3.2: Problemas en Probabilidad Condicional

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Paul Pfeiffer
Rice University

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Ejercicio$\PageIndex{1}$

Dados los siguientes datos:

$P(A) = 0.55$,$P(AB) = 0.30$$P(BC) = 0.20$,$P(A^c \cup BC) = 0.55$,$P(A^c BC^c) = 0.15$

Determinar, si es posible, la probabilidad condicional$P(A^c|B) = P(A^cB)/P(B)$.

Contestar

% file npr03_01.m
% Data for Exercise 3.2.1.
minvec3
DV = [A|Ac; A;  A&B; B&C; Ac|(B&C); Ac&B&Cc];
DP = [ 1   0.55 0.30 0.20   0.55     0.15  ];
TV = [Ac&B; B];
disp('Call for mincalc')
npr03_01
Variables are A, B, C, Ac, Bc, Cc
They may be renamed, if desired.
Call for mincalc
mincalc
Data vectors are linearly independent
 Computable target probabilities
    1.0000    0.2500
    2.0000    0.5500
The number of minterms is 8
The number of available minterms is 4
- - - - - - - - - - - -
P = 0.25/0.55
P =  0.4545

Ejercicio$\PageIndex{2}$

En el Ejercicio 11 de “Problemas en el Análisis Minterm”, tenemos los siguientes datos: Una encuesta a un grupo represenativo de estudiantes arroja la siguiente información:

52 por ciento son hombres
85 por ciento vive en el campus
78 por ciento son hombres o están activos en deportes intramuros (o ambos)
El 30 por ciento vive en el campus pero no está activo en el deporte
32 por ciento son hombres, viven en el campus y están activos en deportes
8 por ciento son hombres y viven fuera del campus
17 por ciento son estudiantes varones inactivos en deportes

Dejar A = masculino, B = en el campus, C = activo en deportes.

Se selecciona al azar a un alumno. Es varón y vive en el campus. ¿Cuál es la probabilidad (condicional) de que esté activo en el deporte?
Un estudiante seleccionado es activo en el deporte. ¿Cuál es la probabilidad (condicional) de que sea una mujer que vive en el campus?

Contestar

npr02_11
- - - - - - - - - - - -
mincalc
- - - - - - - - - - - -
mincalct
Enter matrix of target Boolean combinations  [A&B&C; A&B; Ac&B&C; C]
 Computable target probabilities
    1.0000    0.3200
    2.0000    0.4400
    3.0000    0.2300
    4.0000    0.6100
PC_AB = 0.32/0.44
PC_AB =  0.7273
PAcB_C = 0.23/0.61
PAcB_C = 0.3770

Ejercicio$\PageIndex{3}$

En cierta población, la probabilidad de que una mujer viva hasta por lo menos setenta años es de 0.70 y es 0.55 de que viva al menos a ochenta años. Si una mujer tiene setenta años, ¿cuál es la probabilidad condicional de que sobreviva hasta los ochenta años? Tenga en cuenta que si$A \subset B$ entonces$P(AB) = P(A)$.

Contestar: Deja que$A=$ el evento viva hasta los setenta y$B=$ el evento que vive hasta los ochenta. Ya que$B \subset A$,$P(B|A) = P(AB)/P(A) = P(B)/P(A) = 55/70$.

Ejercicio$\PageIndex{4}$

De 100 tarjetas numeradas 00, 01, 02,$\cdot\cdot\cdot$, 99, se saca una carta. Supongamos que A _i es el evento que la suma de los dos dígitos en una tarjeta es$i$$0 \le i \le 18$,, y$B_j$ es el evento que es el producto de los dos dígitos$j$. Determinar$P(A_i|B_0)$ para cada posible$i$.

Contestar: $B_0$es el evento uno de los diez primeros es empate. $A_i B_0$es el evento en el que$0i$ se saca la tarjeta con números. $P(a_i|B_0) = (1/100)/(1/10) = 1/10$para cada uno$i$, 0 a 9.

Ejercicio$\PageIndex{5}$

Se rotan dos dados justos.

¿Cuál es la probabilidad (condicional) de que uno arroje dos spots, dado que muestran números diferentes?
¿Cuál es la probabilidad (condicional) de que el primero suba seis, dado que la suma es$k$, para cada uno$k$ de dos a 12?
¿Cuál es la probabilidad (condicional) de que al menos uno suba seis, dado que la suma es$k$, para cada uno$k$ de dos a 12?

Contestar

a. Hay$6 \times 5$ formas de elegir todas las distintas. Hay$2 \times 5$ formas en que son diferentes y uno sube dos spots. La probabilidad condicional es 2/6.

b. Let$A_6$ = evento primero es un seis y$S_k = $ evento la suma es$k$. Ahora$A_6S_k = \emptyset$ para$k \le 6$. Una tabla de sumas muestra$P(A_6S_k) = 1/36$ y$P(S_k) = 6/36, 5/36, 4/36, 3/36, 2/36, 1/36$ para$k = 7$ hasta 12, respectivamente. De ahí$P(A_6|S_k) = 1/6, 1/5. 1/4, 1/3. 1/2, 1$, respectivamente.

c. Si$AB_6$ es el evento al menos uno es un seis, entonces$AB_6S_k) = 2/36$ para$k = 7$ a través de 11 y$P(AB_6S_12) = 1/36$. Así, las probabilidades condicionales son 2/6, 2/5, 2/4, 2/3, 1, 1, 1, respectivamente.

Ejercicio$\PageIndex{6}$

Se seleccionarán cuatro personas de un grupo de 12 personas, 7 de las cuales son mujeres.

¿Cuál es la probabilidad de que el primero y el tercer seleccionado sean mujeres?
¿Cuál es la probabilidad de que tres de los seleccionados sean mujeres?
¿Cuál es la probabilidad (condicional) de que la primera y la tercera seleccionadas sean mujeres, dado que tres de las seleccionadas son mujeres?

Contestar: $P(W_1W_3) = P(W_1W_2W_3) + P(W_1W_2^c W_3) = \dfrac{7}{12} \cdot \dfrac{6}{11} \cdot \dfrac{5}{10} + \dfrac{7}{12} \cdot \dfrac{5}{11} \cdot \dfrac{6}{10} = \dfrac{7}{22}$

Ejercicio$\PageIndex{7}$

El veinte por ciento de las pinturas de una galería no son originales. Un coleccionista compra una pintura. Tiene probabilidad 0.10 de comprar un falso para un original pero nunca rechaza un original como falso, ¿Cuál es la probabilidad (condicional) de que la pintura que compra sea original?

Contestar

Deje que$B=$ el evento que el coleccionista compre, y$G=$ el evento el cuadro sea original. Asumir$P(B|G) = 1$ y$P(B|G^c) = 0.1$. Si$P(G) = 0.8$, entonces

$P(G|B) = \dfrac{P(GB)}{P(B)} = \dfrac{P(B|G) P(G)}{P(B|G)P(G) + P(B|G^c)P(G^c)} = \dfrac{0.8}{0.8 + 0.1 \cdot 0.2} = \dfrac{40}{41}$

Ejercicio$\PageIndex{8}$

El cinco por ciento de las unidades de cierto tipo de equipo traídas para el servicio tienen un defecto común. La experiencia demuestra que el 93 por ciento de las unidades con este defecto presentan cierta característica de comportamiento, mientras que sólo el dos por ciento de las unidades que no tienen este defecto presentan esa característica. Se examina una unidad y se encuentra que presenta el síntoma característico. ¿Cuál es la probabilidad condicional de que la unidad tenga el defecto, dado este comportamiento?

Contestar

Deje que$D=$ el evento la unidad esté defectuosa y$C=$ el evento tenga la característica. Entonces$P(D) = 0.05$,$P(C|D) = 0.93$, y$P(C|D^c) = 0.02$.

$P(D|C) = \dfrac{P(C|D) P(D)}{P(C|D) P(D) + P(C|D^c) P(D^c)} = \dfrac{0.93 \cdot 0.05}{0.93 \cdot 0.05 + 0.02 \cdot 0.95} = \dfrac{93}{131}$

Ejercicio$\PageIndex{9}$

Se recibe un envío de 1000 unidades electrónicas. Existe una probabilidad igualmente probable de que haya 0, 1, 2 o 3 unidades defectuosas en el lote. Si se selecciona uno al azar y se encuentra que es bueno, ¿cuál es la probabilidad de que no haya unidades defectuosas en el lote?

Contestar

Que$D_k =$ el evento de$k$ defectuoso y$G$ sea el evento se elige uno bueno.

$P(D_0|G) = \dfrac{P(G|D_0) P(D_0)}{P(G|D_0) P(D_0) + P(G|D_1) P(D_1) + P(G|D_2) P(D_2) + P(G|D_3) P(D_3)}$

$= \dfrac{1 \cdot 1/4}{(1/4)(1 + 999/1000 + 998/1000 + 997/1000)} = \dfrac{1000}{3994}$

Ejercicio$\PageIndex{10}$

Los datos sobre ingresos y rangos salariales para una determinada población se analizan de la siguiente manera. $S_1$= el ingreso anual del evento es inferior a $25,000;$S_2$ = el ingreso anual del evento está entre $25,000 y $100,000;$S_3$ = el ingreso anual del evento es mayor a $100,000. $E_1$= evento no completó la educación universitaria;$E_2$ = evento de finalización de licenciatura;$E_3$ = evento de finalización del programa de posgrado o carrera profesional. Los datos pueden ser tabulados de la siguiente manera:$P(E_1) = 0.65$ ,$P(E_2) = 0.30$ and $P(E_3) = 0.05$.

$P(S_i|E_j)$

	$S_1$	$S_2$	$S_3$
$E_1$	0.85	0.10	0.05
$E_2$	0.10	0.80	0.10
$E_3$	0.05	0.50	0.45
$P(S_i)$	0.50	0.40	0.10

Determinar $P(E_3 S_3)$.
Supongamos que una persona tiene una educación universitaria (sin estudios de posgrado). ¿Cuál es la probabilidad (condicional) de que él o ella ganará $25,000 o más?
Encuentra la probabilidad total de que la categoría de ingresos de una persona sea al menos tan alta como su nivel educativo.

Contestar

a.$P(E_3S_3) = P(S_3|E_3)P(E_3) = 0.45 \cdot 0.05 = 0.0225$

b. $P(S_2 \vee S_3|E_2) = 0.80 + 0.10 = 0.90$

c. $p = (0.85 + 0.10 + 0.05) \cdot 0.65 + (0.80 + 0.10) \cdot 0.30 + 0.45 \cdot 0.05 = 0.9425$

Exercise $\PageIndex{11}$

In a survey, 85 percent of the employees say they favor a certain company policy. Previous experience indicates that 20 percent of those who do not favor the policy say that they do, out of fear of reprisal. What is the probability that an employee picked at random really does favor the company policy? It is reasonable to assume that all who favor say so.

Answer

$P(S) = 0.85$, $P(S|F^c) = 0.20$. Also, reasonable to assume $P(S|F) = 1$.

$P(S) = P(S|F) P(F) + P(S|F^c) [1 - P(F)]$ implies $P(F) = \dfrac{P(S) - P(S|F^c)}{1 - P(S|F^c)} = \dfrac{13}{16}$

Exercise $\PageIndex{12}$

A quality control group is designing an automatic test procedure for compact disk players coming from a production line. Experience shows that one percent of the units produced are defective. The automatic test procedure has probability 0.05 of giving a false positive indication and probability 0.02 of giving a false negative. That is, if $D$ is the event a unit tested is defective, and $T$ is the event that it tests satisfactory, then $P(T|D) = 0.05$ and $P(T^c|D^c) = 0.02$. Determine the probability $P(D^c|T)$ que una unidad que pruebe bien está, de hecho, libre de defectos.

Contestar

$\dfrac{D^c|T}{P(D|T)} = \dfrac{P(T|D^c)P(D^c)}{P(T|D)P(D)} = \dfrac{0.98 \cdot 0.99}{0.05 \cdot 0.01} = \dfrac{9702}{5}$

$P(D^c|T) = \dfrac{9702}{9707} = 1 - \dfrac{5}{9707}$

Ejercicio$\PageIndex{13}$

Cinco cajas de chips de memoria de acceso aleatorio tienen 100 unidades por caja. Tienen respectivamente una, dos, tres, cuatro y cinco unidades defectuosas. Una caja se selecciona al azar, sobre una base igualmente probable, y una unidad se selecciona al azar de la misma. Es defectuoso. ¿Cuáles son las probabilidades (condicionales) que la unidad fue seleccionada de cada una de las casillas?

Contestar

$H_i =$el evento de caja$i$. $P(H_i) = 1/5$y$P(D|H_i) = i/100$.

$P(H_i|D) = \dfrac{P(D|H_i) P(H_i)}{\sum P(D|H_i) P(H_j)} = i/15$,$1 \le i \le 5$

Ejercicio$\PageIndex{14}$

Dos por ciento de las unidades recibidas en un almacén son defectuosas. Un procedimiento de prueba no destructiva da dos por ciento de falsos positivos y cinco por ciento de falsos negativos. Las unidades que no pasan la inspección se venden a una empresa de salvamento. Esta firma aplica un procedimiento correctivo que no afecta a ninguna unidad buena y que corrige el 90 por ciento de las unidades defectuosas. Un cliente compra una unidad a la firma de salvamento. Es bueno. ¿Cuál es la probabilidad (condicional) de que la unidad estuviera originalmente defectuosa?

Contestar

Let$T$ = prueba de evento indica defectuoso,$D$ = evento inicialmente defectuoso, y la unidad de$G =$ evento comprada es buena. Los datos son

$P(D) = 0.02$,$P(T^c|D) = 0.02$,$P(T|D^c) = 0.05$,$P(GT^c) = 0$,

$P(G|DT) = 0.90$,$P(G|D^cT) = 1$

$P(D|G) = \dfrac{P(GD)}{P(G)}$,$P(GD) = P(GTD) = P(D) P(T|D) P(G|TD)$

$P(G) = P(GT) = P(GDT) + P(GD^c T) = P(D) P(T|D) P(G|TD) + P(D^c) P(T|D^c) P(G|TD^c)$

$P(D|G) = \dfrac{0.02 \cdot 0.98 \cdot 0.90}{0.02 \cdot 0.98 \cdot 0.90 + 0.98 \cdot 0.05 \cdot 1.00} = \dfrac{441}{1666}$

Ejercicio$\PageIndex{15}$

En cierta etapa de un juicio, el juez siente que las probabilidades son dos a uno de que el acusado sea culpable. Se determina que el imputado es zurdo. Un investigador convence al juez que esto es seis veces más probable si el acusado es culpable que si no lo fuera. ¿Cuál es la probabilidad, ante estas pruebas, de que el imputado sea culpable?

Contestar

Let$G$ = evento el acusado es culpable,$L$ = el suceso en el que el acusado es zurdo. Cuotas previas:$P(G)/P(G^c) = 2$. Resultado del testimonio:$P(L|G)/P(L|G^c) = 6$.

$\dfrac{P(G|L)}{P(G^c|L)} = \dfrac{P(G)}{P(G^c)} \cdot \dfrac{P(L|G)}{P(L|G^c)} = 2 \cdot 6 = 12$

$P(G|L) = 12/13$

Ejercicio$\PageIndex{16}$

$P(A|C) > P(B|C)$Demuéstralo si y$P(A|C^c) > P(B|C^c)$, entonces$P(A) > P(B)$. ¿Es cierto lo contrario? Demostrar o dar un contraejemplo.

Contestar

$P(A) = P(A|C) P(C) + P(A|C^c) P(C^c) > P(B|C) P(C) + P(B|C^c) P(C^c) = P(B)$.

Lo contrario no es cierto. Considerar$P(C) = P(C^c) = 0.5$,$P(A|C) = 1/4$.

$P(A|C^c) = 3/4$,$P(B|C) = 1/2$, y$P(B|C^c) = 1/4$. Entonces

$1/2 = P(A) = \dfrac{1}{2} (1/4 + 3/4) > \dfrac{1}{2} (1/2 + 1/4) = P(B) = 3/8$

Pero$P(A|C) < P(B|C)$.

Ejercicio$\PageIndex{17}$

Contestar: Supongamos$A \subset B$ con$P(A) < P(B)$. Entonces$P(A|B) = P(A)/P(B) < 1$ y$P(A|B^c) = 0$ así la suma es menor a uno.

Ejercicio$\PageIndex{18}$

Use la propiedad (CP4) para mostrar

a.$P(A|B) > P(A)$ iff$P(A|B^c) < P(A)$

b.$P(A^c|B) > P(A^c)$ iff$P(A|B) < P(A)$

c.$P(A|B) > P(A)$ iff$P(A^c|B^c) > P(A^c)$

Contestar

a.$P(A|B) > P(A)$ iff$P(AB) > P(A) P(B)$ iff$P(AB^c) < P(A) P(B^c)$ iff$P(A|B^c) < P(A)$

b.$P(A^c|B) > P(A^c)$ iff$P(A^c B) > P(A^c) P(B)$ iff$P(AB) < P(A) P(B)$ iff$P(A|B) < P(A)$

c.$P(A|B) > P(A)$ iff$P(AB) > P(A) P(B)$ iff$P(A^c B^c) > P(A^c) P(B^c)$ iff$P(A^c|B^c) > P(A^c)$

Ejercicio$\PageIndex{19}$

$P(A|B) \ge (P(A) + P(B) - 1)/P(B)$Demuéstralo.

Contestar: $1 \ge P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB) = P(A) + P(B) - P(A|B) P(B)$. El álgebra simple da el resultado deseado.

Ejercicio$\PageIndex{20}$

$P(A|B) = P(A|BC) P(C|B) + P(A|BC^c) P(C^c|B)$Demuéstralo.

Contestar

$P(A|B) = \dfrac{P(AB)}{P(B)} = \dfrac{P(ABC) + P(ABC^c)}{P(B)}$

$= \dfrac{P(A|BC) P(BC) + P(A|BC^c) P(BC^c)}{P(B)} = P(A|BC) P(C|B) + P(A|BC^c) P(C^c|B)$

Ejercicio$\PageIndex{21}$

Un individuo es seleccionar de entre$n$ alternativas en un intento de obtener una en particular. Esto podría ser una selección de respuestas en una pregunta de opción múltiple, cuando solo una es correcta. Que$A$ sea el evento que haga una selección correcta, y$B$ sea el evento que conozca cuál es el correcto antes de hacer la selección. Suponemos$P(B) = p$ y $P(A|B^c) = 1/n$. Determinar$P(B|A)$; show that $P(B|A) \ge P(B)$ and $P(B|A)$ increases with $n$ for fixed $p$.

Answer

$P(A|B) = 1$, $P(A|B^c) = 1/n$, $P(B) = p$

$P(B|A) = \dfrac{P(A|B) P(B)}{P(A|B) P(B) +P(A|B^c) P(B^c)} = \dfrac{p}{p + \dfrac{1}{n} (1 - p)} = \dfrac{np}{(n - 1) p + 1}$

$\dfrac{P(B|A)}{P(B)} = \dfrac{n}{np + 1 - p}$ increases from 1 to $1/p$ as $n \to \infty$

Exercise $\PageIndex{22}$

Polya's urn scheme for a contagious disease. An urn contains initially $b$ black balls and $r$ red balls $(r + b = n)$. A ball is drawn on an equally likely basis from among those in the urn, then replaced along with $c$ additional balls of the same color. The process is repeated. There are $n$ balls on the first choice, $n + c$ balls on the second choice, etc. Let $B_k$ be the event of a black ball on the $k$th draw and $R_k$ be the event of a red ball on the $k$th draw. Determine

a. $P(B_2|R_1)$
b. $P(B_1B_2)$
c. $P(R_2)$
d. $P(B_1|R_2)$

Answer

a. $P(B_2|R_1) = \dfrac{b}{n + c}$

b. $P(B_1B_2) = P(B_2) P(B_2|B_1) = \dfrac{b}{n} \cdot \dfrac{b + c}{n + c}$

c. $P(R_2) P(R_2|R_1) P(R_1) + P(R_2|B_1) P(B_1)$

$= \dfrac{r + c}{n + c} \cdot \dfrac{r}{n} + \dfrac{r}{n + c} \cdot \dfrac{b}{n} = \dfrac{r(r + c + b)}{n(n + c)}$

d. $P(B_1|R_2) = \dfrac{P(R_2|B_1) P(B_1)}{P(R_2)}$ with $P(R_2|B_1) P(B_1) = \dfrac{r}{n + c} \cdot \dfrac{b}{n}$. Using (c), we have

$P(B_1|R_2) = \dfrac{b}{r + b + c} = \dfrac{b}{n + c}$

	\(S_1\)	\(S_2\)	\(S_3\)
\(E_1\)	0.85	0.10	0.05
\(E_2\)	0.10	0.80	0.10
\(E_3\)	0.05	0.50	0.45
\(P(S_i)\)	0.50	0.40	0.10