4.4: ¿Cómo verificar si una Matriz Jones es un Polarizador Lineal o una Placa Ondulada?
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Si se da la dirección del eje lento o rápido, es fácil anotar la matriz Jones de una placa birrefringente. De igual manera, para un polarizador lineal es sencillo anotar la matriz Jones si se conoce la dirección en la que el polarizador absorbe o transmite toda la luz. Pero supongamos que se le da una\((2,2)\) matriz compleja arbitraria:\[\mathcal{M}=\left(\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right) \nonumber \] ¿Cómo se puede determinar si esta matriz corresponde a un polarizador lineal o a una placa de onda? Obsérvese que los elementos de una matriz Jones son en general complejos.
- Polarizador Lineal La matriz corresponde a un polarizador lineal si hay un vector real que permanece invariante bajo\(\mathcal{M}\) y el vector real que ortogonal a este vector se mapea a cero. En otras palabras, debe haber una base ortogonal de vectores propios reales y uno de los valores propios debe ser 1 y el otro 0. De ahí que para verificar que una matriz dada corresponde a un polarizador lineal, se debe verificar que un valor propio es 1 y el otro es 0 y además que los vectores propios son vectores reales. Es importante verificar que los vectores propios son efectivamente reales porque si no lo son, no corresponden a direcciones de polarización particulares.
- Placa ondulada Para mostrar que una matriz corresponde a una placa ondulada, deben existir dos vectores propios ortogonales reales con, en general, valores propios complejos del módulo 1. De hecho, uno de los vectores propios corresponde al eje rápido con índice de refracción\(n_{1}\), digamos, y el otro al eje lento con índice de refracción\(n_{2}\), digamos. Los valores propios son entonces\[e^{i k n_{1} d}, \quad e^{i k n_{2} d}, \nonumber \] donde\(d\) está el grosor de la placa y\(k\) es el número de onda. De ahí que para verificar que una\((2,2)\) -matriz corresponde a una placa de onda, hay que computar los valores propios y verificar que estos tengan módulo 1 y que los vectores propios correspondientes sean vectores reales y ortogonales.