17.5: Apéndice E a Probabilidad Aplicada - Propiedades de Expectativa Matemática

\[E[g(X)] = \int g(X)\ dP \nonumber\]

Suponemos, sin aseveración repetida, que las variables aleatorias y las funciones Borel de variables aleatorias o vectores aleatorios son integrables. El uso de una expresión como\(I_M (X)\) implica la suposición tácita de que\(M\) es un conjunto de Borel en el codominio de\(X\).
(E1):\(E[aI_A] = aP(A)\), cualquier constante\(a\), cualquier evento\(A\)
(E1a):\(E[I_M (X)] = P(X \in M)\) y\(E[I_M (X) I_N (Y)] - P(X \in M, Y \in N)\) para cualquier conjunto de Borel\(M, N\) (Se extiende a cualquier producto finito de tales funciones indicadoras de vectores aleatorios)
(E2): Linealidad. Para cualquier constante\(a, b\),\(E[aX + bY) = aE[X] + bE[Y]\) (Se extiende a cualquier combinación lineal finita)
(E3): Positividad; monotonicidad.
a.\(X \ge 0\) a.s. implica\(E[X] \ge 0\), con igualdad iff\(X = 0\) a.s.
b.\(X \ge Y\) a.s. implica\(E[X] \ge E[Y]\), con igualdad iff\(X = Y\) a.s.
(E4): Lema fundamental. Si\(X \ge 0\) está acotado, y\(\{X_n: 1 \le n\}\) es a.s. no negativo, no decreciente, con\(\text{lim}_n X_n (\omega) \ge X(\omega)\) para a.e.\(\omega\), entonces\(\text{lim}_n E[X_n] \ge E[X]\)
(E4a): Convergencia monótona. Si para todos\(n\),\(0 \le X_n \le X_{n + 1}\) a.s. y\(X_n \to X\) a.s., entonces\(E[X_n] \to E[X]\) (El teorema también sostiene si\(E[X] = \infty\))

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(E5): Unicidad. * debe leerse como uno de los símbolos\(\le, =\), o\(\ge\)
a.\(E[I_M(X) g(X)]\) *\(E[I_M(X) h(X)]\) para todos los\(M\) iff\(g(X)\) *\(h(X)\) a.s.
b.\(E[I_M(X) I_N (Z) g(X, Z)] = E[I_M (X) I_N (Z) h(X,Z)]\) para todos los\(M, N\) iff\(g(X, Z) = h(X, Z)\) a.s.
(E6): Lema de Fatou. Si\(X_n \ge 0\) a.s., para todos\(n\), entonces\(E[ \text{lim inf } X_n] \le [\text{lim inf } E[X_n]\)
(E7): Convergencia dominada. Si\(X_n \to X\) a.s reales o complejos,\(|X_n| \le Y\) a.s. para todos\(n\), y\(Y\) es integrable, entonces\(\text{lim}_n E[X_n] = E[X]\)
(E8): Aditividad contable y sumas contables.
a. Si\(X\) es integrable sobre\(E\), y\(E = \bigvee_{i = 1}^{\infty} E_i\) (unión disjunta), entonces\(E[I_E X] = \sum_{i = 1}^{\infty} E[I_{E_i} X]\)
b. Si\(\sum_{n = 1}^{\infty} E[|X_n|] < \infty\), entonces\(\sum_{n = 1}^{\infty} |X_n| < \infty\), a.s. y\(E[\sum_{n = 1}^{\infty} X_n] = \sum_{n = 1}^{\infty} E[X_n]\)
(E9): Algunas condiciones de integrabilidad
a. \(X\)es integrable iff ambos\(X^{+}\) y\(X^{-}\) son integrables iff\(|X|\) es integrable.
b.\(X\) es integrable iff\(E[I_{\{|X| > a\}} |X|] \to 0\) como\(a \to \infty\)
c. Si\(X\) es integrable, entonces\(X\) es a.s. finito
d. Si\(E[X]\) existe y\(P(A) = 0\), entonces\(E[I_A X] = 0\)
(E10): Triángulo desigualdad. Para integrable\(X\), real o complejo,\(|E[X]| \le E[|X|]\)
(E11): Teorema del valor medio. Si\(a \le X \le b\) a.s. on\(A\), entonces\(aP(A) \le E[I_A X] \le bP(A)\)
(E12): Para no negativos, Borel\(g\),\(E[g(X)] \ge aP(g(X) \ge a)\)
(E13): La desigualdad de Markov. Si\(g \ge 0\) y no decreciente para\(t \ge 0\) y\(a \ge 0\), entonces

\(g(a)P(|X| \ge a) \le E[g(|X|)]\)

(E14): La desigualdad de Jensen. Si\(g\) es convexo en un intervalo que contiene el rango de variable aleatoria\(X\), entonces\(g(E[X]) \le E[g(X)]\)
(E15): Desigualdad de Schwarz. Para\(X, Y\) real o complejo,\(|E[XY]|^2 \le E[|X|^2] E[|Y|^2]\), con igualdad iff hay una constante\(c\) tal que\(X = cY\) a.s.
(E16): la desigualdad de Hölder. Para\(1 \le p, q\), con\(\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = 1\), y\(X, Y\) real o complejo.

\(E[|XY|] \le E[|X|^p]^{1/p} E[|Y|^q]^{1/q}\)

(E17): La desigualdad de Hölder. Para\(1 < p\) y\(X, Y\) real o complejo,

\(E[|X + Y|^p]^{1/p} \le E[|X|^p]^{1/p} + E[|Y|^p]^{1/p}\)

(E18): Independencia y expectativa. Las siguientes condiciones son equivalentes.
a. el par\(\{X, Y\}\) es independiente
b.\(E[I_M (X) I_N (Y)] = E[I_M (X)] E[I_N (Y)]\) para todos Borel\(M, N\)
c.\(E[g(X)h(Y)] = E[g(X)] E[h(Y)]\) para todos Borel\(g, h\) tal que\(g(X)\),\(h(Y)\) son integrables.
(E19): Caso especial del teorema de Radón-Nikodym Si\(g(Y)\) es integrable y\(X\) es un vector aleatorio, entonces existe una función Borel de valor real\(e(\cdot)\), definida en el rango de\(X\), a.s únicas\([P_X]\), tal que\(E[I_M(X) g(X)] = E[I_M (X) e(X)]\) para todos Borel establece\(M\) en el codominio de\(X\).
(E20): Algunas formas especiales de expectativa
a. Supongamos que\(F\) es no decreciente, derecha continua en\([0, \infty)\), con\(F(0^{-}) = 0\). Vamos\(F^{*} (t) = F(t - 0)\). Considera\(X \ge 0\) con\(E[F(X)] < \infty\). Entonces,

(1)\(E[F(X)] = \int_{0}^{\infty} P(X \ge t) F\ (dt)\) y (2)\(E[F^{*} (X)] = \int_{0}^{\infty} P(X > t) F\ (dt)\)

b. Si\(X\) es integrable, entonces\(E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} [u(t) - F_X (t)]\ dt\)
c. Si\(X, Y\) son integrables, entonces\(E[X - Y] = \int_{-\infty}^{\infty} [F_Y (t) - F_X (t)]\ dt\)
d. si\(X \ge 0\) es integrable, entonces

\(\sum_{n = 0}^{\infty} P(X \ge n + 1) \le E[X] \le \sum_{n = 0}^{\infty} P(X \ge n) \le N \sum_{k = 0}^{\infty} P(X \ge kN)\), para todos\(N \ge 1\)

e. Si integrable\(X \ge 0\) es de valor entero, entonces

\(E[X] = \sum_{n = 1}^{\infty} P(X \ge n) = \sum_{n = 0}^{\infty} P(X > n) E[X^2] = \sum_{n = 1}^{\infty} (2n - 1) P(X \ge n) = \sum_{n = 0}^{\infty} (2n + 1) P(X > n)\)

f. Si\(Q\) es la función quantile for\(F_X\), entonces\(E[g(X)] = \int_{0}^{1} g[Q(u)]\ du\)