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# 2.3: Problemas en el Análisis Minterm

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$

$$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$

$$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$

$$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$$

$$\newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}}$$

$$\newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}}$$

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$$ $$\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$$ $$\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$$ $$\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$$ $$\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$$ $$\newcommand{\evec}{\mathbf e}$$ $$\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$$ $$\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$$ $$\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$$ $$\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$$ $$\newcommand{\svec}{\mathbf s}$$ $$\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$$ $$\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$$ $$\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$$ $$\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$$ $$\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$$ $$\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$$ $$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$$ $$\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$$ $$\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$$ $$\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$$ $$\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$$ $$\newcommand{\real}{\mathbb R}$$ $$\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$$ $$\newcommand{\bcal}{\cal B}$$ $$\newcommand{\ccal}{\cal C}$$ $$\newcommand{\scal}{\cal S}$$ $$\newcommand{\wcal}{\cal W}$$ $$\newcommand{\ecal}{\cal E}$$ $$\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$$ $$\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$$ $$\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$$ $$\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$$ $$\newcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\col}{\text{Col}}$$ $$\renewcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$$ $$\newcommand{\var}{\text{Var}}$$ $$\newcommand{\corr}{\text{corr}}$$ $$\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$$ $$\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$$ $$\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$$ $$\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$$ $$\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$$ $$\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$$ $$\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$$ $$\newcommand{\lt}{<}$$ $$\newcommand{\gt}{>}$$ $$\newcommand{\amp}{&}$$ $$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$$

Ejercicio$$\PageIndex{1}$$

Considera la clase$$\{A, B, C, D\}$$ de eventos. Supongamos que la probabilidad de que al menos uno de los eventos$$A$$ u$$C$$ ocurra es 0.75 y la probabilidad de que al menos uno de los cuatro eventos ocurra es 0.90. Determinar la probabilidad de que ninguno de los eventos$$A$$ o$$C$$ pero al menos uno de los eventos$$B$$ u$$D$$ ocurra.

Contestar

Utilice el patrón$$P(E \cup F) = P(E) + P(E^c F)$$ y$$(A \cup C)^c = A^c C^c$$.

$$P(A \cup C \cup B \cup D) = P(A \cup C) + P(A^c C^c (B \cup D))$$, de manera que$$P(A^c C^c (B \cup D)) = 0.90 - 0.75 = 0.15$$

Ejercicio$$\PageIndex{2}$$

1. Utilice mapas minterm para mostrar cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas para cualquier clase$$\{A, B, C\}$$:

a.$$A \cup (BC)^c = A \cup B \cup B^c C^c$$
b.$$(A \cup B)^c = A^c C \cup B^c C$$
c.$$A \subset AB \cup AC \cup BC$$
3. Repita la parte (1) usando las operaciones lógicas m-procedure minvec3 y MATLAB.
Contestar

Utilizamos el procedimiento MATLAB, que muestra los patrones esenciales.

minvec3
Variables are A, B, C, Ac, Bc, Cc
They may be renamed, if desired.
E = A|~(B&C);
F = A|B|(Bc&Cc);
disp([E;F])
1     1     1     0     1     1     1     1   % Not equal
1     0     1     1     1     1     1     1
G = ~(A|B);
H = (Ac&C)|(Bc&C);
disp([G;H])
1     1     0     0     0     0     0     0   % Not equal
0     1     0     1     0     1     0     0
K = (A&B)|(A&C)|(B&C);
disp([A;K])
0     0     0     0     1     1     1     1   % A not contained in K
0     0     0     1     0     1     1     1

Ejercicio$$\PageIndex{3}$$

Utilice (1) mapas minterm, (2) funciones indicadoras (evaluadas en minterms), (3) las operaciones lógicas m-procedure minvec3 y MATLAB para mostrar que

a.$$A(B \cup C^c) \cup A^c BC \subset A (BC \cup C^c) \cup A^c B$$
b.$$A \cup A^c BC = AB \cup BC \cup AC \cup AB^c C^c$$

Contestar

Utilizamos el procedimiento MATLAB, que muestra los patrones esenciales.

minvec3
Variables are A, B, C, Ac, Bc, Cc
They may be renamed, if desired.
E = (A&(B|Cc))|(Ac&B&C);
F = (A&((B&C)|Cc))|(Ac&B);
disp([E;F])
0     0     0     1     1     0     1     1   % E subset of F
0     0     1     1     1     0     1     1
G = A|(Ac&B&C);
H = (A&B)|(B&C)|(A&C)|(A&Bc&Cc);
disp([G;H])
0     0     0     1     1     1     1     1    % G = H
0     0     0     1     1     1     1     1

Ejercicio$$\PageIndex{4}$$

Los minterms para los eventos$$\{A, B, C, D\}$$, organizados como en un mapa minterm son

                     0.0168    0.0072    0.0252    0.0108
0.0392    0.0168    0.0588    0.0252
0.0672    0.0288    0.1008    0.0432
0.1568    0.0672    0.2352    0.1008

¿Cuál es la probabilidad de que tres o más de los eventos ocurran en un juicio? ¿De exactamente dos? ¿De dos o menos?

Contestar

Utilizamos mintable (4) y determinamos posiciones con número (s) correcto (s) de unos (número de ocurrencias). Una alternativa es usar minvec4 y expresar las combinaciones booleanas que dan el (los) número (s) correcto (s) de unos.

npr02_04
Minterm probabilities are in pm.  Use mintable(4)
a = mintable(4);
s = sum(a);         % Number of ones in each minterm position
P1 = (s>=3)*pm'   % Select and add minterm probabilities
P1 =  0.4716
P2 = (s==2)*pm'
P2 =  0.3728
P3 = (s<=2)*pm'
P3 =  0.5284

Ejercicio$$\PageIndex{5}$$

Los minterms para los eventos$$\{A, B, C, D, E\}$$, organizados como en un mapa minterm son

       0.0216  0.0324  0.0216  0.0324  0.0144  0.0216  0.0144  0.0216
0.0144  0.0216  0.0144  0.0216  0.0096  0.0144  0.0096  0.0144
0.0504  0.0756  0.0504  0.0756  0.0336  0.0504  0.0336  0.0504
0.0336  0.0504  0.0336  0.0504  0.0224  0.0336  0.0224  0.0336

¿Cuál es la probabilidad de que tres o más de los eventos ocurran en un juicio? ¿De exactamente cuatro? ¿De tres o menos? ¿De dos o cuatro?

Contestar

Utilizamos mintable (5) y determinamos posiciones con número (s) correcto (s) de unos (número de ocurrencias).

npr02_05
Minterm probabilities are in pm.  Use mintable(5)
a = mintable(5);
s = sum(a);         % Number of ones in each minterm position
P1 = (s>=3)*pm'   % Select and add minterm probabilities
P1 =  0.5380
P2 = (s==4)*pm'
P2 =  0.1712
P3 = (s<=3)*pm'
P3 =  0.7952
P4 = ((s==2)|(s==4))*pm'
P4 =  0.4784

Ejercicio$$\PageIndex{6}$$

Supongamos$$P(A \cup B^c C) = 0.65$$$$P(AC) = 0.2$$,$$P(A^c B) = 0.25$$

$$P(A^c C^c) = 0.25$$,$$P(BC) = 0.30$$. Determinar$$P((AC^c \cup A^c C) B^c)$$.

Después determinar$$P((AB^c \cup A^c) C^c)$$ y$$P(A^c(B \cup C^c))$$, si es posible.

Contestar
% file npr02_06.m       % Data file
% Data for Exercise 2.3.6.
minvec3
DV = [A|Ac; A|(Bc&C); A&C; Ac&B; Ac&Cc; B&Cc];
DP = [1      0.65     0.20 0.25  0.25   0.30];
TV = [((A&Cc)|(Ac&C))&Bc; ((A&Bc)|Ac)&Cc; Ac&(B|Cc)];
disp('Call for mincalc')
npr02_06             % Call for data
Variables are A, B, C, Ac, Bc, Cc
They may be renamed, if desired.
Call for mincalc
mincalc
Data vectors are linearly independent

Computable target probabilities
1.0000    0.3000     % The first and third target probability
3.0000    0.3500     % is calculated. Check with minterm map.
The number of minterms is 8
The number of available minterms is 4
Available minterm probabilities are in vector pma
To view available minterm probabilities, call for PMA

Ejercicio$$\PageIndex{7}$$

Supongamos$$P((AB^c \cup A^cB)C) = 0.4$$$$P(AB) = 0.2$$,$$P(A^cC^c) = 0.3$$,$$P(A) = 0.6$$,$$P(C) = 0.5$$,, y$$P(AB^cC^c) = 0.1$$. Determinar$$P(A^c C^c \cup AC)$$,$$P(AB^c \cup A^c)C^c)$$, y$$P(A^c(B \cup C^c))$$, si es posible.

Contestar
% file npr02_07.m
% Data for Exercise 2.3.7.
minvec3
DV = [A|Ac; ((A&Bc)|(Ac&B))&C; A&B; Ac&Cc;  A;  C; A&Bc&Cc];
DP = [ 1        0.4            0.2   0.3   0.6 0.5   0.1];
TV = [(Ac&Cc)|(A&C); ((A&Bc)|Ac)&Cc; Ac&(B|Cc)];
disp('Call for mincalc')
npr02_07             % Call for data
Variables are A, B, C, Ac, Bc, Cc
They may be renamed, if desired.
Call for mincalc
mincalc
Data vectors are linearly independent
Computable target probabilities
1.0000    0.7000    % All target probabilities calculable
2.0000    0.4000    % even though not all minterms are available
3.0000    0.4000
The number of minterms is 8
The number of available minterms is 6
Available minterm probabilities are in vector pma
To view available minterm probabilities, call for PMA

Ejercicio$$\PageIndex{8}$$

Supongamos$$P(A) = 0.6$$$$P(C) = 0.4$$,$$P(AC) = 0.3$$,,$$P(A^cB) = 0.2$$ y$$P(A^cB^cC^c) = 0.1$$.

Determinar$$P((A \cup B)C^c$$,$$P(AC^c \cup A^c C)$$, y$$P(AC^c \cup A^cB)$$, si es posible.

Contestar
% file npr02_08.m
% Data for Exercise 2.3.8.
minvec3
DV = [A|Ac; A;  C;  A&C; Ac&B; Ac&Bc&Cc];
DP = [ 1   0.6 0.4  0.3  0.2     0.1];
TV = [(A|B)&Cc; (A&Cc)|(Ac&C); (A&Cc)|(Ac&B)];
disp('Call for mincalc')

npr02_08             % Call for data
Variables are A, B, C, Ac, Bc, Cc
They may be renamed, if desired.
Call for mincalc
mincalc
Data vectors are linearly independent
Computable target probabilities
1.0000    0.5000    % All target probabilities calculable
2.0000    0.4000    % even though not all minterms are available
3.0000    0.5000
The number of minterms is 8
The number of available minterms is 4
Available minterm probabilities are in vector pma
To view available minterm probabilities, call for PMA

Ejercicio$$\PageIndex{9}$$

Supongamos$$P(A) = 0.5$$$$P(AB) = P(AC) = 0.3$$,, y$$P(ABC^c) = 0.1$$.

Determinar$$P(A(BC^c)^c$$ y$$P(AB \cup AC \cup BC)$$.

Luego repita con datos adicionales$$P(A^cB^cC^c) = 0.1$$ y$$P(A^c BC) = 0.05$$

Contestar
% file npr02_09.m
% Data for Exercise 2.3.9.
minvec3
DV = [A|Ac;  A; A&B; A&C; A&B&Cc];
DP = [ 1    0.5 0.3  0.3   0.1];
TV = [A&(~(B&Cc)); (A&B)|(A&C)|(B&C)];
disp('Call for mincalc')

% Modification for part 2
% DV = [DV; Ac&Bc&Cc; Ac&B&C];
% DP = [DP 0.1 0.05];
npr02_09             % Call for data
Variables are A, B, C, Ac, Bc, Cc
They may be renamed, if desired.
Call for mincalc
mincalc
Data vectors are linearly independent
Computable target probabilities
1.0000    0.4000    % Only the first target probability calculable
The number of minterms is 8
The number of available minterms is 4
Available minterm probabilities are in vector pma
To view available minterm probabilities, call for PMA
DV = [DV; Ac&Bc&Cc; Ac&B&C];  % Modification of data
DP = [DP 0.1 0.05];
mincalc
Data vectors are linearly independent
Computable target probabilities
1.0000    0.4000             % Both target probabilities calculable
2.0000    0.4500             % even though not all minterms are available
The number of minterms is 8
The number of available minterms is 6
Available minterm probabilities are in vector pma
To view available minterm probabilities, call for PMA

Ejercicio$$\PageIndex{10}$$

Dado$$P(A) = 0.6$$,$$P(A^c B^c) = 0.2$$,$$P(AC^c) = 0.4$$, y$$P(ACD^c) = 0.1$$.

Determinar$$P(A^c B \cup A(C^c \cup D))$$.

Contestar
% file npr02_10.m
% Data for Exercise 2.3.10.
minvec4
DV = [A|Ac;  A;  Ac&Bc; A&Cc; A&C&Dc];
DP = [1     0.6  0.2    0.4    0.1];
TV = [(Ac&B)|(A&(Cc|D))];
disp('Call for mincalc')
npr02_10
Variables are A, B, C, D, Ac, Bc, Cc, Dc
They may be renamed, if desired.
Call for mincalc
mincalc
Data vectors are linearly independent
Computable target probabilities
1.0000    0.7000             % Checks with minterm map solution
The number of minterms is 16
The number of available minterms is 0
Available minterm probabilities are in vector pma
To view available minterm probabilities, call for PMA

Ejercicio$$\PageIndex{11}$$

Una encuesta a un grupo represenativo de estudiantes arroja la siguiente información:

• 52 por ciento son hombres
• 85 por ciento vive en el campus
• 78 por ciento son hombres o están activos en deportes intramuros (o ambos)
• El 30 por ciento vive en el campus pero no está activo en el deporte
• 32 por ciento son hombres, viven en el campus y están activos en deportes
• 8 por ciento son hombres y viven fuera del campus
• 17 por ciento son estudiantes varones inactivos en deportes
1. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante elegido al azar sea varón y viva en el campus?
2. ¿Cuál es la probabilidad de que un varón, en el campus estudiante que no esté activo en el deporte?
3. ¿Cuál es la probabilidad de que una alumna esté activa en el deporte?
Contestar
% file npr02_11.m
% Data for Exercise 2.3.11.
% A = male;  B = on campus;  C = active in sports
minvec3
DV = [A|Ac;  A;   B;  A|C; B&Cc; A&B&C; A&Bc; A&Cc];
DP = [ 1    0.52 0.85 0.78 0.30  0.32   0.08 0.17];
TV = [A&B; A&B&Cc; Ac&C];
disp('Call for mincalc')

npr02_11
Variables are A, B, C, Ac, Bc, Cc
They may be renamed, if desired.
Call for mincalc
mincalc
Data vectors are linearly independent
Computable target probabilities
1.0000    0.4400
2.0000    0.1200
3.0000    0.2600
The number of minterms is 8
The number of available minterms is 8
Available minterm probabilities are in vector pma
To view available minterm probabilities, call for PMA

Ejercicio$$\PageIndex{12}$$

Una encuesta a 100 personas en edad de votar revela que 60 son varones, 30 de los cuales no se identifican con un partido político; 50 son miembros de un partido político; 20 no integrantes de un partido votaron en la última elección, 10 de los cuales son mujeres. ¿Cuántos no miembros de un partido político no votaron? Sugerencia Exprese los números como una fracción, y trátelos como probabilidades.

Contestar
% file npr02_12.m
% Data for Exercise 2.3.12.
% A = male;  B = party member; C = voted last election
minvec3
DV = [A|Ac;  A;  A&Bc;  B;  Bc&C; Ac&Bc&C];
DP = [  1   0.60 0.30  0.50 0.20  0.10];
TV = [Bc&Cc];
disp('Call for mincalc')
npr02_12
Variables are A, B, C, Ac, Bc, Cc
They may be renamed, if desired.
Call for mincalc
mincalc
Data vectors are linearly independent
Computable target probabilities
1.0000    0.3000
The number of minterms is 8
The number of available minterms is 4
Available minterm probabilities are in vector pma
To view available minterm probabilities, call for PMA

Ejercicio$$\PageIndex{13}$$

Durante un periodo de clima inestable, que A sea el evento de lluvia en Austin, B sea el evento de lluvia en Houston, y C sea el evento de lluvia en San Antonio. Supongamos:

$$P(AB) = 0.35$$,$$P(AB^c) = 0.15$$,$$P(AC) = 0.20$$,$$P(AB^c \cup A^cB) = 0.45$$

$$P(BC) = 0.30$$$$P(B^c C) = 0.05$$$$P(A^c B^c C^c) = 0.15$$

2. ¿Cuál es la probabilidad de lluvia exactamente en dos de las tres ciudades?
3. ¿Cuál es la probabilidad de lluvia en exactamente una de las ciudades?
Contestar
% file npr02_13.m
% Data for Exercise 2.3.13.
% A = rain in Austin;  B = rain in Houston;
% C = rain in San Antonio
minvec3
DV = [A|Ac; A&B; A&Bc; A&C; (A&Bc)|(Ac&B); B&C; Bc&C; Ac&Bc&Cc];
DP = [  1   0.35 0.15  0.20    0.45        0.30 0.05   0.15];
TV = [A&B&C; (A&B&Cc)|(A&Bc&C)|(Ac&B&C); (A&Bc&Cc)|(Ac&B&Cc)|(Ac&Bc&C)];
disp('Call for mincalc')
npr02_13
Variables are A, B, C, Ac, Bc, Cc
They may be renamed, if desired.
Call for mincalc
mincalc
Data vectors are linearly independent
Computable target probabilities
1.0000    0.2000
2.0000    0.2500
3.0000    0.4000
The number of minterms is 8
The number of available minterms is 8
Available minterm probabilities are in vector pma
To view available minterm probabilities, call for PMA

Ejercicio$$\PageIndex{14}$$

Cien estudiantes son cuestionados sobre su curso de estudios y planes para estudios de posgrado. Que$$A =$$ el evento el estudiante sea masculino;$$B =$$ el evento el estudiante está estudiando ingeniería;$$C=$$ el evento el estudiante planea al menos un año de lengua extranjera;$$D =$$ el evento el estudiante está planeando estudios de posgrado (incluyendo escuela profesional). Los resultados de la encuesta son:

Hay 55 estudiantes varones; 23 estudiantes de ingeniería, 10 de los cuales son mujeres; 75 estudiantes tomarán clases de lengua extranjera, incluyendo todas las mujeres; 26 hombres y 19 mujeres planean estudios de posgrado; 13 estudiantes varones de ingeniería y 8 mujeres estudiantes de ingeniería planean estudios de posgrado; 20 estudiantes de ingeniería tomarán un lengua extranjera y plan de estudios de posgrado; 5 estudiantes no de ingeniería planean estudios de posgrado pero no cursos de idiomas extranjeros; 11 estudiantes no de ingeniería, mujeres planean estudios de idiomas extranjeros y estudios de posgrado.

1. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar a un estudiante que planea clases de lengua extranjera y estudios de posgrado?
2. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar a una ingeniera que no planee estudios de posgrado?
3. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar a un estudiante del sexo masculino que o bien estudia una lengua extranjera pero no pretende estudiar un posgrado o no estudiará un idioma extranjero pero planea estudios de posgrado?
Contestar
% file npr02_14.m
% Data for Exercise 2.3.14.
% A = male;  B = engineering;
% C = foreign language; D = graduate study
minvec4
DV = [A|Ac; A; B; Ac&B; C; Ac&C; A&D; Ac&D; A&B&D; ...
Ac&B&D; B&C&D; Bc&Cc&D; Ac&Bc&C&D];
DP = [1 0.55 0.23 0.10 0.75 0.45 0.26 0.19 0.13 0.08 0.20 0.05 0.11];
TV = [C&D; Ac&Dc; A&((C&Dc)|(Cc&D))];
disp('Call for mincalc')
npr02_14
Variables are A, B, C, D, Ac, Bc, Cc, Dc
They may be renamed, if desired.
Call for mincalc
mincalc
Data vectors are linearly independent
Computable target probabilities
1.0000    0.3900
2.0000    0.2600          % Third target probability not calculable
The number of minterms is 16
The number of available minterms is 4
Available minterm probabilities are in vector pma
To view available minterm probabilities, call for PMA

Ejercicio$$\PageIndex{15}$$

Una encuesta a 100 estudiantes muestra que: 60 son estudiantes varones; 55 estudiantes viven en el campus, 25 de los cuales son mujeres; 40 leen regularmente el periódico estudiantil, 25 de los cuales son mujeres; 70 se consideran razonablemente activos en los asuntos estudiantiles, 50 de ellos viven en el campus; 35 de los estudiantes razonablemente activos leen el periódico regularmente; Todas las mujeres que viven en el campus y 5 que viven fuera del campus se consideran activas; 10 de las lectoras en el campus se consideran activas, al igual que 5 de las mujeres fuera del campus; 5 hombres son activos, fuera del campus, no lectores del periódico.

1. ¿Cuántos hombres activos o no son lectores o fuera del campus?
2. ¿Cuántos hombres inactivos no son lectores habituales?
Contestar
% file npr02_15.m
% Data for Exercise 2.3.15.
% A = men; B = on campus; C = readers; D = active
minvec4
DV = [A|Ac; A;  B;  Ac&B;  C;  Ac&C;  D;  B&D; C&D; ...
Ac&B&D; Ac&Bc&D; Ac&B&C&D; Ac&Bc&C&D; A&Bc&Cc&D];
DP = [1  0.6 0.55 0.25 0.40 0.25 0.70 0.50 0.35 0.25 0.05 0.10 0.05 0.05];
TV = [A&D&(Cc|Bc); A&Dc&Cc];
disp('Call for mincalc')
npr02_15
Variables are A, B, C, D, Ac, Bc, Cc, Dc
They may be renamed, if desired.
Call for mincalc
mincalc
Data vectors are linearly independent
Computable target probabilities
1.0000    0.3000
2.0000    0.2500
The number of minterms is 16
The number of available minterms is 8
Available minterm probabilities are in vector pma
To view available minterm probabilities, call for PMA

Ejercicio$$\PageIndex{16}$$

Una estación de televisión realiza una encuesta telefónica para determinar cuántas personas en su área de visualización principal han visto tres programas especiales recientes, a los que llamamos a, b y c. De las 1000 personas encuestadas, los resultados son:

221 han visto al menos a; 209 han visto al menos b; 112 han visto al menos c; 197 han visto al menos dos de los programas; 45 han visto los tres; 62 han visto al menos a y c; el número que ha visto al menos a y b es el doble que el número que han visto al menos b y c.

• a) ¿Cuántos han visto al menos un especial?
• b) ¿Cuántos han visto un solo programa especial?
Contestar
% file npr02_16.m
% Data for Exercise 2.3.16.
minvec3
DV = [A|Ac; A;    B;    C; (A&B)|(A&C)|(B&C); A&B&C; A&C; (A&B)-2*(B&C)];
DP = [ 1  0.221 0.209 0.112   0.197           0.045  0.062      0];
TV = [A|B|C; (A&Bc&Cc)|(Ac&B&Cc)|(Ac&Bc&C)];
npr02_16
Variables are A, B, C, Ac, Bc, Cc
They may be renamed, if desired.
Call for mincalc
mincalc
Data vectors are linearly independent
Computable target probabilities
1.0000    0.3000
2.0000    0.1030
The number of minterms is 8
The number of available minterms is 8
Available minterm probabilities are in vector pma
To view available minterm probabilities, call for PMA

Ejercicio$$\PageIndex{17}$$

Una estación de inspección de seguridad automotriz encontró que en 1000 autos probados:

• Se necesitan 100 alineaciones de ruedas, reparación de frenos y ajuste de faros
• 325 necesitó al menos dos de estos tres elementos
• 125 trabajo de faros y frenos necesarios
• 550 necesarios en la alineación de las ruedas
1. ¿Cuántos necesitaban solo alineación de ruedas?
2. ¿Cuántos que no necesitan alineación de ruedas necesitan uno o ninguno de los otros artículos?
Contestar
% file npr02_17.m
% Data for Exercise 2.3.17.
% A = alignment;  B = brake work;  C = headlight
minvec3
DV = [A|Ac; A&B&C; (A&B)|(A&C)|(B&C); B&C;    A  ];
DP = [ 1    0.100      0.325          0.125 0.550];
TV = [A&Bc&Cc; Ac&(~(B&C))];
disp('Call for mincalc')
npr02_17
Variables are A, B, C, Ac, Bc, Cc
They may be renamed, if desired.
Call for mincalc
mincalc
Data vectors are linearly independent
Computable target probabilities
1.0000    0.2500
2.0000    0.4250
The number of minterms is 8
The number of available minterms is 3
Available minterm probabilities are in vector pma
To view available minterm probabilities, call for PMA

Ejercicio$$\PageIndex{18}$$

Supongamos$$P(A(B \cup C)) = 0.3$$$$P(A^c) = 0.6$$,, y$$P(A^c B^c C^c) = 0.1$$.

Determinar$$P(B \cup C)$$,$$P((AB \cup A^c B^c)C^c \cup AC)$$, y$$P(A^c (B \cup C^c))$$, si es posible.

Repita el problema con los datos adicionales$$P(A^c BC) = 0.2$$ y$$P(A^cB) = 0.3$$.

Contestar
% file npr02_18.m
% Date for Exercise 2.3.18.
minvec3
DV = [A|Ac; A&(B|C); Ac; Ac&Bc&Cc];
DP = [ 1     0.3     0.6    0.1];
TV = [B|C; (((A&B)|(Ac&Bc))&Cc)|(A&C); Ac&(B|Cc)];
disp('Call for mincalc')
% Modification
% DV = [DV; Ac&B&C; Ac&B];
% DP = [DP   0.2     0.3];
npr02_18
Variables are A, B, C, Ac, Bc, Cc
They may be renamed, if desired.
Call for mincalc
mincalc
Data vectors are linearly independent
Computable target probabilities
1.0000    0.8000
2.0000    0.4000
The number of minterms is 8
The number of available minterms is 2
Available minterm probabilities are in vector pma
To view available minterm probabilities, call for PMA
DV = [DV; Ac&B&C; Ac&B];      % Modified data
DP = [DP   0.2     0.3];
mincalc                       % New calculation
Data vectors are linearly independent
Computable target probabilities
1.0000    0.8000
2.0000    0.4000
3.0000    0.4000
The number of minterms is 8
The number of available minterms is 5
Available minterm probabilities are in vector pma
To view available minterm probabilities, call for PMA

Ejercicio$$\PageIndex{19}$$

Una tienda de informática vende computadoras, monitores, impresoras. Un cliente ingresa a la tienda. Que A, B, C sean los eventos respectivos en los que el cliente compre una computadora, un monitor, una impresora. Asumir las siguientes probabilidades:

• La probabilidad$$P(AB)$$ de comprar tanto una computadora como un monitor es de 0.49.
• La probabilidad$$P(ABC^c)$$ de comprar tanto una computadora como un monitor pero no una impresora es de 0.17.
• La probabilidad$$P(AC)$$ de comprar tanto una computadora como una impresora es de 0.45.
• La probabilidad$$P(BC)$$ de comprar tanto un monitor como una impresora es de 0.39
• La probabilidad$$P(AC^c \bigvee A^cC)$$ de comprar una computadora o una impresora, pero no ambas es de 0.50.
• La probabilidad$$P(AB^c \bigvee A^cB)$$ de comprar una computadora o un monitor, pero no ambos es de 0.43.
• La probabilidad$$P(BC^c \bigvee B^c C)$$ de comprar un monitor o una impresora, pero no ambos es de 0.43.
1. ¿Cuál es la probabilidad$$P(A)$$$$P(B)$$, o$$P(C)$$ de comprar cada uno?
2. ¿Cuál es la probabilidad de comprar exactamente dos de los tres artículos?
3. ¿Cuál es la probabilidad de comprar al menos dos?
4. ¿Cuál es la probabilidad de comprar los tres?
Contestar
% file npr02_19.m
% Data for Exercise 2.3.19.
% A = computer;  B = monitor;  C = printer
minvec3
DV = [A|Ac; A&B; A&B&Cc; A&C; B&C; (A&Cc)|(Ac&C); ...
(A&Bc)|(Ac&B); (B&Cc)|(Bc&C)];
DP = [1 0.49 0.17 0.45 0.39 0.50 0.43 0.43];
TV = [A; B; C; (A&B&Cc)|(A&Bc&C)|(Ac&B&C); (A&B)|(A&C)|(B&C); A&B&C];
disp('Call for mincalc')
npr02_19
Variables are A, B, C, Ac, Bc, Cc
They may be renamed, if desired.
Call for mincalc
mincalc
Data vectors are linearly independent
Computable target probabilities
1.0000    0.8000
2.0000    0.6100
3.0000    0.6000
4.0000    0.3700
5.0000    0.6900
6.0000    0.3200
The number of minterms is 8
The number of available minterms is 8
Available minterm probabilities are in vector pma
To view available minterm probabilities, call for PMA

Ejercicio$$\PageIndex{20}$$

Los datos son$$P(A) = 0.232$$$$P(B) = 0.228$$,,$$P(ABC) = 0.045$$,$$P(AC) = 0.062$$,$$P(AB \cup AC \cup BC) = 0.197$$ y$$P(BC0 = 2P(AC)$$.

Determinar$$P(A \cup B \cup C)$$ y$$P(A^c B^c C)$$, si es posible.

Repita, con los datos adicionales$$P(C) = 0.230$$.

Contestar
% file npr02_20.m
% Data for Exercise 2.3.20.
minvec3
DV = [A|Ac; A;     B;  A&B&C; A&C; (A&B)|(A&C)|(B&C); B&C - 2*(A&C)];
DP = [  1  0.232 0.228 0.045 0.062      0.197            0];
TV = [A|B|C; Ac&Bc&Cc];
disp('Call for mincalc')
% Modification
% DV = [DV; C];
% DP = [DP  0.230 ];

npr02_20
Variables are A, B, C, Ac, Bc, Cc
They may be renamed, if desired.
mincalc
Data vectors are linearly independent
Data probabilities are INCONSISTENT
The number of minterms is 8
The number of available minterms is 6
Available minterm probabilities are in vector pma
To view available minterm probabilities, call for PMA
disp(PMA)
2.0000    0.0480
3.0000   -0.0450    % Negative minterm probabilities indicate
4.0000   -0.0100    % inconsistency of data
5.0000    0.0170
6.0000    0.1800
7.0000    0.0450
DV = [DV; C];
DP = [DP 0.230];
mincalc
Data vectors are linearly independent
Data probabilities are INCONSISTENT
The number of minterms is 8
The number of available minterms is 8
Available minterm probabilities are in vector pma
To view available minterm probabilities, call for PMA

Ejercicio$$\PageIndex{21}$$

Los datos son:$$P(A) = 0.4$$,$$P(AB) = 0.3$$,$$P(ABC) = 0.25$$,$$P(C) = 0.65$$,$$P(A^cC^c) = 0.3$$. Determinar las probabilidades minterm disponibles y lo siguiente,

si es computable:

$$P(AC^c \cup A^c C)$$,$$P(A^cB^c)$$,$$P(A \cup B)$$,$$P(AB^c)$$

Con solo seis ítems de datos (incluyendo$$P(\Omega) = P(A \bigvee A^c) = 1$$, no todos los minterms están disponibles. Pruebe los datos adicionales$$P(A^cB C^c) = 0.1$$ y$$P(A^cB^c) = 0.3$$. ¿Son consistentes y linealmente independientes? ¿Están disponibles todas las probabilidades minterm?

Contestar
% file npr02_21.m
% Data for Exercise 2.3.21.
minvec3
DV = [A|Ac; A;  A&B; A&B&C;  C;  Ac&Cc];
DP = [ 1   0.4  0.3  0.25   0.65  0.3 ];
TV = [(A&Cc)|(Ac&C); Ac&Bc; A|B; A&Bc];
disp('Call for mincalc')
% Modification
% DV = [DV; Ac&B&Cc; Ac&Bc];
% DP = [DP   0.1      0.3 ];

npr02_21
Variables are A, B, C, Ac, Bc, Cc
They may be renamed, if desired.
Call for mincalc
mincalc
Data vectors are linearly independent
Computable target probabilities
1.0000    0.3500
4.0000    0.1000
The number of minterms is 8
The number of available minterms is 4
Available minterm probabilities are in vector pma
To view available minterm probabilities, call for PMA
DV = [DV; Ac&B&Cc; Ac&Bc];
DP = [DP   0.1      0.3 ];
mincalc
Data vectors are linearly independent
Computable target probabilities
1.0000    0.3500
2.0000    0.3000
3.0000    0.7000
4.0000    0.1000
The number of minterms is 8
The number of available minterms is 8
Available minterm probabilities are in vector pma
To view available minterm probabilities, call for PMA

Ejercicio$$\PageIndex{22}$$

Repita el ejercicio con$$P(AB)$$ cambio de 0.3 a 0.5. ¿Cuál es el resultado? Explique el motivo de este resultado.

Contestar
% file npr02_22.m
% Data for Exercise 2.3.22.
minvec3
DV = [A|Ac; A;  A&B; A&B&C;  C;  Ac&Cc];
DP = [ 1   0.4  0.5  0.25   0.65  0.3 ];
TV = [(A&Cc)|(Ac&C); Ac&Bc; A|B; A&Bc];
disp('Call for mincalc')
% Modification
% DV = [DV; Ac&B&Cc; Ac&Bc];
% DP = [DP   0.1      0.3 ];

npr02_22
Variables are A, B, C, Ac, Bc, Cc
They may be renamed, if desired.
Call for mincalc
mincalc
Data vectors are linearly independent
Data probabilities are INCONSISTENT
The number of minterms is 8
The number of available minterms is 4
Available minterm probabilities are in vector pma
To view available minterm probabilities, call for PMA
disp(PMA)
4.0000   -0.2000
5.0000    0.1000
6.0000    0.2500
7.0000    0.2500
DV = [DV; Ac&B&Cc; Ac&Bc];
DP = [DP   0.1      0.3 ];
mincalc
Data vectors are linearly independent
Data probabilities are INCONSISTENT
The number of minterms is 8
The number of available minterms is 8
Available minterm probabilities are in vector pma
To view available minterm probabilities, call for PMA
disp(PMA)
0    0.2000
1.0000    0.1000
2.0000    0.1000
3.0000    0.2000
4.0000   -0.2000
5.0000    0.1000
6.0000    0.2500
7.0000    0.2500

Ejercicio$$\PageIndex{23}$$

Repita el ejercicio con la matriz de probabilidad de datos original, pero con$$AB$$ reemplazada por$$AC$$ en la matriz vectorial de datos. ¿Cuál es el resultado? ¿Funciona mincalc en este caso? Consulta los resultados en un mapa minterm.

Contestar
% file npr02_23.m
% Data for Exercise 2.3.23.
minvec3
DV = [A|Ac; A;  A&C; A&B&C;  C;  Ac&Cc];
DP = [ 1   0.4  0.3  0.25   0.65  0.3 ];
TV = [(A&Cc)|(Ac&C); Ac&Bc; A|B; A&Bc];
disp('Call for mincalc')
% Modification
% DV = [DV; Ac&B&Cc; Ac&Bc];
% DP = [DP   0.1      0.3 ];
npr02_23
Variables are A, B, C, Ac, Bc, Cc
They may be renamed, if desired.
Call for mincalc
mincalc
Data vectors are NOT linearly independent
Warning: Rank deficient, rank = 5  tol =    5.0243e-15
Computable target probabilities
1.0000    0.4500
The number of minterms is 8
The number of available minterms is 2
Available minterm probabilities are in vector pma
To view available minterm probabilities, call for PMA
DV = [DV; Ac&B&Cc; Ac&Bc];
DP = [DP   0.1      0.3 ];
mincalc
Data vectors are NOT linearly independent
Warning: Matrix is singular to working precision.
Computable target probabilities
1   Inf             % Note that p(4) and p(7) are given in data
2   Inf
3   Inf
The number of minterms is 8
The number of available minterms is 6
Available minterm probabilities are in vector pma
To view available minterm probabilities, call for PMA

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