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# 7.4: Propagación de ondas armónicas planas

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$ $$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$ $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$ $$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$ $$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$ $$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$ $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$ $$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$ $$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$ $$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$$

\begin{aligned} \mathbf{D} &=\mathbf{D}_{0} e^{i(\mathbf{k} \cdot \mathbf{r}-\omega t)} \\ \mathbf{H} &=\mathbf{H}_{0} e^{i(\mathbf{k} \cdot \mathbf{r}-\omega t)} \\ \mathbf{E} &=\mathbf{E}_{0} e^{i(\mathbf{k} \cdot \mathbf{r}-\omega t)} \end{aligned}

con $$\mathbf{D}_{0}, \mathbf{H}_{0}, \mathbf{E}_{0} \in \mathcal{C}$$ constantes y $$\omega, \mathbf{k} \in \Re$$ constantes (medios transparentes). Nuestro problema es determinar las relaciones que existen entre estos parámetros (por ejemplo, relación entre vector de ondas y frecuencia, o entre vector de ondas y vectores de intensidad de campo...).

Como siempre, acudimos a las ecMm y el resultado es

\begin{aligned} \mathbf{k} \cdot \mathbf{D}_{0} &=0 \\ \mathbf{k} \cdot \mathbf{H}_{0} &=0 \\ \mathbf{k} \wedge \mathbf{E}_{0} &=\mu \omega \mathbf{H}_{0} \\ \mathbf{k} \wedge \mathbf{H}_{0} &=-\omega \mathbf{D}_{0} \end{aligned}

Es decir, $$\mathbf{D}, \mathbf{H}, \mathbf{k}$$ son mutuamente perpendiculares entre sí. Además, $$\mathbf{E} \perp \mathbf{H}$$, pero eso no quiere decir $$\mathbf{E} \perp \mathbf{k}$$, que en general será falso. Esto implica que la energía no irá en la misma dirección que la fase. De modo que

$\mathrm{S}=\mathrm{E} \wedge \mathrm{H} \notag$

no lleva la misma dirección que el vector de ondas. En lo que sigue estudiaremos siempre la propagación de la fase, porque luego a partir de $$\mathbf{E}, \mathbf{H}$$ se obtiene de modo sencillo la propagación de la energía.

Si reescribimos el segundo rotacional y después sustituímos el valor de $$\mathbf{H}_{0}$$ que nos da el primero

\begin{aligned} \mathbf{D}_{0} &=\hat{\epsilon} \mathbf{E}_{0} \\ &=-\frac{1}{\omega} \mathbf{k} \wedge \mathbf{H}_{0} \\ &=-\frac{1}{\mu \omega^{2}} \mathbf{k} \wedge\left(\mathbf{k} \wedge \mathbf{E}_{0}\right) \end{aligned}

ejecutando el doble producto vectorial

$\mathbf{D}_{0}=-\frac{1}{\mu \omega^{2}}\left(\mathbf{k}\left(\mathbf{k} \cdot \mathbf{E}_{0}\right)-\mathbf{E}_{0}\left(\mathbf{k}^{2}\right)\right) \notag$

finalmente el resultado de combinar los dos rotacionales es

$\left(\mathbf{k} \cdot \mathbf{E}_{0}\right) \mathbf{k}-\mathbf{k}^{2} \mathbf{E}_{0}+\mu \omega^{2} \hat{\epsilon} \mathbf{E}_{0}=0 \notag$

ésto es un conjunto de 3 ecuaciones, que queremos resolver para $$\mathbf{k}$$ y para $$\mathbf{E}$$. Como son lineales en $$\mathbf{E}_{0}$$, las podemos reescribir con ayuda de una matriz, $$M(\mathbf{k}, \hat{\epsilon})$$ :

$\mathrm{M}(\mathbf{k}, \hat{\epsilon}) \mathbf{E}_{0}=\mathbf{0} \notag$

para escribir la matriz en la forma más sencilla posible hay que utilizar como ejes coordenados los ejes principales $$x, y, z$$. Entonces M es:

$\left(\begin{array}{ccc} \left(n_{x} \frac{\omega}{c}\right)^{2}-k_{y}^{2}-k_{z}^{2} & k_{x} k_{y} & k_{x} k_{z} \\ k_{y} k_{x} & \left(n_{y} \frac{\omega}{c}\right)^{2}-k_{x}^{2}-k_{z}^{2} & k_{y} k_{z} \\ k_{z} k_{x} & k_{z} k_{y} & \left(n_{z} \frac{\omega}{c}\right)^{2}-k_{x}^{2}-k_{y}^{2} \end{array}\right)$

El $$\mathbf{E}_{0}$$ debe ser autovector de la matriz con autovalor nulo. Se debe producir que $$|M|=0$$, lo que limitará los vectores de onda posibles.

El proceso será obtener dichos vectores de onda y luego llevarlos a la ecuación de autovalores para despejar $$\mathbf{E}_{0}$$. Eso equivale a la resolución completa del problema que nos habíamos fijado: determinar la propagación de oap en medios anisótropos.

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