7.4: Propagación de ondas armónicas planas
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\[
\begin{aligned}
\mathbf{D} &=\mathbf{D}_{0} e^{i(\mathbf{k} \cdot \mathbf{r}-\omega t)} \\
\mathbf{H} &=\mathbf{H}_{0} e^{i(\mathbf{k} \cdot \mathbf{r}-\omega t)} \\
\mathbf{E} &=\mathbf{E}_{0} e^{i(\mathbf{k} \cdot \mathbf{r}-\omega t)}
\end{aligned}
\]
con \(\mathbf{D}_{0}, \mathbf{H}_{0}, \mathbf{E}_{0} \in \mathcal{C}\) constantes y \(\omega, \mathbf{k} \in \Re\) constantes (medios transparentes). Nuestro problema es determinar las relaciones que existen entre estos parámetros (por ejemplo, relación entre vector de ondas y frecuencia, o entre vector de ondas y vectores de intensidad de campo...).
Como siempre, acudimos a las ecMm y el resultado es
\[
\begin{aligned}
\mathbf{k} \cdot \mathbf{D}_{0} &=0 \\
\mathbf{k} \cdot \mathbf{H}_{0} &=0 \\
\mathbf{k} \wedge \mathbf{E}_{0} &=\mu \omega \mathbf{H}_{0} \\
\mathbf{k} \wedge \mathbf{H}_{0} &=-\omega \mathbf{D}_{0}
\end{aligned}
\]
Es decir, \(\mathbf{D}, \mathbf{H}, \mathbf{k}\) son mutuamente perpendiculares entre sí. Además, \(\mathbf{E} \perp \mathbf{H}\), pero eso no quiere decir \(\mathbf{E} \perp \mathbf{k}\), que en general será falso. Esto implica que la energía no irá en la misma dirección que la fase. De modo que
\[
\mathrm{S}=\mathrm{E} \wedge \mathrm{H} \notag
\]
no lleva la misma dirección que el vector de ondas. En lo que sigue estudiaremos siempre la propagación de la fase, porque luego a partir de \(\mathbf{E}, \mathbf{H}\) se obtiene de modo sencillo la propagación de la energía.
Si reescribimos el segundo rotacional y después sustituímos el valor de \(\mathbf{H}_{0}\) que nos da el primero
\[
\begin{aligned}
\mathbf{D}_{0} &=\hat{\epsilon} \mathbf{E}_{0} \\
&=-\frac{1}{\omega} \mathbf{k} \wedge \mathbf{H}_{0} \\
&=-\frac{1}{\mu \omega^{2}} \mathbf{k} \wedge\left(\mathbf{k} \wedge \mathbf{E}_{0}\right)
\end{aligned}
\]
ejecutando el doble producto vectorial
\[
\mathbf{D}_{0}=-\frac{1}{\mu \omega^{2}}\left(\mathbf{k}\left(\mathbf{k} \cdot \mathbf{E}_{0}\right)-\mathbf{E}_{0}\left(\mathbf{k}^{2}\right)\right) \notag
\]
finalmente el resultado de combinar los dos rotacionales es
\[
\left(\mathbf{k} \cdot \mathbf{E}_{0}\right) \mathbf{k}-\mathbf{k}^{2} \mathbf{E}_{0}+\mu \omega^{2} \hat{\epsilon} \mathbf{E}_{0}=0 \notag
\]
ésto es un conjunto de 3 ecuaciones, que queremos resolver para \(\mathbf{k}\) y para \(\mathbf{E}\). Como son lineales en \(\mathbf{E}_{0}\), las podemos reescribir con ayuda de una matriz, \(M(\mathbf{k}, \hat{\epsilon})\) :
\[
\mathrm{M}(\mathbf{k}, \hat{\epsilon}) \mathbf{E}_{0}=\mathbf{0} \notag
\]
para escribir la matriz en la forma más sencilla posible hay que utilizar como ejes coordenados los ejes principales \(x, y, z\). Entonces M es:
\[
\left(\begin{array}{ccc}
\left(n_{x} \frac{\omega}{c}\right)^{2}-k_{y}^{2}-k_{z}^{2} & k_{x} k_{y} & k_{x} k_{z} \\
k_{y} k_{x} & \left(n_{y} \frac{\omega}{c}\right)^{2}-k_{x}^{2}-k_{z}^{2} & k_{y} k_{z} \\
k_{z} k_{x} & k_{z} k_{y} & \left(n_{z} \frac{\omega}{c}\right)^{2}-k_{x}^{2}-k_{y}^{2}
\end{array}\right)
\]
El \(\mathbf{E}_{0}\) debe ser autovector de la matriz con autovalor nulo. Se debe producir que \(|M|=0\), lo que limitará los vectores de onda posibles.
El proceso será obtener dichos vectores de onda y luego llevarlos a la ecuación de autovalores para despejar \(\mathbf{E}_{0}\). Eso equivale a la resolución completa del problema que nos habíamos fijado: determinar la propagación de oap en medios anisótropos.