de la definición de la familia exponencial general, ya que el PDF de la distribución de U-power puede escribirse como$f(x) = \frac{2 k + 1}{2 c} \exp\left[2 k \ln\left(\frac{x - \mu}{c}\right)\right], \quad x \in [\mu - c, \mu + c]$

Dado que la distribución de potencia U tiene una función de densidad de probabilidad limitada en un intervalo de soporte limitado, también se puede simular a través del método de rechazo.

Abra el experimento del método de rechazo y seleccione la distribución de energía U. Varíe los parámetros y anote la forma de la función de densidad de probabilidad. Para valores seleccionados de los parámetros, ejecute el experimento 1000 veces y observe la gráfica de dispersión. Comparar la función de densidad empírica, la media y la desviación estándar con sus contrapartes distribucionales.

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