5.3: Interferencia de Campos Monocromáticos de la Misma Frecuencia

Primero recordemos los conceptos básicos de interferencia. Lo que causa interferencia es el hecho de que la luz es una onda, lo que significa que no sólo tiene una amplitud sino también una fase. Supongamos por ejemplo que evaluamos un campo armónico de tiempo en dos puntos\[\mathcal{U}_{1}(t)=\cos (\omega t), \quad \mathcal{U}_{2}(t)=\cos (\omega t+\varphi) . \nonumber \]

Aquí\(\varphi\) denota la diferencia de fase entre los campos en los dos puntos. Si\(\varphi=0\), o\(\varphi\) es un múltiplo de\(2 \pi\), los campos están en fase, y cuando se agregan interfieren constructivamente\[\mathcal{U}_{1}(t)+\mathcal{U}_{2}(t)=\cos (\omega t)+\cos (\omega t+2 m \pi)=2 \cos (\omega t) . \nonumber \]

Sin embargo, cuando\(\varphi=\pi\), o más generalmente\(\varphi=\pi+2 m \pi\), para algún número entero\(m\), entonces las ondas están desfasadas, y cuando se superponen, interfieren destructivamente.

\[\begin{aligned} \mathcal{U}_{1}(t)+\mathcal{U}_{2}(t) &=\cos (\omega t)+\cos (\omega t+\pi+2 m \pi) \\ &=\cos (\omega t)-\cos (\omega t) \\ &=0 . \end{aligned} \nonumber \]

Podemos sumar los dos campos para arbitrarios\(\varphi\) más convenientemente usando notación compleja:\[\mathcal{U}_{1}(t)=\operatorname{Re}\left[e^{-i \omega t}\right], \quad \mathcal{U}_{2}(t)=\operatorname{Re}\left[e^{-i \omega t} e^{-i \varphi}\right] . \nonumber \]

Sumando da\[\begin{aligned} \mathcal{U}_{1}(t)+\mathcal{U}_{2}(t) &=\operatorname{Re}\left[e^{-i \omega t}\left(1+e^{-i \varphi}\right)\right] \\ &=\operatorname{Re}\left[e^{-i \omega t} e^{-i \varphi / 2}\left(e^{i \varphi / 2}+e^{-i \varphi / 2}\right)\right] \\ &=\operatorname{Re}\left[e^{-i \omega t} e^{-i \varphi / 2} 2 \cos (\varphi / 2)\right] \\ &=2 \cos (\varphi / 2) \cos (\omega t+\varphi / 2) \end{aligned} \nonumber \] For\(\varphi=2 m \pi\) y\(\varphi=\pi+2 m \pi\) recuperamos los resultados obtenidos antes. Es importante señalar que lo que vemos o detectamos físicamente (digamos, el 'brillo' de la luz) no corresponde a las cantidades\(\mathcal{U}_{1}, \mathcal{U}_{2}\). Después de todo,\(\mathcal{U}_{1}\) y\(\mathcal{U}_{2}\) puede alcanzar valores negativos, mientras que no existe tal cosa como 'brillo negativo'. Qué\(\mathcal{U}_{1}\) y\(\mathcal{U}_{2}\) describir son los campos, que pueden ser positivos o negativos. El 'brillo' o la irradiancia o intensidad se da tomando un promedio a lo largo de un largo tiempo de\(\mathcal{U}(t)^{2}\) (ver (1.7.8), omitiremos el factor\(\sqrt{\epsilon / \mu_{0}}\)). Como se explica en el Capítulo 2, vemos y medimos solo el promedio de tiempo largo de\(\mathcal{U}(t)^{2}\), porque a frecuencias ópticas\(\mathcal{U}(t)^{2}\)

fluctúa muy rápidamente. Recordamos la definición del promedio de tiempo sobre un intervalo de duración\(T\) en un tiempo específico\(t\) dado en (1.8.4) en el Capítulo 2:\[\langle f(t)\rangle=\frac{1}{T} \int_{t}^{t+T} f\left(t^{\prime}\right) \mathrm{d} t^{\prime}, \nonumber \] donde\(T\) es un intervalo de tiempo que es el tiempo de respuesta de un detector típico, que es\(10^{-9} \mathrm{~s}\) para un detector muy rápido, pero esto sigue siendo extremadamente largo en comparación con el período de luz visible que es del orden de\(10^{-14} \mathrm{~s}\). Para una función armónica de tiempo, el promedio de largo tiempo es igual al promedio durante un periodo del campo y por lo tanto es independiente del tiempo\(t\) en el que se toma. En efecto para (\(\PageIndex{5}\)) llegamos a\[\begin{aligned} I &=\left\langle\left(\mathcal{U}_{1}(t)+\mathcal{U}_{2}(t)\right)^{2}\right\rangle \\ &=4 \cos ^{2}(\varphi / 2)\left\langle\cos ^{2}(\omega t+\varphi / 2)\right\rangle \\ &=1+\cos (\varphi) \end{aligned} \nonumber \] donde\(T \omega>>1\). Es importante señalar que se puede usar notación compleja para obtener el factor\(1+\cos (\varphi)\) más fácilmente. Escribamos\[\mathcal{U}_{1}(t)=\operatorname{Re}\left\{U_{1} e^{-i \omega t}\right\}, \quad \mathcal{U}_{2}(t)=\operatorname{Re}\left\{U_{2} e^{-i \omega t}\right\}, \nonumber \] donde\[U_{1}=1, \quad U_{2}=e^{-i \varphi} . \nonumber \]

Entonces encontramos de\[\begin{aligned} \left|U_{1}+U_{2}\right|^{2} &=\left|1+e^{-i \varphi}\right|^{2} \\ &=\left(1+e^{i \varphi}\right)\left(1+e^{-i \varphi}\right) \\ &=1+1+e^{-i \varphi}+e^{i \varphi} \\ &=2+2 \cos (\varphi), \end{aligned} \nonumber \] ahí\[I=\frac{1}{2}\left|U_{1}+U_{2}\right|^{2} . \nonumber \] Para ver por qué funciona esto, recuerda la Eq. (1.8.5) y elige\(A=B=U_{1}+U_{2}\).

Observación. Para acortar las fórmulas, omitiremos en este capítulo el factor frente a la intensidad promediada\(1 / 2\) en el tiempo.

De ahí definimos\(I_{1}=\left|U_{1}\right|^{2}\) y\(I_{2}=\left|U_{2}\right|^{2}\), y luego encontramos para la intensidad promediada en el tiempo de la suma de\(U_{1}\) y\(U_{2}\):\[\begin{aligned} I &=\left|U_{1}+U_{2}\right|^{2}=\left(U_{1}+U_{2}\right)^{*}\left(U_{1}+U_{2}\right) \\ &=\left|U_{1}\right|^{2}+\left|U_{2}\right|^{2}+U_{1}^{*} U_{2}+U_{1} U_{2}^{*} \\ &=I_{1}+I_{2}+2 \operatorname{Re}\left[U_{1}^{*} U_{2}\right]. \end{aligned} \nonumber \]

Aquí,\(2 \operatorname{Re}\left[U_{1}^{*} U_{2}\right]\) se conoce como el término de interferencia. En el famoso experimento de doble rendija (que discutiremos en una sección posterior), podemos interpretar los términos de la siguiente manera: digamos\(U_{1}\) es el campo que proviene de la hendidura 1, y\(U_{2}\) viene de la hendidura 2. Si solo la hendidura 1 está abierta, medimos en la pantalla la intensidad\(I_{1}\), y si solo la hendidura 2 está abierta, medimos\(I_{2}\). Si ambas rendijas están abiertas, no mediríamos\(I_{1}+I_{2}\), pero observaríamos franjas debido al término de interferencia\(2 \operatorname{Re}\left[U_{1}^{*} U_{2}\right]\).

Más generalmente, la intensidad de una suma de múltiples campos\(U_{j}\) armónicos de tiempo que tienen la misma frecuencia viene dada por la suma coherente\[I=\left|\sum_{j} U_{j}\right|^{2} \nonumber \]

No obstante, veremos en la siguiente sección que a veces los campos son incapaces de interferir. En ese caso, todos los términos de interferencia de la suma coherente desaparecen, y la intensidad viene dada por la suma incoherente\[I=\sum_{j}\left|U_{j}\right|^{2} . \nonumber \]