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7.4: Propagación de ondas armónicas planas

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    51157
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    \[
    \begin{aligned}
    \mathbf{D} &=\mathbf{D}_{0} e^{i(\mathbf{k} \cdot \mathbf{r}-\omega t)} \\
    \mathbf{H} &=\mathbf{H}_{0} e^{i(\mathbf{k} \cdot \mathbf{r}-\omega t)} \\
    \mathbf{E} &=\mathbf{E}_{0} e^{i(\mathbf{k} \cdot \mathbf{r}-\omega t)}
    \end{aligned}
    \]

    con \(\mathbf{D}_{0}, \mathbf{H}_{0}, \mathbf{E}_{0} \in \mathcal{C}\) constantes y \(\omega, \mathbf{k} \in \Re\) constantes (medios transparentes). Nuestro problema es determinar las relaciones que existen entre estos parámetros (por ejemplo, relación entre vector de ondas y frecuencia, o entre vector de ondas y vectores de intensidad de campo...).

    Como siempre, acudimos a las ecMm y el resultado es

    \[
    \begin{aligned}
    \mathbf{k} \cdot \mathbf{D}_{0} &=0 \\
    \mathbf{k} \cdot \mathbf{H}_{0} &=0 \\
    \mathbf{k} \wedge \mathbf{E}_{0} &=\mu \omega \mathbf{H}_{0} \\
    \mathbf{k} \wedge \mathbf{H}_{0} &=-\omega \mathbf{D}_{0}
    \end{aligned}
    \]

    Es decir, \(\mathbf{D}, \mathbf{H}, \mathbf{k}\) son mutuamente perpendiculares entre sí. Además, \(\mathbf{E} \perp \mathbf{H}\), pero eso no quiere decir \(\mathbf{E} \perp \mathbf{k}\), que en general será falso. Esto implica que la energía no irá en la misma dirección que la fase. De modo que

    \[
    \mathrm{S}=\mathrm{E} \wedge \mathrm{H} \notag
    \]

    no lleva la misma dirección que el vector de ondas. En lo que sigue estudiaremos siempre la propagación de la fase, porque luego a partir de \(\mathbf{E}, \mathbf{H}\) se obtiene de modo sencillo la propagación de la energía.

    Si reescribimos el segundo rotacional y después sustituímos el valor de \(\mathbf{H}_{0}\) que nos da el primero

    \[
    \begin{aligned}
    \mathbf{D}_{0} &=\hat{\epsilon} \mathbf{E}_{0} \\
    &=-\frac{1}{\omega} \mathbf{k} \wedge \mathbf{H}_{0} \\
    &=-\frac{1}{\mu \omega^{2}} \mathbf{k} \wedge\left(\mathbf{k} \wedge \mathbf{E}_{0}\right)
    \end{aligned}
    \]

    ejecutando el doble producto vectorial

    \[
    \mathbf{D}_{0}=-\frac{1}{\mu \omega^{2}}\left(\mathbf{k}\left(\mathbf{k} \cdot \mathbf{E}_{0}\right)-\mathbf{E}_{0}\left(\mathbf{k}^{2}\right)\right) \notag
    \]

    finalmente el resultado de combinar los dos rotacionales es

    \[
    \left(\mathbf{k} \cdot \mathbf{E}_{0}\right) \mathbf{k}-\mathbf{k}^{2} \mathbf{E}_{0}+\mu \omega^{2} \hat{\epsilon} \mathbf{E}_{0}=0 \notag
    \]

    ésto es un conjunto de 3 ecuaciones, que queremos resolver para \(\mathbf{k}\) y para \(\mathbf{E}\). Como son lineales en \(\mathbf{E}_{0}\), las podemos reescribir con ayuda de una matriz, \(M(\mathbf{k}, \hat{\epsilon})\) :

    \[
    \mathrm{M}(\mathbf{k}, \hat{\epsilon}) \mathbf{E}_{0}=\mathbf{0} \notag
    \]

    para escribir la matriz en la forma más sencilla posible hay que utilizar como ejes coordenados los ejes principales \(x, y, z\). Entonces M es:

    \[
    \left(\begin{array}{ccc}
    \left(n_{x} \frac{\omega}{c}\right)^{2}-k_{y}^{2}-k_{z}^{2} & k_{x} k_{y} & k_{x} k_{z} \\
    k_{y} k_{x} & \left(n_{y} \frac{\omega}{c}\right)^{2}-k_{x}^{2}-k_{z}^{2} & k_{y} k_{z} \\
    k_{z} k_{x} & k_{z} k_{y} & \left(n_{z} \frac{\omega}{c}\right)^{2}-k_{x}^{2}-k_{y}^{2}
    \end{array}\right)
    \]

    El \(\mathbf{E}_{0}\) debe ser autovector de la matriz con autovalor nulo. Se debe producir que \(|M|=0\), lo que limitará los vectores de onda posibles.

    El proceso será obtener dichos vectores de onda y luego llevarlos a la ecuación de autovalores para despejar \(\mathbf{E}_{0}\). Eso equivale a la resolución completa del problema que nos habíamos fijado: determinar la propagación de oap en medios anisótropos.


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