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## Serie

1. Serie geométrica A partir de la expresión$$(1 - r) (1 + r + r^2 + \cdot\cdot\cdot + r^n) = 1 - r^{n + 1}$$, obtenemos

$$\sum_{k = 0}^{n} r^k = \dfrac{1 - r^{n + 1}}{1 - r}$$para$$r \ne 1$$

Porque$$|r| < 1$$, estas sumas convergen a la serie geométrica$$\sum_{k = 0}^{\infty} r^k = \dfrac{1}{1 - r}$$

La diferenciación produce las siguientes dos series útiles:

$$\sum_{k = 1}^{\infty} kr^{k - 1} = \dfrac{1}{(1 - r)^2}$$para$$|r| < 1$$ y$$\sum_{k = 2}^{\infty} k(k - 1)r^{k - 2} = \dfrac{2}{(1 - r)^3}$$ para$$|r| < 1$$

Para los rendimientos de suma finita, diferenciación y manipulación algebraica

$$\sum_{k = 0}^{n} k r^{k - 1} = \dfrac{1 - r^n [1 + n(1 - r)]}{(1 - r)^2}$$que converge a$$\dfrac{1}{(1 - r)^2}$$ para$$|r| < 1$$

2. Serie exponencial. $$e^k = \sum_{k = 0}^{\infty} \dfrac{x^k}{k!}$$y$$e^{-s} = \sum_{k = 0}^{\infty} (-1)^k \dfrac{x^k}{k!}$$ para cualquier$$x$$

La manipulación algebraica simple produce las siguientes igualdades útiles para la distribución de Poisson:

$$\sum_{k = n}^{\infty} k \dfrac{x^k}{k!} = x \sum_{k = n - 1}^{\infty} \dfrac{x^k}{k!}$$y$$\sum_{k = n}^{\infty} k (k - 1) \dfrac{x^k}{k!} = x^2 \sum_{k = n - 2}^{\infty} {x^k}{k!}$$

3. Sumas de poderes de enteros$$\sum_{i = 1}^{n} i = \dfrac{n(n + 1)}{2}$$$$\sum_{i = 1}^{n} i^2 = \dfrac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$$

## Algunas integrales útiles

1. La función gamma$$\Gamma(r) = \int_{0}^{\infty} t^{r - 1} e^{-t}\ dt$$ para$$r > 0$$

La integración por partes muestra$$Gamma (r) = (r - 1) \Gamma (r - 1)$$ para$$r > 1$$
Por inducción$$\Gamma (r) = (r - 1)(r - 2) \cdot\cdot\cdot (r - k) \Gamma (r - k)$$$$r > k$$
para Para un entero positivo$$n$$,$$\Gamma (n) = (n - 1)!$$ con$$\Gamma (1) = 0! = 1$$

2. Por un cambio de variable en la integral gamma, obtenemos

$$\int_{0}^{\infty} t^r e^{-\lambda t}\ dt = \dfrac{\Gamma (r+1)}{\lambda^{r + 1}}$$$$r > -1$$,$$\lambda > 0$$

3. Una integral indefinida bien conocida da

$$\int_{a}^{\infty} te^{-\lambda t}\ dt = \dfrac{m!}{\lambda^{m + 1}} e^{-\lambda a} [1 + \lambda a + \dfrac{(\lambda a)^2}{2!} + \cdot\cdot\cdot + \dfrac{(\lambda a)^m}{m!}]$$

4. Las siguientes integrales son importantes para la distribución Beta.

$$\int_{0}^{1} u^r (1 - u)^s\ du = \dfrac{\Gamma (r + 1) \Gamma (s + 1)}{\Gamma (r + s + 2)}$$$$r > -1$$,$$s > -1$$

Para enteros no negativos$$m, n$$$$\int_{0}^{1} u^m (1 - u)^n\ du = \dfrac{m! n!}{(m + n + 1)!}$$

## Algunos problemas básicos de conteo

Consideramos tres problemas básicos de conteo, los cuales se utilizan repetidamente como componentes de problemas más complejos. Los dos primeros, los arreglos y la ocupación son equivalentes. El tercero es un problema básico de emparejamiento.

$$r$$Arreglos de objetos seleccionados de entre objetos$$n$$ distinguibles.
a. El orden es significativo.
b. El orden es irrelevante.
1. No se podrá seleccionar ningún elemento más de una vez.
2. Se permite la repetición.
Ocupación de celdas$$n$$ distintas por$$r$$ objetos. Estos objetos son
un. distinguibles.
b. indistinguibles.
La ocupación puede ser de
1. Exclusivo.
2. No exclusivo (es decir, más de un objeto por celda)

Los resultados en los cuatro casos pueden resumirse de la siguiente manera:
a. 1. Arreglos ordenados, sin repetición (permutaciones). Objetos distinguibles, ocupación exclusiva.

$$P(n, r) = \dfrac{n!}{(n - r)!}$$

2. Arreglos ordenados, con repetición permitida. Objetos distinguibles, ocupación no exclusiva.

$$U(n,r) = n^r$$

b. 1. Arreglos sin repetición, orden irrelevante (combinaciones). Objetos indistinguibles, ocupación exclusiva.

$$C(n, r) = \dfrac{n!}{r!(n - r)!} = \dfrac{P(n, r)}{r!}$$

2. Arreglos desordenados, con repetición. Objetos indistinguibles, ocupación no exclusiva.

$$S(n, r) = C(n + r - 1, r)$$

Emparejar elementos $$n$$distinguibles a un orden fijo. $$M(n, k)$$Sea el número de permutaciones que dan$$k$$ coincidencias.

$$n = 5$$

Orden natural 1 2 3 4 5

Permutación 3 2 5 4 1 (Dos coincidencias— posiciones 2, 4)

Reducimos el problema a determinar$$m(n, 0)$$, de la siguiente manera:

Selecciona$$k$$ lugares para partidos de$$C(n, k)$$ maneras.
Ordene los elementos$$n - k$$ restantes para que no coincidan en los otros$$n - k$$ lugares.

$$M(n, k) = C(n, k) M(n - k, 0)$$

Algunos engaños algebraicos muestran que$$M(n, 0)$$ es el entero más cercano$$n!/e$$. Estos se calculan fácilmente mediante el comando MATLAB M = round (gamma (n+1) /exp (1)) Por ejemplo >> M = round (gamma ([3:10] +1) /exp (1)); >> disp ([3:6; M (1:4); 7:10; M (5:8)] ') 3 2 7 1854 4 9 8 14833 5 44 9 133496 6 265 10 1334961

## Coeficientes binomiales extendidos y la serie binomial

El coeficiente binomial ordinario es$$C(n, k) = \dfrac{n!}{k!(n - k)!}$$ para números enteros$$n > 0$$,$$0 \le k \le n$$

Para cualquier real$$x$$, cualquier entero$$k$$, extendemos la definición por

$$C(x, 0) = 1$$$$k < 0$$,$$C(x, k) = 0$$ para y$$C(n, k) = 0$$ para un entero positivo$$k > n$$

y

$$C(x, k) = \dfrac{x(x - 1) (x - 2) \cdot\cdot\cdot (x - k + 1)}{k!}$$de lo contrario

La relación de Pascal se mantiene:$$C(x, k) = C(x - 1, k - 1) + C(x - 1, k)$$
La expansión de la serie de potencia sobre$$t = 0$$ espectáculos

$$(1 + t)^x = 1 + C(x, 1)t + C(x, 2)t^2 + \cdot\cdot\cdot$$$$\forall x$$,$$-1 < t < 1$$

Para$$x = n$$, un entero positivo, la serie se convierte en un polinomio de grado$$n$$

## Ecuación de Cauchy

$$f$$Sea una función de valor real definida en$$(0, \infty)$$, tal que
a.$$f(t + u) = f(t) + f(u)$$ for$$t, u > 0$$, y
b. Hay un intervalo abierto$$I$$ en el que$$f$$ está delimitado por encima (o está delimitado por debajo).
Entonces$$f(t) = f(1) t$$$$\forall t > 0$$
Let$$f$$ ser una función de valor real definida on ($$0, \infty$$) tal que
a.$$f(t + u) = f(t)f(u)$$$$\forall t, u > 0$$, y
b. hay un intervalo en el que$$f$$ se delimita arriba.
Entonces, ya sea$$f(t) = 0$$ para$$t > 0$$, o hay una constante$$a$$ tal que\ f (t) = e^ {at}\) para$$t >0$$

[Para una prueba, véase Billingsley, Probability and Measure, segunda edición, apéndice A20]

## Conjuntos contables e incontables

Un conjunto (o clase) es contable si es finito o sus miembros se pueden poner en una correspondencia uno a uno con los números naturales.

Ejemplos

• El conjunto de enteros impares es contable.
• El conjunto finito$$\{n: 1 \le n \le 1000\}$$ es contable.
• El conjunto de todos los números racionales es contable. (Esto se establece mediante un argumento conocido como diagonalización).
• El conjunto de pares de elementos de dos conjuntos contables es contable.
• La unión de una clase contable de conjuntos contables es contable.

Un conjunto es incontable si no es finito ni puede ser puesto en una correspondencia uno a uno con los números naturales.

Ejemplos

• La clase de números reales positivos es incontable. Una operación bien conocida muestra que el supuesto de la contabilidad conduce a una contradicción.
• El conjunto de números reales en cualquier intervalo finito es incontable, ya que estos se pueden poner en una correspondencia uno a uno de la clase de todos los reales positivos.

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